книги из ГПНТБ / Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия
.pdf170 |
Глава 3 |
ИЛИ
/(z, Z)=Re [/0 ex p i(2 nzA —сой)],
где /о является комплексным членом
fo — Po exp(i^).
Это конечное выражение обычно записывается как
/ (z, t) — f 0exp i (2 nzA —Ш),
причем под этим автоматически подразумевается действи тельная часть. Если разложить экспоненциальную функ цию на пространственную и временную компоненты, то можно видеть, что / (z, t) представляет собой произведе ние функции z и функции V.
/(z, * )= [/„ exp(i2nzA)l [ехр( — ico£)].
Функция времени не представляет здесь интереса, и, по скольку она входит во все выражения /, она для крат кости записи в формулах будет опущена, но наличие ее следует везде подразумевать. Таким образом, вместо запи си в виде / (z, t) — ф (z) exp (—icoi) будет использовано выражение ф (z) = / 0 exp (i2nz/X).
Волна перемещается в z-направлении, но ее амплитуда может меняться вдоль плоскости х — у, перпендикуляр ной оси z. Так, например, если параллельный пучок света падает на экран, имеющий малое отверстие, то можно считать, что выходящая волна вне отверстия имеет нуле вую амплитуду и некоторое определенное (не равное нулю) распределение амплитуды в отверстии. Следова тельно, движение волны в направлении оси z закономерно будет описывать функция
Ф(я, у, z) = f 0(x, у) exp(i2 nzA)-
Амплитуда и фаза волны, идущей от объекта, в общем случае будут отличаться от амплитуды и фазы падающей волны. Падающий параллельный пучок соответствует возмущению
ф (vC, у, z) — A exp (i2nzA)> |
(3.3) |
где А — постоянная амплитуда, которую без потери общ ности можно принять равной единице (А = 1). Объект
Электронный микроскоп |
171 |
может быть охарактеризован функцией t ( x , y ) , |
которая |
определяет изменения амплитуды и фазы падающей волны при прохождении через объект в любой точке:
t(x, у) = а(х, y)expi<£ (х, у). |
(3.4) |
Следовательно, волна, выходящая из объекта, имеет фор му
Ф (х , у , z0) = |
t (х, |
у) exp (2 jtiz/A,)= |
|
= |
а (х, |
у) exp i (2nz/K + ф). |
(3-5) |
Если энергия не передается от пучка к объекту, |
то а (х, у )= |
||
= 1, а практически а (х, у) всегда близка к единице. Поэто
му |
можно |
написать |
соотношение |
|
|
|
|
а( х, у) = 1 — а(х, |
у), |
(3.6) |
|
где |
а (х, у) |
— малая |
величина по |
сравнению |
с единицей |
(а должна быть меньше единицы, так как объект может
только задержать электроны из пучка, но никогда не мо жет добавить в пучок новые электроны).
