книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

шаров, т. е. отобранные варианты возвращаются в ту же сово­ купность, из которой они взяты, так что могут быть отобраны повторно. Если же отбираемые варианты обратно в генеральную совокупность не возвращаются, отбор называется бееповторным или безвозвратным. В первом случае отбор вариант не влияет на состав генеральной совокупности, и вероятность каждой вариан­ ты попасть в выборку не меняется. Во втором случае каждый предшествующий отбор влияет на результаты отбора последую­ щего, изменяя состав генеральной совокупности и вероятность вариант попасть в состав выборки.

Теоретическая схема повторного отбора является более про­ стой, позволяющей легче понять содержание и формулу выбо­ рочной ошибки. В действительности, однако, т. е. на практике, обычным оказывается бесповторный отбор: измеряя, например, рост людей или животных, их вторично уже не принимают в расчет. В силу отмеченных обстоятельств в формулу выбороч­ ной ошибки средней (х ) при бесповторном случайном отборе

сти. Например, из общего числа 5000 мужчин, подлежащих при­ зыву на военную службу, методом случайного бесповторного отбора измерено 500 человек. Средний рост призывников ока­ зался равным 170 см, выборочная дисперсия о2= 66,3 см. Отсю­ да выборочная ошибка средней арифметической роста призыв­ ников будет равняться:

Если бы отбор вариант производился из этой совокупности пов­ торным случайным способом, ошибка выборочной средней оказа­ лась бы равной:

т - Ѵ і = Ѵ ш = Ѵ 0 Л З = а -36 « •

Повторный и бесповторный случайный отбор может прово­ диться по-разному, смотря по тому, как организуется наблюде­ ние над изучаемым объектом. Отсюда следуют разновидности отбора: а) типический, или групповой, отбор, называемый также районированным, который в свою очередь может быть пропорци-

90

ональным и непропорциональным; б) серийный, или гнездовой, отбор и в) отбор механический. Все эти виды отбора направле­ ны на повышение репрезентативности выборки, хотя они и нару­ шают принцип рендомизации, так как проводятся по заранее намечаемой схеме.

В случае типического отбора генеральная совокупность пред­ варительно расчленяется на отдельные и притом одинаковые (при пропорциональном отборе) или неодинаковые по составу (в случае непропорционального отбора) группы или районы, из которых случайным способом производится отбор какого-то ко­ личества вариант. Затем отобранные из каждой группы вариан­ ты объединяются в одну выборочную совокупность и подвергают­ ся совместной статистической обработке. Выборочная ошибка средней арифметической в случаях типического пропорциональ­

ного повторного отбора определяется по формуле т —=

генеральной совокупности производится типический непропорцио­ нальный отбор вариант, выборочная ошибка средней (т) опреде­ ляется по формулам: при случайном повторном отборе

В этих формулах о,- — средняя взвешенная из выборочных дис­

вок проводился учет урожая пшеницы на корню. Поле было раз­ делено на пять участков, или типических групп, на которых в об­ щей сложности наложено 1000 метровок. Из каждой типической группы случайным бесповторным способом отбиралось пропор­ циональное (по объему групп) количество колосьев с последую­ щим взвешиванием содержавшихся в них зерен. Результаты от­ бора и их первичная обработка приводятся в табл. 24.

Определяем общую среднюю для всех выборочных групп:

2 ( ліХі)

20 X 9,8 + 40 X 8,5 -f 80 X 7,7 + 30 X 12,1 + 30 X 10,202

20 + 40 + 80 + 30 + 30

1821

9,2 a.

200

91

Выборочные ошибки групповых средних определялись так:

м . =1/0,184=0,42 и т. д.

Когда из генеральной совокупности отбираются не варианты, как. при типическом отборе, а целые серии вариант, или гнезда, подвергаемые сплошной обработке, т. е. в случаях серийного от­ бора, выборочная ошибка средней арифметической определяется по тем же формулам, которые используются и при типическом от­ боре вариант, а именно-:

отобранных серий.

При серийном отборе, как и в случаях типического отбора, ге­ неральная совокупность делится на группы, называемые серия­ ми, или гнездами, которые и отбираются в необходимом (наме­ чаемом исследователем) количестве для совместной обработки. Серии могут быть равночисленными и неодинаковыми по числу составляющих их вариант. Например, при изучении физического развития учащихся сельских школ из 50 равновеликих групп подросткоів в возрасте от 14 до 16 лет обследованию подверглись 6 групп. Признаками наблюдения были взяты: окружность груди

Чтобы определить ошибку средней (х), сначала надо вычислить среднюю величину межсерийной дисперсии:

93

откуда выборочная ошибка средней арифметической

Серийный отбор применяется в медико-биологических, соци­ ально-экономических, санитарно-гигиенических и во многих дру­ гих областях исследований, когда необходимо выяснить, напри­ мер, состояние отдельных коллективов: школ, заводов, воинских частей и т. п. объектов, называемых гнездами. Из них и отбира­ ется необходимое число единиц (серий). Серийный отбор произ­ водятся однократно, а также и периодически, что позволяет учи­ тывать не только состояние, но и динамику популяций по целому ряду признаков — таких, например, как гельминтоносительство, инфекционные и неинфекционные заболевания, физическое раз­ витие населения и т. п.

