книги из ГПНТБ / Арсенид галлия. Получение, свойства и применение

Г Л А В А 2

ЗОННАЯ СТРУКТУРА

2.0. Введение

Физические процессы, происходящие в кристалличе­ ских твердых телах под влиянием внешних воздействий: электрических, магпитных и тепловых полей, темпера­ туры, света, давления и т. д. в основном определяются энергетическим спектром электрона в кристалле, зон­ ной структурой.

Зонная структура может быть рассчитана теоретически или же определена экспериментально. Теоретические методы определения зонной структуры основаны на знании кристаллохимической структуры твердого тела и свойств со­ ставляющих его атомов. Зная кристаллохимическую струк­ туру твердого тела и применяя математический аппарат теории симметрии — теорию групп, можно получить общпе сведения о зонной структуре определенного класса твер­ дых тел. Результаты, касающиеся непосредственно отдель­ ного полупроводника, получаются лишь количественными расчетами. Экспериментальные методы исследования зон­ ной структуры сводятся к нахождению отдельных пара­ метров зонной структуры, например эффективной массы носителей тока, мея^зонных энергетических расстояний, формы изоэнергетических поверхностей и т. д.

В этой главе изложены основные результаты теорети­ ческих работ, посвященных исследованию энергетического спектра электронов в арсениде галлия. Часть этих резуль­ татов носит общий характер и может быть отнесена также и к другим полупроводниковым соединениям, обладающим той же кристаллической структурой, что и арсенид галлия. Результаты количественных расчетов зонной структуры, естественно, специфичны для рассматриваемого соедине­ ния.

В 2.1 излагаются результаты теоретико-группового анализа. Эти результаты не зависят от модельных пред­ положений'и поэтому абсолютно надежны. В 2.2 и 2.3 приведены результаты, полученные на основе хорошо обоснованных предполоимений и к настоящему времени подтвержденные. Далее в 2.4 описаны результаты, най­ денные количественными методами, частично подтверж­ денные экспериментально, но в основном еще ждущие экспериментальных и теоретических проверок, а также дана общая картина зонной структуры арсенида галлия.

2.1. Свойства симметрии энергетических зон в кристаллах со сфалерптной структурой

Исследованию зонной структуры кристаллов со струк­ турой сфалерита теоретико-групповыми методами посвя­ щены работы Парментера [1], Дрессельхауза [2], а также Шека [31. Ниже используются обозначения Парментера.

Каждый кристалл обладает симметрией относительно вращений на определенные углы, отражений, трансляций на определенные периоды, а также их совместного дей­ ствия. Совокупность этих преобразований симметрии кристалла образует группу в том смысле, что любое из преобразований симметрии кристалла может быть полу­ чено последовательным действием двух других из этой же совокупности.

Группа симметрии кристалла называется простран­ ственной и содержит всегда инвариантную подгруппу трансляций, т. е. трансляции сами по себе образуют группу, кзг да не входят вращения и отражения. Иногда структура кристалла оказывается такой, что вращения и отражения также сами по себе образуют группу, не затрагивающую трансляции. Такие пространственные группы называют точечными. Пространственная группа структуры сфале­ рита является именно такой точечной пространственной группой н обозначается Т\. Подгруппой трансляций ее является группа трансляций гранецентрированноп ку­ бической решетки с основными векторами трансляций

разуют группу симметрии тетраэдра. Эта группа состоит пз 24 элементов: тождественное преобразование Е, три поворота на 180° вокрзг г трех взагшпо перпендикулярных осей, направленных вдоль ребер куба С», восемь поворо­ тов на 120° и 240° вокруг осей, проходящих через объем­

кулярных этим осям 5.1, так называемые зеркальпо-по- воротиые осп; наконец, шесть отражений в плоскостях, проходящих через каждые две объемные диагонали куба а.

Из-за наличия трансляционной симметрии физические величины, определенные внутри кристалла (например, кристаллический потенциал), оказываются периодическими функциями с периодом решетки. Решениями уравнения Шредпнгера для одного электрона в таком кристалли­ ческом потенциале являются так называемые блоховскне функции

2.1] С В О Й С Т В А С И М М Е Т Р И И

обратной является объемно-цеитрпроваппая кубическая

статочно ограничить область изменения к пределами эле­ ментарной ячейки обратной решетки. Определенный та­ ким способом к называют приведенным волновым векто­ ром, а область изменения к — первой зоной Бриллюэна или просто зоной Бриллюэна. Векторы к, достигающие по­

Зона Бриллюэна для решетки гранецептрироваипого куба представляет собой усеченный октаэдр, причем ше­ стигранные боковые поверхности его перпендикулярны

кристаллического потенциала на решеппя одноэлектроиного уравпеппя Шредингера. Хотя в целом уравнение Шредиигера н обладает полной точечной симметрией кристалла, однако рассматриваемое как уравнение относительно функ­ ций £7к(г) оно обладает в общем гораздо меньшей симмет­ рией, зависящей от расположения точки к внутри зоны Бриллюэна.