Функция ф (х, у) определяет фазовые изменения, обус |
|
ловленные объектом. Некоторое представление о порядке |
|
величины фазовых изменений можно получить на осно |
|
вании следующих простых соображений. До настоящего |
|
момента понятие «показатель преломления» не применя |
|
лось, поскольку оно в основном представляет |
интерес |
в более формальных теориях электронной оптики. |
Нетруд |
но |
показать, что величину У1/* 2 (где, как обычно, У = |
= |
Ф (1 + еФ)) можно рассматривать как показатель пре |
ломления *). При прохождении через объект электроны пересекают потенциальную «яму», так как средний потен циал внутри объекта немного ниже, чем в вакууме. Если
через п0 |
и n t обозначить |
показатели |
преломления вне |
||
и |
внутри |
объекта, |
то разность хода между значениями |
||
|
!) Е сл и прин ять, |
что отнош ен ие п ок азател ей п рел ом лен ия д в у х |
|||
ср ед обратн о проп орц и он альн о отнош ению дли н |
в ол н , то этот р е зу л ь |
||||
тат |
м ож ет |
быть п ол учен и з уравн ен и я (1 .1): |
|
||
|
|
|
1 |
И /2 |
|
|
|
|
щ_______v\__ |
|
|
П2 ~ ~ h i _ У | / 2 '
172 |
Глава 3 |
оптической длины пути электрона, проходящего через объект, и электрона, проходящего через вакуум (без объекта), будет определяться как
—— — D, |
(3.7а) |
п0 |
|
где D — толщина объекта. Тогда разность фаз ф дается
выражением
|
|
|
|
|
(ЗЛ6) |
Записывая n t = |
F*/2, |
п0 |
А/ 2 |
получаем |
|
= Vo'~, |
|
||||
Щ _ |
Г (Фр+ Ф») (1 + ЁФоЧ-бФ;')! 1^2 |
|
|||
«о |
L |
Ф0(1 +еФ0) |
J |
|
|
|
|
Ф| |
\ ‘/2 |
Ф; |
(3.8) |
|
(‘ + » |
‘ |
2ФП |
||
|
|
Фп |
|
|
|
где Ф; —«внутренний потенциал» объекта. Таким образом,
я Ф; |
(3.9) |
|
% Ф0 |
||
|
Типичное значение внутреннего потенциала составляет 10—20 В (8 В для бериллия и углерода, 21 В для серебра
и золота), так что для 100-кВ электронов (X = 0,037 А) njrig — 1 меняется от 5-10-5 при Фг = 10 В до 10~4 при
Ф; = 20 В. Следовательно, для легкого элемента, для которого Фг = 10 В, фазовый сдвиг достигает я/2, когда
толщина объекта составляет всего лишь 185 А. Это очень малая толщина для электронномикроскопического объекта,
ипоэтому целесообразнее рассматривать изменения фазо вого сдвига, создаваемого различными частями объекта, чем разность фаз между лучом, проходящим через объект,
илучом, проходящим тот же путь в вакууме.
Все вышеизложенное позволяет лучше понять, почему некоторые теории формирования изображения должны основываться на допущении, что ф является достаточно
малой величиной для того, чтобы можно было разложить exp i<£ как 1 + i^. Если это не имеет места, то теория становится значительно более сложной и интерпретацию электронного изображения вблизи предельного разреше ния требуется производить с особой осторожностью.
Электронный микроскоп |
173 |
Рассмотрим объекты, для которых а (х, у) (уравнение (3.6))
мало и exp i<|> |
(х , у) т 1 |
+ i<j>(х, у), |
так что |
|
t (х, |
г/)= (1 —а) (1 — i<£) » 1 — a + i^>. |
(3.10) |
||
Дифференциальное |
уравнение, |
удовлетворяющее |
||
ф (х, у, z), может быть записано в параксиальном прибли
жении точно так же, как и уравнения движения. Выпол нив это, можно найти, что решение имеет вид
ф (г, у, z) = ^ Д г) j j ф(ж0, у0, z0) x
х ехР { Т Щ - (z) (* * + ^ —
— 2 ( xx 0-\-yyo) + h'(z)(x‘* + y‘2)]} dxQdy0. (3.11а)
Интегрирование выполняется по переменным х0, у0,
которые пробегают площадь объекта, находящегося в пло скости z = z0. Уравнение (3.11а) показывает, как развер тывается функция ф (х, у, z) по оси z, определяя ее зна чение при z = z0. Функции g (z) и h (z) являются реше
ниями параксиальных уравнений движения, которые удов летворяют граничным условиям
g(z0) = h' (z0) = 1 ,
g’ (z0)= h (z0)= 0 .
