книги из ГПНТБ / Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия
.pdf14 Угловая Спектр -т----- частота
Си
а
V2-3V,
V,
(J |
гео |
Частота |
5
Электронный микроскоп |
181 |
V(t)
Ф и г. |
3.27. Связь между функцией и ее спектром. |
|
|
а — простейший |
случай: функция V (t) = |
V„ cos at. содержащая |
только |
одну частотную компоненту ш с амплитудой |
V„; С — более сложная функция |
||
V (t) = V, cos at |
4- Va cos 2 a i; ее спектр содержит две компоненты; |
в — вол |
|
новая функция, представляющая последовательность прямоугольных импуль сов и имеющая бесконечное число спектральных компонент.
ветствуют две спектральные компоненты с амплитудами Vi и V2 (фиг. 3.27, б). Более сложным, однако опять перио
дическим, является волновой процесс, представляющий собой последовательность прямоугольных импульсов (фиг. 3.27, в) и имеющий спектр частот, простирающийся
до бесконечности, но при этом все указанные частоты являются дискретными и не образуют непрерывного рас пределения.
Рассмотренные примеры касались таких возмущений, как изменение напряжения во времени, которое является независимой переменной. Однако в последнем примере прямоугольная волна может также представлять функцию пропускания решетки, состоящей из чередующихся непро зрачных и прозрачных областей. Возмущением в этом случае будет прозрачность решетки, а независимой пере
менной — координата |
на поверхности решетки. Спектр |
в этом случае будет |
представлять собой совокупность |
182 |
Глава 3 |
пространственных частот, из которых состоит функция
прозрачности.
Перейдем теперь к рассмотрению двумерного случая, когда решетка становится сеткой (фиг. 3.28, а—в). Одна
совокупность перемычек сетки создает спектр, который можно представить как систему полос, перпендикулярных к горизонтальной плоскости (фиг. 3.28, г); их высота характеризует амплитуду спектральной компоненты. Дру гая совокупность перемычек создает аналогичную систему полос, также перпендикулярных горизонтальной плоско сти, но ориентированных под прямым углом к первой. Ненулевой «результат» имеет место только там, где поло сы пересекаются так, что вместо картины полос полу чается серия изолированных пиков, расположенных в мес тах пересечения полос (фиг. 3.28, д). Этот двумерный
Фи г. 3.28. Двумерный спектр частот.
а— показана функция фиг. 3.27, в. бесконечно протяженная в пространстве, благодаря чему спектральные линии (б) становятся плоскостями; в — показан
результат пересечения в пространстве двух функций того же вида, представ ляющий систему столбиков квадратного сечения (это функция прозрачности прямоугольной сетки1с непрозрачными перемычками); спектр частот представ ляет собой результат пересечения двух семейств плоскостей (г), которые, если их рассматривать как функции и перемножить совместно, дают изоли
рованные линии, стоящие на плоскости частот (8).
184 |
Глава 3 |
спектр |
является фурье-анализом двумерной решетки; |
в данном оптическом примере он представляет собой ди фракционную картину, которую создавала бы решетка, бесконечно протяженная в обоих направлениях.
Теперь следует рассмотреть, что происходит в реаль ном случае, когда решетка имеет конечную протяженность.
Ф и г. 3.29. Спектр частот непериодической функции — дифрак ционной решетки конечной протяженности.
Спектр представляет собой уже не отдельные линии, а непрерывную функцию.
Возвращаясь к одномерному случаю, предположим, что имеется конечное число прозрачных полос, за пределами которых прозрачность равна нулю (вне решетки находится непрозрачный экран). В этом случае функция не является больше периодической, и поэтому следует ожидать, что соответствующий спектр будет состоять из непрерывно распределенных частот, а не из изолированных частот, разделенных конечными интервалами. Тем не менее интуитивно ясно, что, если число полос будет увеличивать ся, картина должна все более приближаться к системе
Электронный микроскоп |
185 |
дискретных частот, соответствующей случаю решетки бесконечной протяженности. Полный расчет подтверждает эти предположения. Если взять число полос конечным, но все же большим, то отдельные частоты представляют собой линии с очень небольшим размытием. С уменьшени ем числа полос линии уширяются и структура спектра становится более сложной (фиг. 3.29). Аналогично в дву мерном случае точки, получаемые для решетки бесконеч ной протяженности, размываются в пятна.