Действительно, подстановка блоховской функции в уравнение Шредингера приводит к уравнению с так на­

ческих значениях к па поверхности зоны Бриллюэна урав­ нение Шредингера для Uk(x) будет обладать поворотной симметрией кристаллического потенциала. В произволь­ ной точке к оно вообще пе обладает поворотной симметрией. Еслп же, например, к расположено вдоль оси х, то из эле­ ментов симметрии кристаллического потенциала остаются

2.U С В О Й С Т В А С И М М Е Т Р И И 75

граиецоитрироваииой кубической решетки с симметрич­ ными точками.

Элементы симметрии из группы симметрии кристалла оставляющие инвариантным уравнение Шредингера для Uk{v) сами образуют группу. Эта группа является подгруп­ пой группы симметрии кристалла и называется группой симметрии волнового вектора к. Важно, что рассматри­ ваемая как группа преобразований обратного простран­ ства, а не координат, группа симметрии волнового век­ тора оставляет данный волновой вектор неизменным. Следовательно, эта группа преобразований, примененная к волновой функции i|)k(г), будет затрагивать лишь функ­ ции Uk(r). Знание закона преобразования этих функций под действием поворотов из группы симметрии волнового вектора дает возможность классифицировать типы решений уравнения Шредингера для Uk(v): так, например, четность или нечетность относительно отражения и т. д., а также установить кратность вырождения собственного значения энергии, т.е. число функций Uk(r), принадлежащих к данно­ му значению энергии. Эти законы преобразований даются в виде таблиц, которые называются таблицами малых пред­ ставлений пли таблицами представлений группы волнового вектора. В таких таблицах обычно приводятся не полностью матрицы преобразований функций Uk(r) под действием по­ воротных элементов, а только суммы диагональных элемен­ тов матриц — характеры, что в отсутствие вырождения одно и. то же. В случае же вырождения характер матрицы тож­ дественного преобразования, очевидно, равен числу функ­ ций, принадлежащих к данному собственному значению энергии и поэтому определяет кратность вырождения. Его называют размерностью представления группы вол­ нового вектора.

Если число функций, преобразующихся друг через друга под действием поворотных элементов, нельзя умень­ шить, то такое представление называется неприводимым. Кроме того, выбирая различным образом функции Uk(r), преобразующиеся под действием операций симметрии, можно получить различные представления, которые рас ­ сматриваются как эквивалентные, т. е. характеры их оди­ наковы. В таблицах приводятся только неприводимые, неэквивалентные представления, так как все другие мо­ гут быть построены из них.

Мы рассмотрели только те элементы симметрии, ко­ торые оставляли волповон вектор к неизменным. Осталь­ ные элементы симметрии из группы симметрии кристалла будут переводить этот вектор к в другие. Все векторы к, получающиеся путем таких преобразований, образуют «звезду». В частностп, «звезда» вектора к—0 состоит из одного вектора, а «звезда» произвольного вектора к, не обладающего никакими элементами симметрии, состоит из стольких векторов, сколько элементов симметрии со­ держит кристалл (в случае сфалерита — 24). Поскольку уравнение Шредингера для a|)k (г) инварпаптио относи­ тельно всех преобразований симметрии кристалла, то эпергпя одпоэлектрониых состояний для всех векторов «звезды» одна и та же. Это вырождепие, однако, имеет место в разных точках k-простраиства и выражается равенством

г (kj) = е (к2 ) = . . . = е (к„)

для всех /г-векторов «звезды». В табл. 2.1 показано также чпсло векторов «звезды» для каждого к.

Дополнительная симметрия имеет .место по отношению к изменению знака времени. Если в нестационарном урав­ нении Шредингера заменить £->—t, затем взять комплек­ сное сопряженно, то уравнение сохранит свой вид. Следо­ вательно, комплексно-сопряженная волповая функция также является решепнем этого уравнения. Учет допол­ нительной симметрии, связанной с обращением времени может привести иногда к удвоеышо кратности вырождения энергии (крамерсовское вырождение).

Результаты теоретико-группового анализа различаются в зависимости от того, учтено ли наличие спина или нет. В кристаллах, состоящих из атомов тяжелых элементов, важную роль играет взаимодействие магнитного момента спина электрона с магнитным моментом орбитального движения. Это взаимодействие называется спин-орбиталь­

ему понижается симметрия уравнения Шредингера. Если спин-орбитальные эффекты не очень велики, хотя и су­ щественны, как, например, для арсенида галлия, то по­ лезно иметь п результаты апализа, ие учитывающего спин.

Рассмотрим сперва, в каких точках к-простраиства может иметь место вырождение зон. Согласно теории таб-

2.1] С В О Й С Т В А С И М М Е Т Р И И 77

лица характеров неприводимых представлений группы

в точке Г — представления Г 1 5 и Г 2 5 ; двукратное вырожде­ ние в точках Л, X и Г — представления Л3 , Х 5 , Г 1 2 . Кроме того, из-за симметрии относительно инверсии времени сливаются два представления Д3 и А4 вдоль направления А.

Рпс. 2.2. Общий вид зависимости энергии от волнового вектора вблизи симметричных точек зоны Брпллтаэна без учета спина.

-Т В полупроводниках носители тока распределяются вблизи максимумов и минимумов зон, т. е. вблизи верхнего края валентной зоны, пустые места — дырки, а у дна зоны проводимости заполненные места — электроны. В межзон-