В отличие от других форм повторного и бесповторного отбо­ ра, так называемый механический отбор производится следую­ щим образом. Генеральная совокупность разбивается на столько групп, сколько намечено отобрать вариант из этой совокупности, так как из каждой группы отбирается только одна варианта. Ес­ ли, например, генеральная совокупность состоит из 500 вариант, из которых намечено отобрать 50, то, очевидно, в выборку долж­ на попасть каждая десятая варианта. Следовательно, генераль­ ная совокупность должна быть разбита на равные десять групп. Средняя арифметическая такой выборки сопровождается ошиб­ кой, которая рассчитывается по формулам 48 и 53.

Ошибки других выборочных показателей

В исследовательской работе может возникнуть необходимость объединить ряд выборочных средних с их ошибками или найти произведение средних, сопровождаемых ошибками и т. д. В та­ ких случаях поступают следующим образом:

1. Когда определяется средняя арифметическая из несколь­ ких независимых средних с их ошибками, то выборочная ошибка такого результата вычисляется по следующей формуле:

Например, на трех равновеликих выборках получены средние: хі = 10,2±0,12; Х2 = 11,5±0,18; х3= 13,1 ±0,09. Определим средний результат из этих показателей: xs= (10,2+11,5+13,1) : 3= 11,6. Находим ошибку этого результата:

94

2. Выборочная ошибка суммы нескольких средних арифмети­ ческих, сопровождаемых их ошибками, равняется

Применительно к тому же примеру обобщенная ошибка трех средних

т7 = іЛ),122 + 0,1824-0,092=0,21.

3. Ошибка произведения двух выборочных средних с их ошибками определяется по формуле

Например, нужно найти произведение:

хі = 10,3 ±0,11

Х2 = 8,2 ± 0,12

Хі X Х2 = 10,3 X 8,2 = 84,46.

Ошибка произведения этих средних будет равна:

тп = 84,46 У ( ^ і )2 + ( - ^ - ) 2 = 84,46 X 0,18 = 15,2.

4. Ошибка частного от деления средних арифметических с их ошибками определяется по следующей формуле:

=1,26X0,18=0,22.

5.Ошибка разности выборочных средних (х\—хг = D) двух

95

6. Ошибка разности выборочных средних (хі—х 2 — D) двух независимых, но неравновеликих выборок (т. е. при Піфп2) рав­ няется:

7. Выборочная ошибка разности средних {х\—х 2 = D) сопря­ женных распределений, т. е. таких, которые находятся в зависи­ мости друг от друга или от какой-нибудь общей причины, вычис­ ляется по формуле 58 с поправкой на сопряженность т. е.

Здесь г —•коэффициент корреляции, показывающий степень со­ пряженности двух рядов распределений (см. ниже).

Выборочную ошибку разности средних арифметических сопря­ женных распределений можно вычислить, не прибегая к исполь­ зованию коэффициента корреляции, по следующим аналогичным формулам:

Здесь d — разность между соответствующими вариантами сопря­ женных рядов X и Y, т. е. d = x—у; d — средняя разность, т. е. 2d

— = d — X — у — D\ п — общее число парных наблюдений.

п

Соответствующие примеры по использованию этих формул при­ водятся ниже.

96

Показатель точности оценки параметров

Сама по себе абсолютная величина выборочной ошибки как показатель именованный мало пригодна для случаев сравнитель­ ной оценки точности, с какой определены средние результаты на­ блюдений по отношению их к генеральным параметрам. Напри­ мер, имеются средние: хі = 86,1 ±0,7 см и х2 = 17,4 ±0,2 г. По аб­ солютной величине их ошибок трудно сказать, какая средняя определена более точно, поскольку средние с их ошибками вы­ ражены разными единицами меры.