Приведенные рассуждения можно применить к элект ронному микроскопу, возвращаясь таким образом к основ ной теме (уравнение (3.12)). Если весь электронный пучок дойдет до плоскости изображения, то форму ф в этой пло скости можно получить, полагая, что в уравнении (3.11) h (z) = 0. То обстоятельство, что в этом выражении фигу рирует 1 lh, делает расчет предела при h -+■0 довольно
сложным. Поскольку этот расчет существенного интереса не представляет, здесь приводится только конечный результат
Ф(жь уи = j г ф (|г > -§:> zo) ехР [i х -Jr(xi + гЛ )] •
(3.22)
Плотность тока в плоскости изображения /* связана с плот ностью тока в плоскости объекта jQследующим образом *):
j i ( x i, Уг) = м 2 ^ ° (" аГ ’ |
) ’ |
(3.23) |
так как gt — М. Следовательно, как и в геометрической
оптике, распределение пересчитывается здесь в масштабе, соответствующем увеличению.
Однако, как правило, электронный пучок не полностью доходит до плоскости изображения, а параксиальное приближение не может правильно описывать пути всех электронов через линзы, особенно через объектив. Правда, влияние апертурной диафрагмы и аберраций можно рас считывать одновременно. Уравнение (3.11, б) связывает функцию ф (х , у, z) в произвольной плоскости с этой же
х) Функция ф обладает тем свойством, что плотность тока / пропорциональна фф*, где ф* — комплексно-сопряженная функ ция ф.
186 |
Глава 3 |
функцией вида ф (х0, у0, z0) в некоторой другой плоско
сти.
Пусть плоскость Фраунгофера z = za будет плос
костью, в которой функция известна. Для этого заменим (х0, уа) в уравнении (3.116) на (х а, уа); кроме того, следует
замепить лучи g (z) и h (z) новыми лучами g(z) и h(z),
удовлетворяющими следующим граничным условиям:
g (za) = h' (za) — 1 ,
(3.24)
g'(za) = h ( Z a) = 0.
Таким образом, уравнение (3.10), соответствующее пло скости изображения, запишется как
Ф(яь |
Уи zt) |
1 |
|
ikhi 1 5 'м ч ,{ | х |
|
||
|
|
X [ gi { x l - \ - y l ) ~ 2 { x aXi -\-yayi)Jr |
|
|
+A i(a:?-f-y?)J| dxadya. |
(3.25) |
|
Если преобразовать уравнение (3.25) так же, как это было сделано с уравнением (3.11а), чтобы получить выра жение, соответствующее уравнению (3.12), то обнаружит
ся, что вклад от С в уравнении (3.12) и член с gt {х% + yl)
в экспоненте взаимно сокращаются и уравнение (3.25) снова сводится к фурье-преобразованию, т. е. изображение есть фурье-образ дифракционной картины. Тщательное исследование знаков величин, входящих в уравнение (3.25), показывает, что более логично считать его обратным фурьепреобразованием дифракционной картины. Таким обра зом, формированию изображения в микроскопе соответ
ствует следующая |
последовательность: |
||
Фурье- |
|
Дифрак |
Обратное |
|
фурье- |
||
Объект --------------- > ционная |
--------- > Изображение |
||
преобразование |
картина |
преобра |
|
|
|
зование |
|
Обратное фурье-преобразование не представляет собой ничего нового: уже указывалось (уравнение (3.13)), что спектр частот функции / (х, у) определяется уравнением
7 (Р> 9) |
J / (*, У)>хр [ —2m (px-\-qy)] dx dy. (3.26а) |
Электронный микроскоп |
187 |
Возникает вопрос, каким образом по известному спектру частот можно восстановить исходную функцию, или, дру гими словами, что является аналогом уравнения (3.14) или уравнения (3.20). Можно показать, что таким анало гом будет выражение
f ( x , у) = j j ] ( р , g) exp [2 n i(p z -f qy)]dpdq. |
(3.266) |
Таким образом, уравнение (3.26а) определяет фурье-пре- образование / (х , у) и уравнение (3.266) — обратное фурье-
преобразование / (р, q).