(Далее вместо g(z) и h (z) мы будем писать просто g и h.) Поскольку интегрирование ведется по х0 и у0, уравнение
(3.11а) может быть преобразовано следующим образом:
ф(ж, У, z) = |
- -- |
- - |
- - |
Г |
- |
- |
-УоJ'z°)J *X |
|
|
ехрГ т г (г2+г/2)] |
р |
|
|
||||
X exp | ^ |
[g (xl + yl) — 2 |
(хх 0+ уу0)]} dx0 dy0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.116) |
В плоскости, |
в |
которой |
g (z) |
= |
0, |
z |
— za, имеем |
|
Ф(я, у, |
Za) = |
C |
j j ф(ж0,уо, z0) exp [ — 2 m (ххо + |
|||||
+ yyo)/kha\ dx0 dy0. |
(3.12) |
174 |
Глава 3 |
Это соотношение имеет важное значение, так как преобра зование типа
оооо
7(Р,Я)— ^ j f ( x , y)exp[ — 2ni (рх + qy)\ dxdy, (3.13)
— оо — оо
широко распространенное в физике, является математи ческим выражением часто встречающейся физической опе рации: частотного анализа или фурье-анализа; функция
/ (р, q) называется фуръе-преобразованием или фуръе-
образом / (х , у). Следует обратить внимание на общий вид
уравнения (3.13), который необходимо различать в более сложных выражениях того же типа, используемых в по следующих расчетах.
Теперь нужно сделать отступление для того, чтобы выяснить связь между функцией и ее фурье-образом. Эта связь сохраняет свои черты при любом числе перемен ных, так что для простоты рассматривается функция только одной переменной.
Предположим, что функция / (х) есть изменение неко
торой физической величины в зависимости от координаты. Например, / (х) может представлять собой коэффициент
непрозрачности для света некоторого полупрозрачного объекта, измеряемый вдоль линии (у = const): где / (х) =
=0 , объект совершенно непрозрачен, а где / (х) прини
мает максимальное значение в условных единицах (обыч но 1), объект совершенно прозрачен. Можно показать, что такой объект (или функцию) можно всегда получить суперпозицией объектов с синусоидальной прозрачностью (или синусоидальных функций), имеющих соответствую щие амплитуды. Сразу возникают два вопроса: какая цель достигается этим и что имеется в виду под «соответствую щими» амплитудами?
Правильный ответ на первый вопрос состоит в том, что математический анализ преобладающего большинства физических явлений строится таким образом, что первое приближение к решению (которое бывает часто адекват ным) включает линейную зависимость: в оптических свойствах линз, теории электрических цепей, простом гармоническом движении и во многих других случаях линейные зависимости играют очень важную роль. Одна
Электронный микроскоп |
175 |
ко этот ответ слишком формален. В такой же мере правиль ный ответ состоит в том, что наиболее изученными и удоб ными для нас являются уравнения такого типа, которые описывают простое гармоническое движение и оперируют с «частотами».
Любые методы разложения общей функции на сумму компонент с индивидуальными частотами позволяют све сти общую проблему к особой форме, способы решения которой хорошо известны. При конструировании теле фонных линий, например, изучают реакцию компонентов электрической цепи к различным частотам: некоторые частоты проходят не изменяясь, другие могут не пройти совсем, третьи изменяются по величине. Нормальная речь содержит широкий диапазон частот, и значительно проще понять искажающее влияние плохой телефонной линии по реакции линии к различным частотам (частотные харак теристики), чем каким-либо другим путем.
Ответ на второй вопрос содержится в уравнении (3.13), дающем такую величину для каждой частотной компо ненты, что комбинация всех компонент будет воссоздавать исходную функцию. Рассмотрим это для простейшего случая. Можно утверждать, что всегда существует воз можность представления общей функции в виде синусои дальных компонент. Предположим, что эти компоненты
будут правильно |
разнесены |
по |
частоте |
как |
«гармо |
||||
ники»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) — fsi sin z + |
/ s2 sin 2a: + / S3 sin 3x + |
|
|
||||||
+ |
• • • + |
Jsu sin nx + |
. .. +/co + /dCosa:4 - |
|
|||||
+ |
J cZ cos 2x + / c3 cos 3x |
.. . + |
f cn cos nx -f- .. . . |
||||||
Это может быть записано |
в сжатом |
виде как |
|
||||||
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
|
|
|
f ( x ) = |
2 fsnSinnx-f- 2 Jen COS nx. |
|
(3.14) |
|||||
|
|
n=l |
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
Умножая |
все |
выражение |
последовательно |
на |
sin тх |
||||
и cos тх, |
находим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ОО |
|
|
|
00, |
|
|
|
/ (х) sin тх = |
21 fen sin nx sin тх + |
2 1 fen cos na.sin mx, |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
о |
|
|
|
176 |
Глава 3 |
|
|
|
ОО |
|
|
/ (х) cos тх = |
2 |
fsn sin пх cos тх + |
|
|
1 |
|
|
|
ОО |
|
|
+ |
S |
fen cos пх cos тх |
(3.15) |
|
о |
|
|
и, далее, |
|
|
|
Я |
оо |
Я |
|
Нетрудно показать, что интегралы вида j |
sin тх sin пх dx |
|||||
|
я |
|
|
- я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
| |
cos тх cos пх dx |
всегда |
равны нулю, |
за исключе- |
|
|
—я |
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
нием случая п — т, в котором мы имеем |
j |
sin2 пх dx = |
||||
|
я |
|
|
—я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
| |
cos2 пх dx = я. |
Таким |
образом, |
коэффициенты |
|
—я
определяются следующими общими формулами:
я
\ / (z) sin тх dx,
(3.17)
/ ст= — j / (х) cos тх dx.
- я
Накладывает ли допущение о возможности использо вания только членов в форме cos пх и sin пх какое-либо ограничение на функцию / (х), для которой этот анализ
используется? Безусловно накладывает, так как урав нение (3.14) показывает, что если к есть любое целое чис-
Электронный микроскоп |
177 |
ЛО, ТО |
|
/(^ + 2 /ся) = 2 / зп sin п (х-\-2кп) + |
|
+ 2 fen COS п ( х + 2кп) = 2 fan sin пх + 2 |
fen cos пх. |
|
(3.18) |
Таким образом, с помощью этого метода может быть про веден анализ только периодической функции, принимаю щей одно и то же значение через равные интервалы. Это накладывало бы жесткое ограничение на полезность метода, если бы не имелось пути для расширения области его применения на функции общего вида. Как это дости гается, можно видеть при рассмотрении функции / (х), для которой / (х) / (х + 2кп), но которая тем не менее является периодической: f (х) = / (х + кк) для всех целых значений к. С учетом уравнения (3.14) можно записать
|
|
|
ОО |
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
f ( x ) |
= |
2 f s n |
sin апх-\- |
2 f e n cos bnx, |
|
|||||
|
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
7 1 = 0 |
|
|
|
|
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (x-\-kX)= 2 |
|
f s n |
sin an (x-\-kX) + 2 f e n |
cos bn (x -f kX). |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Условие / (ж + |
kk) — f (x) |
будет |
удовлетворяться, |
если |
|||||||
что |
дает |
|
|
——2 j t |
у |
b k = 2 n , |
|
|
(3.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 0 |
|
|
|
, |
о о |
2 пх |
|
|
|
/(z ) = |
|
2 |
T s n S i n n — - |
ч 1 -г |
(3.20) |
|||||
|
|
+ |
2 j f c n < M S n |
х . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
Как и раньше, умножаем все выражение |
на |
cos(m2nxjX) |
|||||||||
и |
sin (т2пх/к). |
В |
результате |
интегрирования |
получаем |
||||||
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
j / (х) sin m -^ - d x = |
2 |
fsn f |
sin n |
sin m |
dx + |
||||||
|
|
|
oo |
|
l |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 f cn j |
co sn —^~ sin m -^ - dx, |
|
(3.21) |
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
12-0132
178 |
Глава 3 |
но пределы интегрирования теперь должны быть выбраны так, чтобы 2пх/к = ± я или х = ± к ! 2 .
