книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Здесь-------= m - — ошибка выборочной средней. Отсюда грани-

Ѵ п

цы доверительного интервала для генеральной средней М можно обозначить так:

x —t r r i j ^ M

Величина tmx, которую обозначим греческой буквой А (дельта), т. е. А — tmx, является максимальной погрешностью оценки ге­ нерального параметра М по величине выборочной средней х; &х называют также предельной или максимальной выборочной ошибкой средней арифметической.

f(x)

Рис. 10. Доверительные интервалы для трех порогов дове­ рительной вероятности — І3!= 0,95, Р 2 = 0,99, Р 3=0,999

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Определение возможных значений генеральных параметров по величине выборочных показателей носит общее название оценки генеральных параметров. Критерием оценки служит стан­ дартная величина нормированного отклонения (ist), с которой сравнивается фактическое значение этого критерия (/ф). В от­ ношении генеральной средней М этот критерий выражается сле­ дующими аналогичными отношениями:

левую гипотезу следует отвергнуть. Например, в одной из кошар овцесовхоза на 95 особях средний настриг шерсти на одну овцу

100

составил 6,2 кг при а = 0,43 кг. Можно ли на основании этого ре­ зультата заключить, что настриг шерсти на этой кошаре досто­ верно снижен по сравнению со средним настригом шерсти по совхозу, равным 6,4 кг на овцу? Нормируя известные величины, находим:

сердними х\ и Х2 , служит отношение разности х\ — x 2 — D к своей статистической ошибке. Именно:

Мі и М2 генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, не отличаются друг от друга, т. е. Мі = М2.

Например, по данным госплемкниги, коровы горбатовской по­ роды по шестому отелу имеют средний суточный удой, равный х \= 13,12±0,46 кг, а коровы той же породы по третьему отелу дают в сутки в среднем х2= 14,28±0,73 кг. Разница в пользу ко­

Р = 0,82. Так как эта величина не достигает даже первого порога доверительной вероятности (Р = 0,95), нулевую гипотезу отверг­ нуть нельзя; наблюдаемую разницу в суточном удое между ко­ ровами разных групп следует считать статистически недостовер­

101

ной. Это значит, что вопрос о больших удоях коров по третьему отелу остается открытым.

Нулевую гипотезу можно испытать и путем сопоставления доверительных интервалов сравниваемых параметров. В данном случае при Р = 0,95 доверительные интервалы для генеральных параметров будут следующими:

х х ± tm—= 13,12 ± 1,96 X 0,46= 13,12 + 0,90= 12,2214,02;

*7+ t m - = 14,28 ± 1,96 X 0,73= 14,28 ± 1,43= 13,8515,71;

Видно, что границы доверительных интервалов почти совпадают друг'с другом, что не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу.

Рассмотрим следующий пример. Анализы сыворотки крови, взятой у клинически здоровых и страдавших припадками тета­ нии обезьян, дали следующие результаты (табл. 26).

Таблица 26

Нужно сравнить нормальных и припадочных животных по этим показателям. Разность по калию равна: 18,56—18,14 = = 0,42 мг%. Находим ошибку этой разности:

личину по табл. V приложений, в которой для Р = 0,05 и числа степеней свободы k= (п\— 1) + («2— 1 ) = п і + я 2— 2 = 89+107— —2=194 находим ^г = 1,96. Так как 7ф= 1,56<7S(= 1,96, нулевая гипотеза сохраняется; разницу между нормальными и припа-

102

дочными и нормальными обезьянами по этому признаку оказа­ лась статистически достоверной. ■

При оценке разности между средними х\ и х 2, характеризую­ щими редкие события, которые распределяются по закону Пуас­ сона, критерием достоверности можно взять отношение

Достоверность (т. е. неслучайность) разности между сред­ ними зависит не только от абсолютной величины этой разности, но также от объемов выборок, на которых вычислены эти пока­ затели, и от размаха варьирования признаков. Неопровержение нулевой гипотезы еще не служит доказательством того, что раз­ ница между генеральными параметрами отсутствует. Статисти­ ческая недостоверность разницы свидетельствует лишь о том, что такая разница не доказана и вопрос остается открытым.