Уравнение (3.25) дает возможность не только устано вить взаимосвязь между изображением и дифракционной картиной, но и учитывать влияние апертурной диафрагмы (которая, как предполагается, расположена в z — za)
и аберраций. Влияние апертурной диафрагмы может быть учтено сравнительно просто. Поскольку ф прямо связана с плотностью тока, ясно, что там, где электроны задержи ваются диафрагмой, ф = 0. Такой учет мы можем выпол нить двумя путями. Можно выбрать пределы интегрирова ния в уравнении (3.25) так, чтобы они включали только отверстие апертурной диафрагмы: если га — радиус отвер стия, то Ха + Уа ^ гг%. В другом случае (который с мате
матической точки зрения имеет много преимуществ) пре делы интегрирования можно взять бесконечными, но функцию фа определить так, чтобы она была равна функ ции, соответствующей электронам, попадающим в отвер стие апертурной диафрагмы, т. е. для х\ + у\ ^ г%,
и равна нулю вне отверстия. Еще более удобной является запись функции фа в уравнении (3.25) как произведения функции падающей волны фа, задаваемой в виде, который имеет уравнение (3.12), и функции пропускания апертур
ной |
диафрагмы А |
(х а, уа). |
Для |
обычной диафрагмы |
||
А (ха, Уа) = 1 |
при |
xl 4 - |
yl |
< rl |
И А (Ха, уа) = 0 при |
|
xl + |
yl > г1- |
Введение А |
(х а, уа) позволяет очепь просто |
|||
изучать влияние апертурных диафрагм различных типов. Более того, в общем виде можно показать, что влияние сферической аберрации и любой небольшой дефокусировки может быть уменьшено добавлением к А (х а, уа) некоторой
фазосдвигающей компоненты. Если плоскость объекта це сопряжена точцо с плоскостью изображения и расстоя-
188 |
Глава 3 |
ние от реальной плоскости объекта до плоскости, сопря женной с конечным изображением, равно Д, то вводимый линзой фазовый сдвиг будет равен
Y |
2я Г 1 |
Г I ха + Уа \ 2 |
j _ A |
±_Уа1 |
(3.27) |
X L 4 |
° s \ Я ) |
2 |
/2 J ’ |
где / — фокусное расстояние.
Для простоты этот анализ проводится в предположении, что апертурная диафрагма отсутствует, и, следовательно,
А ( х а, у а) = ехpiy |
(3.28) |
для всех ха, уа. Это предположение не противоречит
физической реальности, так как здесь важны срав нительно грубые детали объекта; электроны, формирую щие их изображение, испытывают в объекте лишь малые отклонения, поэтому иа них не влияет наличие или отсут ствие апертурной диафрагмы.
Чтобы оценить влияние, оказываемое этой апертурной функцией на изображение первичного объекта, подставим выражение, определяющее волновую функцию ф (ха, уа, za)
в плоскости |
апертурной |
диафрагмы |
через функцию |
|||
• ф (х0, |
Уо, |
z0) (уравнение (3.12)), в формулу, дающую выра |
||||
жение |
ф |
в |
плоскости конечного |
изображения через |
||
ф {ха, Уо, |
za) (уравнение (3.25)). Это приводит к интегралу |
|||||
по четырем переменным (ха, |
уа, х 0 |
и у0), |
который разби |
|||
вается на компоненты следующим образом:
ф(^г, у i) ~~ с К (х0, Уо; xi, у,) ф {х0, yo)dx0dy0. (3.29)
(Далее z-коордииата мать в том смысле, х 0, Уо — координате ция К имеет вид
везде опускается. Это следует пони что x t, у, всегда соответствуют z;; zQ и ха, уа — координате za.) Функ
7^ { х 0, Уо, Xi, у i) %ZfZ ^ ^ А ( Х а , Уа) X
х ехр { — w \ . ( Xo~ ж ) х ° + ( у°-ж) Уо] } dxadya-
(3.30)
Электронный микроскоп |
189 |
Это выражение упрощается, если ввести следующие обо значения:
II
Xi —
Тогда получаем
n Уа
0 - Т Г ’
1& II |3;а=
(3.31)
К (х 0 , Уо, x i , yt) — [ f A (Kfp, Kfq) X
X ехр2я£ [(xi — xо) p-\-(yi — Уо) q\ dpdq. (3.32)
Переменные x t, y t, х 0 и уа входят в К только как разности
xi — х 0 и — уо, так что К является фактически функ
цией только двух переменных. Кроме того, выражение, появившееся в правой части уравнения (3.32), является по определению обратным фурье-преобразованием апер турной функции A (Kfp, Kfq). Следовательно, функция К
является обратным фурье-образом апертурной функции
скоординатами, выбранными в соответствующем масштабе.
Инаоборот, апертурная функция является фурье-обра зом К:
A (Kfp, Kfq) = K( p , q ) . |
(3.33) |
Теперь можно записать амплитуду волны в плоскости
изображения (уравнение (3.29)) как |
|
ф(я;, yi) = c j j К (xi — х 0, у i у |
0) ф (х0, уо) dx0 dy„. |
Полезным свойством интегралов такого вида г) является
то, |
что |
их фурье-образы могут |
быть записаны так: |
||
|
|
ф;=с.Кф0. |
|
|
(3.34) |
Здесь ф0 (х0, уо) — не что иное, как t (х 0, у0) |
= |
(1 — а0) X |
|||
X |
(1 + |
i ф0) (уравнение (3.10)). |
Заменяя |
К |
(уравнение |
х) С этого момента опускается множитель масштаба 1/М, который ранее входил в С и усложнял выражение, не давая ничего нового.