Нет необходимости проводить этот расчет дальше. Ясно, что если периодичность / (х), измеряемая к, увели
чивается, то пределы интегрирования в уравнении (3.21) также увеличиваются, и что частоты компонент, соединяе мых для воссоздания / (х) в уравнении (3.20), становятся более близкими — сначала пх, затем п (2пх/к). Следова тельно, можно предвидеть, что если периодичность к
становится неопределенной (т. е. рассматривается непе риодическая функция), то пределы интегрирования тоже становятся неопределенными. При этом суммирование близко отстоящих частот превращается в интегрирование.
Наконец, с целью упрощения выражения можно ввести комплексную форму записи. Применяя тождества
cos0 = y [exp (i0 ) + exp ( — i0 )]
и
sin 0 = -2j- [exp (i0 ) — exp ( — i0 )],
например, в уравнении (3.20), |
паходим |
||||
|
|
СО |
|
|
|
/ (z) = |
2 |
т |
(fcn ~ |
ехР (in2nxfk) + |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
+ |
2 |
у |
(/с» + i7sn) exp ( — in2nx/k), |
|
|
|
о |
|
|
|
где /so = 0- |
Введя |
обозначения V2 (fcn — i fsn) = fn |
|||
И V2 Qcn + |
i fan) = |
7-П, имеем |
^ |
||
oo |
|
|
|
00 |
|
1 (x ) — S |
In exp (in2 ita;A) -f 2 |
f-n exp ( — in2nx/k) = |
|||
о |
|
|
|
о |
|
oo
=2 fn exp (in2nxfk).
—OO
Исключая 7crt и fsn из уравнения (3.21), окончательно
получаем
ш
7n= y j /(ж ) exp [ — 2ni{nxfk)\ dx.
-к /2
Электронный микроскоп |
[79 |
Рассматривая вновь уравнение (3.13), можно заметить, что оно является естественным примером распространения проведенного анализа на функцию двух переменных или, с физической точки зрения, на распределение по области в двух измерениях.
Возвращаясь теперь к уравнению (3.12), заметим, что в плоскости z = za, известной как плоскость Фраунго
фера, электроны будут перераспределяться таким обра
зом, что |
они |
создают фурье-образ функции |
объекта |
t ( x , y ) , |
обычно |
называемый дифракционной |
картиной |
объекта. Если объект имеет периодическую структуру, например кристалл, то функция t (х, у) будет также перио
дической и в дифракционной картине будут представлены только определенные частоты. Это означает, что на кар тине будут видны отдельные пятна (см. снимок IX). Если объект не имеет периодической структуры, то дифрак ционная картина не будет иметь четко выраженного характера.
Указанное различие между объектами с периодической и непериодической структурой и соответствующими им функциями в общем случае очень важно, поэтому про иллюстрируем его несколькими примерами, соответствую щими в основном одномерным функциям. Для простоты все примеры взяты симметричными относительно начала координат. В выражении остаются только члены с коси нусами, так как функция косинуса симметрична относи тельно начала координат: cos 0 = cos (— 0 ) для всех зна
чений 0. (В противоположном случае, когда функции антисимметричны относительно начала координат, / (х) — = —/ (—х), их можно выражать членами, представляющи
ми функции только синуса. Функции, не обладающие ка кой-либо симметрией, выражаются членами, содержащими и синусы, и косинусы.)
Простейший из возможных примеров — это волновой процесс с одной-единственной частотой, например напря жение переменного тока: У (t) = F 0 cos соt. Его спектр
содержит только одну частотную компоненту со с ампли
тудой У0 (фиг. |
3.27, а). Если имеются |
два^источника |
||
переменного тока (например, |
с напряжениями |
У4 cos соt |
||
и У2 cos 2 соt), |
то происходит более сложный |
волновой |
||
процесс У (t) = |
Vi cos соt + |
У2 cos 2 соt, |
которому соот- |
|
12*