При сравнении статистических показателей друг с другом следует учитывать, на каких совокупностях — зависимы^ или независимых-— они получены. Если варианты одного признака^ распределяются независимо от распределения значений другого признака Y, -они называются независимыми. Если же значения одного признака в той или иной степени связаны с соответствую­ щими значениями другого признака, они зависимы друг от друга. Выше рассматривались примеры независимых выборок. Случаи зависимых переменных рассматриваются ниже.

МА Л Ы Е В Ы Б 0 Р К И Т-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

Во многих случаях объем выборочной совокупности не пре­ вышает 20—30 наблюдений. Такие выборки называются м а л ы ­

103

/

м и. Представление о малых и больших выборках связано с ис­ следованиями Вильяма Госсета (1908), печатавшегося под псев­ донимом Стьюдент (Student). Исследуя закон распределения ма­

то, что оно строго симметрично относительно нулевой точки в системе координат, где г“= 0; оно зависит от двух величин: нор­ мированного отклонения t и объема выборки (п), который берет­ ся числом степеней свободы; степень различия ^-распределения Стьюдента от нормального распределения определяется только числом степеней свободы k\ с увеличением п распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному с параметрами

В табл. 27 приведены значения функции нормального рас­ пределения и распределения Стьюдента для разных значений t (значения функции даны трехзначными числами после запятой). Из этой таблицы видно, что, начиная с « = 30, распределение кри­ терия t Стьюдента практически уже не зависит от п. Наглядное представление об особенностях ^-распределения дает рис. 11, на

* Под плотностью распределения понимается число случаев, приходящихся на единицу ширины классового интервала непрерывно варьирующей величины. Иначе, плотность распределения — это отношение частоты данного интервала к его ширине, выраженное в единицах измерения вариант данного ряда.

104

котором на фоне нормальной кривой (менее плоской) нанесена кривая (-распределения при п = 3.

Таким образом, распределение Стьюдента — это всего лишь частный случай нормального распределения; оно отражает спе­ цифику малой выборки, распределяющейся по нормальному закону в зависимости от п. Для практических расчетов, связан­ ных с распределением Стьюдента, составлена специальная таб­ лица, облегчающая решение практических задач. Она приведена в приложениях под № V. В этой таблице указаны критические (стандартные) значения критерия t для разных уровней значи­ мости (Р ) в зависимости от числа степеней свободы k, что по­ зволяет оценивать расхождение между генеральными парамет­ рами по разности выборочных показателей. В верхней строке табл. V указаны уровни значимости для двустороннего, а в ниж-

Рис. 11. (-распределение при п = 3 (на фоне нормальной кривой)

ней строке — для одностороннего критерия t. Это значит, что в первом случае учитывается отклонение t от центра распределе­ ния, где ( = 0, как в сторону положительных ( + ), так и отрица­ тельных (—) значений. Ведь в одном конце кривой распределе­ ния t= + 1,96 соответствует Р = 2,5% и в другом конце і= 1,96 соот­ ветствует Р = 2,5%. А всего (±1,96 соответствует 2,54-2,5 = 5,0%. Это и есть уровень значимости двустороннего критерия (. Ка­ ким из этих критериев пользоваться, зависит от самой задачи исследования. При сравнении, например, двух средних х\ и Х2 , когда знак разности не имеет значения, для ее оценки исполь­

зуется двусторонний критерий.

Когда выборки независимы, разность между генеральными параметрами оценивается по разности выборочных средних (хі — —хг = D). Числа степеней свободы в таких случаях определяют­ ся по формуле

k = (Пі — 1) —I- (^2 — 1) = f l l -f- /І2 — 2.

Если же сравниваемые выборки зависимы одна от другой, то разность между генеральными средними следует оценивать пар­ ным способом, т. е. не по разности выборочных средних, а по средней разности между парными вариантами (х—y — d) сопря­

105

женных распределений. В этом случае числа степеней свободы определяются по формуле

k = п — 1 (или k = п — 2).

Нулевая гипотеза отвергается при іф — ---------^ rsi для со­ т о

ответствующих Р и k.

Переходим к рассмотрению соответствующих примеров, на которых легче усвоить значение критерия t в оценке генераль­ ных параметров по данным выборочных наблюдений.

СЛУЧАИ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК

Возьмем следующий пример. Изучалось влияние кобальта на увеличение живого веса кроликов. Опыт проводился на двух группах животных — опытной и контрольной. Возраст кроликов в обоих группах колебался в пределах от полутора до двух ме­ сяцев. Исходный вес особей не выходил за пределы 500—600 г. Опыт длился полтора месяца. Обе группы животных содержа­ лись на одном и том же кормовом рационе. Но, в отличие от кон­ трольных, опытные кролики ежедневно получали в виде водного

Прежде всего заметим, что перед нами величины, которые варьируют независимо: каждая величина принимает то или иное значение совершенно независимо от того, какое значение приня­ ла другая величина.

В табл. 28 показан расчет средних и квадратов отклонений ва­ риант от средних арифметических в опыте и в контроле. Сред­ няя арифметическая опытной группы равна 638 г, а в контроле — 526 г. Разница составляет 638—526=112 г. По формуле 59а определяем ошибку этой разности:

гипотезу и признать разницу в привесах кроликов в опыте и в контроле статистически достоверной.

106

Рассмотрим еще один аналогичный пример. На двух группах лабораторных мышей—-опытной и контрольной — выяснялось действие химио-терапевтического препарата на развитие орга­ низма животных. В результате месячных испытаний обнаружи­ лись следующие различия в весе животных, выраженном в граммах:

Разница между средними опытной и контрольной групп равна: 71— 68 = 3,0 г. Определим ошибку этой разности, для чего сна­ чала рассчитаем суммы квадратов отклонений вариант от их средних по формуле

Находим объединенный средний квадрат отклонений:

107

откуда ошибка разности средних определится так:

нулевая гипотеза сохраняется, разность между генераль­ ными средними этих групп оказывается статистически недосто­

Например, методом селекции на повышение жирномолоч­ ности создана линия крупного рогатого скрта общей численно­

номолочностью 4,09%. Спрашивается, достоверна ли разница 4.16 — 4,09 = 0,07%, характеризующая эффективность селекцион­ ной работы, направленной на повышение жирномолочности ста­

/st=3,11. Так как t ^ > t st, нулевая гипотеза должна быть отверг­ нута. Отбор на жирномолочность оказался эффективным.

СЛУЧАИ ЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК

Когда приходится сравнивать выборки, значения которых варьируют в определенной зависимости друг от друга, что бы­ вает связано с самим характером опыта, описанный выше спо­ соб оценки генеральных параметров в приложении к таким слу­ чаям зависимых переменных оказывается неточным. Покажем это на следующем примере. Изучалось влияние черного и ап­ рельского пара на урожай ржи. Опыт длился на протяжении шести лет. Учитывался вес тысячи зерен в граммах. Результаты опыта оказались следующие (по Сапегину, 1937):

Видно, что урожай ржи по апрельскому пару несколько выше, чем по черному; средняя разница в весе 1000 зерен составляет

108

x i—X2 =D — 0 ,b г. Можно ли положиться на эту разницу, надеж­ на ли она?

Если подойти к оценке этих данных по разности средних, т. е. тем способом, который описан выше, не учитывая сопряжен­ ность, существующую между вариантами по годам опыта, полу­

оценивать генеральные параметры по средней разности вариант,

109