Чтобы получить определенное представление о точности, с какой определен тот или иной средний результат, принято исполь­ зовать так называемый показатель точности (Cs), представляю­ щий отношение выборочной ошибки к своей средней арифмети­ ческой:

X

Когда известно значение коэффициента вариации (СУ), показа­ тель точности можно определить по следующей формуле:

Под точностью определения выборочной средней понимается степень приближения ее к средней генеральной совокупности. Чем точнее определен средний результат, тем меньше будет Cs, и наоборот, при менее точном среднем результате показатель Cs окажется больше. Точность считается достаточной, если Cs не превышает 3—5%. Так, для приведенных выше средних показа­ тель точности в обоих случаях оказывается очень высоким:

Вместе с тем видно, что первая средняя определена более точно, чем вторая.

С Т А Т И С Т И Ч Е С К А Я П Р О В Е Р К А Г И ПО Т Е З

НУЛЕВАЯ ГИПОТЕЗА і " '"

Почти во всех случаях выборочного наблюдения параметры генеральной совокупности остаются неизвестными. О них прихо­ дится судить по выборочным данным, т. е. гипотетически, так как выборочные показатели являются величинами случайными. Для оценки величины генеральных параметров по выборочным показателям в биологии используется так называемая н у л е в а я

г и п о т е з а , т. е. предположение о том, что генеральные пара­ метры, о которых судят по выборочным данным, не отличаются друг от друга, и что разница, наблюдаемая между выборочными показателями, носит не систематический, а исключительно слу­ чайный характер. Выдвигая нулевую гипотезу, экспериментатор исходит из предположения, что наблюдаемая изменчивость при­ знака зависит не от действия организованного фактора, а опре­ деляется второстепенными, нерегулируемыми в опыте случайны­ ми причинами.

УРОВНИ ЗНАЧИМОСТИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Сформулированная гипотеза нуждается в проверке. Чтобы ее принять или отвергнуть, нужны основания. Их дает теория веро­ ятностей, позволяющая увязывать статистические гипотезы с оп­ ределенной вероятностью. Следуя закону нормального распреде­ ления, можно утверждать, что в 95% случаев выборочная средняя

(х) не отклонится от средней (М) генеральной совокупности

X — .A4

больше, чем на 2t, іде t = -------- . И только 5% случаев, считая

а

отклонения от М в + и — направленных, выйдет за эти границы. Это значит, что вероятность получить в выборке средний резуль­ тат, который отклонится от генерального параметра на 2 t, равна лишь 0,05. Если же речь идет об отклонении от М только в одну сторону, вероятность будет вдвое меньше (Р = 0,025). Процент таких маловероятных случаев, которые противоречат принятой ги­

нимается 5%-й уровень значимости, которому соответствует ве­ роятность Р = 0,05. В более ответственных случаях, когда выводы должны быть особенно строгими, принимается 1%-й или 0,1 %-й уровни, которым соответствуют ^ 2 = 0,01 и Р 3 = 0,001.

Таким образом, вероятность, которой решено пренебречь при оценке генеральных параметров по данным выборочных наблю­ дений, выражается принятым уровнем значимости. Вероятность же обратных случаев, когда гипотеза заслуживает доверия, на­ зывается д ов е р и т ел ь н о й вероятностью. Обычно в исследо­ вательской практике принимаются три порога доверительной ве­ роятности: Р] = 0,95; Рг = 0,99 и /%=0,999. Из табл. I приложений видно, что каждый порог, или уровень доверительной вероятнос­

Величина доверительной вероятности или уровень значимо­ сти при проверке гипотез устанавливается самим исследовате­

98

лем в зависимости от степени точности, с какой проводится ис­ следование и ответственности выводов, вытекающих из него. При этом уровни значимости и доверительные вероятности обо­

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ЕГО ГРАНИЦЫ

Границы, в которых с той или иной вероятностью находится параметр генеральной совокупности, называются доверительны­ ми, а интервал, заключенный между этими границами, носит название доверительного. Опираясь на закон нормального рас­ пределения, который утверждает, что вероятность отклонения любой варианты от центра распределения определяется функ­ цией нормированного отклонения, можно в общей форме следую­ щим образом установить доверительный интервал для неизвест­ ного генерального параметра М\

М

+ і-

Преобразуя это выражение, получаем: х — to ^ М ^ х + to. Это и есть доверительный интервал, в котором находится величи­

неизвестный генеральный параметр М нормально распределяе­ мой совокупности находится в интервале

X — 1,96а ^ М ^ X + 1,96а.

На рис. 10 изображена нормальная кривая и указаны довери­ тельные границы интервалов, соответствующие трем порогам доверительной вероятности.

Так как выборочная средняя х варьирует вокруг генеральной

средней М в У п — раз меньше, чем любая отдельно взятая вари­ анта данной совокупности, распределяемой по нормальному за­ кону, то нетрудно установить доверительные границы интервала для генерального параметра М по величине выборочной сред­ ней X: