книги из ГПНТБ / Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия

часто, что целесообразно ввести подстановку

V (г) = Ф (z) [1 + еФ (z)].

Тогда уравнение траектории примет вид

вид уравнения (2.7а) в нерелятивистском приближении.

2.1.2. МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

Для случая магнитных полей уравнение (2.1) имеет более простой вид:

d2г

т dt2 — — ev X В. ( 2 .8)

В цилиндрических полярных координатах вектор В имеет только две компоненты, так как в соответствии с нашим предположением магнитные поля обладают круговой сим­ метрией относительно оси, и, следовательно, В = = (Вг, 0, B z). Уравнение (2.8) можно рассматривать как

сокращенную форму уравнений с тремя компонентами. Полагая радиальную силу численно равной радиаль­

ному ускорению, получаем

Компонента 0 выражает тот факт, что момент сил отно­ сительно оси равен скорости изменения углового момента:

Вследствие комбинированного действия азимутального вращения dQ/dt и радиальной компоненты поля В г имеет место ускорение электрона в направлении г:

Здесь также рассматриваются только электронные лучи, проходящие близко к оси, поэтому можно написать

B(z) = B z ( r = 0,z),

путем несложных, но довольно громоздких вычислений можно получить следующие выражения:

Уравнения (2.14) представляют собой уравнения пара­ ксиальных траекторий для меридиональных лучей в маг­ нитном поле с круговой симметрией. Следует подчеркнуть, что входящий в эти уравнения потенциал Ф не является функцией z, а представляет собой ускоряющее напряжение (постоянное). Следует напомнить, что за начало отсчета потенциала всегда выбирается точка, в которой электроны неподвижны.

2.1.3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

При выборе определенного класса лучей (меридиональ­ ных лучей) константу в уравнении (2.10) можно положить равной нулю. В противном случае уравнения в полярных координатах будут иметь довольно сложный вид. Однако, к счастью, все важные результаты можно получить из уравнений вида (2.14а), так как существует система пря­ моугольных координат, в которой уравнения для х и у как функций z имеют вид (2.14а). Этот результат может

быть получен следующим образом. Для общности предпо­ ложим, что мы имеем магнитное и электростатическое поля с общей осью симметрии, которой является ось z прямо­ угольных координат (X , У, z). Если эту систему коорди­ нат заменить вращающейся системой координат (х, у, z), ориентация которой для различных значений z будет

различной, то уравнения траектории примут вид

2.2.ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ ТРАЕКТОРИИ

Уравнения траектории (2.15) представляют собой диф­ ференциальные уравнения для нахождения прямоуголь­ ных координат (х , у) как функции z, т. е. для определения

расстояния электрона, движущегося вдоль оси. Уравне­ ния (2.1(5) позволяют определить величину угла поворота электрона, движущегося в магнитном поле вокруг опти­ ческой оси. В отсутствие магнитного поля В = 0 и, сле­ довательно, dQldz = 0, поэтому необходимо определять

только расстояние электрона от оси (уравнение (2.7)). Если пренебречь поворотом изображения, то можно пред­ ставить решения х (z) и у (z) уравнений траектории как

поверхности, линия пересечения которых является траек­ торией электрона. При этом х (z) будет представлять со­ бой поверхность, «плоскую» в направлении у, но искрив­ ленную в направлении х, в то время как у (z) будет «плоской» в направлении х и искривленной в направле­ нии у.

Уравнения (2.15) относятся к классу дифференциаль­ ных уравнений, которые очень часто встречаются в физике. Уравнение для простого гармонического движения хорошо известно. Исключительно важным свойством любого урав­ нения этого типа является то, что если могут быть найдены два независимых решения этого уравнения, то общее реше­ ние получается линейной комбинацией этих двух частных решений. Для большей ясности предположим, что урав­ нение (2.15а) имеет независимые решения g (z) и h (z).

Тогда общее решение будет иметь вид

Поскольку уравнение (2.156) по виду аналогично уравне­ нию (2.15а), его общим решением будет

Здесь А , В, С и D — константы. Количество решений,

вообще говоря, бесконечно, так как каждое частное реше­ ние характеризуется своими значениями Л, В, С и D,

которые в свою очередь определяются граничными уело-

виями. Выразим теперь эти константы через величины, представляющие физический интерес. Предположим, что в плоскости z0 на пути электронного пучка расположен

какой-либо объект; через каждую точку объекта будет проходить большое количество электронов (фиг. 2.3). Рассмотрим электронный луч, исходящий из точки (ха, у0, z0). Из уравнений (2.17) имеем

x0 = Ag{z0)-\-Bh (z0),

(2.18)

y0 — Cg(z0)Jr Dh( z0)

и

a0 = Ag' (z0)-\-Bh' (z0),

(2.19)

Vo— Cg' (z0)-\~Dh' (z0),

где a 0 написана вместо x' (z0) и Vo— вместо у' (z0). По фор­

ме этих уравнений можно сделать вывод о том, что реше-

ния g(z) и h(z) должны быть найдены в таком виде,

ресекало ось под углом, тангенс которого равен 1 (фиг. 2.4):

и общие решения уравнений (2.17) принимают следую­ щий вид:

x(z) = xQg (z)-\-a,0h (z), y{z) = yog{z)-\-y0h{z).

Если существует другая плоскость, в которой h (z) = О

и z = Zj, то уравнения (2.22) сводятся к более простому виду:

x{Zi) = X0g(Zl),

(2.23)

y(Zi) = y0g(Zi).

Это и есть искомый результат. Из уравнений (2.23) следует, что если из какой-либо точки (ж0, у0), лежащей в плоскости

z0, выходит под различными углами определенное коли­

чество электронов, то в плоскости z — гг все они пройдут только через одну точку, координаты которой (xit y t) пропорциональны координатам (х0, у 0) в плоскости объек­

та z0. Другими словами, рассматриваемое поле обеспечива­ ет получение в плоскости z — z; правильного, от точки к точке, изображения объекта, увеличенного в g (zt) раз.

ния (2.23) вместо х (zt) и у (z;) соответственно х ( и г/,,

получаем

Xi = M x a, yi = M y 0. (2.24)

Эти выводы сделаны на основании предположения, что h (г) второй раз проходит через нуль, поэтому прежде,

чем продолжить дальнейшие (рассуждения, мы должны выяснить, что это действительно так, а если нет, то к каким последствиям это может привести. Рассмотрим сначала случай магнитного поля, для которого уравнения траекто­ рии имеют вид х" + (г12£ 2/4Ф) х — 0, у ” -\- (т]2.В2/4Ф) у =

= 0. Функция, заключенная в скобки, всегда положи­

в конце концов всегда приблизятся к оси. Это означает, что линзы всегда проявляют собирательное действие. Электрон, падающий на меридиональную плоскость и двигающийся параллельно оси магнитной линзы, обяза­ тельно пересечет эту ось. Электрон, движущийся в этой же плоскости под углом к оси, может ее и не пересекать, но он будет выходить из линзы под более острым углом, чем угол между направлением его движения и осью на входе в линзу. Если линза достаточно сильная, то луч h (z)

пересечет ось второй раз. Если же линза слабая, то эти утверждения все же остаются справедливыми, поскольку действительная плоскость z = гг вполне обоснованно мо­ жет быть заменена мнимой плоскостью, в которой асимпто­ та к h (z) пересекает ось при z оо.

Аналогичные рассуждения показывают, что резуль­ тирующий эффект электростатических линз также являет­

уравнения (2.15в) и (2.15г)). Как следует из уравнений (2.15ж) и (2.15з), это позволяет исключить члены, содер­ жащие х' и у ' . Остальные преобразования предлагается в

качестве упражнения произвести читателю самостоятельно. При выполнении упомянутых выше условий, которые являются совершенно необходимыми (что электроны

должны двигаться вблизи оси симметрии электрического или магнитного поля, обладающего круговой симметри­ ей), достигается возможность фокусировки электронов и получения увеличенных изображений исследуемых объектов. При этом, однако, не учитывался эффект пово­ рота, характеризуемый уравнением (2.16). Интегрирова­ ние этого уравнения приводит к уравнению

(2.25)

ZО

которое показывает, что изображение оказывается повер­ нутым относительно объекта. С точки зрения формирова­ ния изображения это не имеет существенного значения, однако влияет на аберрации, возникающие в тех случаях, ' когда электроны движутся недостаточно близко к оси симметрии линзы.

Очень важной положительной особенностью полей, используемых для формирования электронных изобра­ жений, является то, что их можно характеризовать такими хорошо известными величинами, как фокусное расстояние и положение фокуса. Однако прежде чем продолжить дальнейшее рассмотрение, необходимо обратить внимание на различие между двумя основными путями или случаями использования электронных линз в электронных микро­ скопах в качестве объективов и в качестве промежуточных или проекционных линз (конденсорные линзы обычно можно рассматривать как проекционные, но, как мы уви­ дим ниже, в случае специального конденсора — так назы­ ваемого конденсора-объектива — это будет неправильно, так что настоящим замечанием следует руководствоваться с осторожностью).

Все электронные микроскопы представляют собой сложные приборы, состоящие из ряда частей (фиг. 1.4). Первая линза (объектив), расположенная непосредствен­ но под исследуемым объектом, предназначена для форми­ рования первого промежуточного изображения реального объекта. Промежуточная линза служит для формирования второго промежуточного изображения (при этом объектом отображения служит первое промежуточное изображение

реального объекта), а проекционная линза обеспечивает формирование конечного изображения на люминесцент­ ном экране (или фотографической пластинке). В совре­ менных приборах все линзы являются магнитными, а исследуемый объект очень часто располагается внутри магнитного поля объектива. С оптической точки зрения, как это будет видно при детальном изучении магнитных линз, такое расположение имеет определенные преимуще­ ства. Следствием указанной «иммерсии» объекта в магнит­ ное поле является то, что в формировании изображения участвует только одна часть поля, а другая его часть, строго говоря, представляет собой часть конденсорной системы электронного микроскопа. Другими словами, только часть магнитного поля объективной линзы служит для выполнения оптических функций объектива. Таким

образом, когда мы говорим о фокусном расстоянии объек­ тива, то имеем в виду ту часть поля объектива, которая расположена под объектом. Если же положение объекта по высоте меняется, то в качестве объектива уже будет действовать другая часть поля линзы, и, следовательно, фокусное расстояние также изменится. Объективная линза и ее объектодержатель изготавливаются в виде единого конструктивного узла так, что объект может занимать только очень узкий диапазон положений. Благодаря этому никакой неопределенности относительно оптических свойств объективной линзы не возникает. Тем не менее при конструировании электронных линз указанное об­ стоятельство следует иметь в виду.

Что касается двух других линз микроскопа, то с ними таких проблем не возникает, поскольку объектами отобра­ жения для них являются промежуточные изображения, которые, как и конечное изображение, формируются в пространствах, свободных от полей. Свойства этих линз легче проанализировать и объяснить, чем свойства объек­ тивных линз; поэтому сначала мы рассмотрим свойства промежуточной и проекционной линз.

На фиг. 2.5 показана форма поля В (z) линзы L , кото­

рая может быть использована в качестве промежуточной или проекционной линзы. При отсутствии линзы L другая

линза должна была бы формировать действительное изо­ бражение объекта в плоскости, проходящей через точ-