книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Ошибка средней разности, определяемая по формуле 61, рав­ няется:

отвергнуть нулевую гипотезу и признать эту разницу статисти­ чески достоверной.

Итак, применив два разных способа обработки одного и того же материала, мы пришли к прямо противоположным выводам. Очевидно, вторая оценка результатов опыта является более эф­ фективной, потому что она опирается на правильно выбранный способ анализа опытных данных. Несомненно, что на протяже­ нии шестилетнего испытания посевов ржи по черному и апрель­ скому пару условия выращивания растений не были одинако­ выми: они колебались по годам опыта. А это значит, что перед нами величины сопряженные и сравнивать их нужно попарно, т. е. по средней разности сопряженных вариант.

. Приведенный пример служит наглядным подтверждением, того, о чем говорилось выше: статистические методы нельзя при­ менять огульно, не сообразуясь с содержанием материала, к которому они применяются. Если выбранные методы обработки не соответствуют содержанию описываемых с их помощью фак­ тических данных, они могут оказать исследователю плохую услугу.

В качестве следующего примера подвергнем полной обработ­ ке результаты испытания на урожайность ячменя и овса в усло­ виях нечерноземной полосы Российской Федерации, приведен­ ные в табл. 2. Расчет необходимых значений показан в табл. 31.

Разница между средним урожаем ячменя и овса на протя­

110

храняется; преимущество по урожайности ячменя перед овсом

остается недоказанным.

Сравнение результатов опыта с контролем или одного вари­ анта опыта с другим можно провести также и по средней раз­ ности между парными значениями сравниваемых величин, отно­

ся ее к выборочной ошибке.

Т а б л и ц а 31

Урожай ціга

Так, в рассматриваемом примере средняя арифметическая, вы­ численная по общей сумме парных различий (с учетом знаков!), равняется:

d — fy— = 0,977 = 0,98 (см. табл. 31).

п7

Выборочная ошибка этой разницы определяется по формуле

дента.

Способ парных сравнений позволяет оценивать достоверность наблюдаемых различий также и по доверительному интервалу.

111

Если доверительный интервал, построенный по средней разности между парными вариантами и ошибкой этой разности, имеет нижнюю границу с положительным знаком, это указывает на достоверность разницы между генеральными параметрами срав­ ниваемых выборочных показателей. Если же нижняя граница доверительного интервала оказывается с отрицательным знаком, это свидетельство недостоверности наблюдаемых различий. В отношении рассматриваемого примера доверительный интер­ вал для Р = 0,05 и k = 6 оказывается следующим: d±tm.a = 0,98± ±2,45x0,53 = 0,98± 1,30 или от —0,32 до +2,28. Нижняя граница доверительного интервала имеет отрицательный знак (—0,32). что указывает на недостоверность разницы, наблюдаемой между урожайностью ячменя и овса.

СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ. ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА

Описанные способы оценки генеральных параметров по вы­ борочным средним в принципе применимы и для установления доверительных границ показателей вариации. Среднеквадрати­ ческие ошибки выборочных — о и Сѵ — определяются по сле­ дующим формулам:

Критерием достоверности различий между средними квадратическими отклонениями служит отношение

оі — 02

Уо^/Пі + 0 2/ « 2

Например, выборка из урожая фасоли на делянке п = 200 семян

59,3 характеризуется а = 59,3 мг с ошибкой та = :==— = 2,96 мг.

Доверительные границы генерального параметра для Р=0,05 и соответственно /=1,96:

Однако этот способ оценки генеральных параметров приме­ ним лишь к выборкам достаточно большого объема, распреде­ ляемых по нормальному закону. На малых выборках он оказы­ вается неточным. В поисках лучшего способа оценки Р. А. Фи-

112

шер установил, что если вместо разности оі — о2 взять разность натуральных логарифмов In оі—ln 0 2, где 0 і > 02, то эта величи­ на, обозначенная им через Z, распределяется нормально не только при больших, но и на среднего объема выборках. При вычислении Z вместо натуральных можно пользоваться десятич­ ными логарифмами по формулам: Z = 2,3O26(lg0t — lg Ст2), или

то логарифма отношений были взяты самые отношения и не средних квадратических отклонений, а дисперсий; в честь Фише­ ра их принято обозначать заглавной буквой F:

Этот показатель получил название критерия Фишера. Соответ­ ственно были переработаны и таблицы Фишера применительно к функции это критерия, что значительно упрощает расчеты.

Критерий F функционально связан с вероятностью, он имеет непрерывную функцию распределения и зависит только от чисел степеней свободы: ki = rii — 1 и k2 = n2— 1 сравниваемых Диспер­ сий. Характерным для F оказывается то, что он полностью опре­ деляется выборочными дисперсиями и не зависит от генеральных параметров, так как предполагается, что обе дисперсии из одной и той же генеральной совокупности. Поэтому при k— >-оо отно-

шение 0 і/о2 -> 1. График плотности вероятности F распределения для ki и k2 и критических границ F\ и F2 приводится на рис. 12. Видно, что распределение F асимметрично.

Ф)

Рис. 12. График плотности вероятности F-pacnpe- деления для типичных значений k\ и k2 числа сте­ пеней свободы и критические границы F, и F2 (по Смирнову и Дунину-Барковскому, 1965)

113

мости Рі = 0,05 и ^ 2 = 0,01 и соответствующих степеней свободы ■ki и &2 табулирована в виде критических (стандартных) значе­ ний критерия F (см. приложения табл. VII). В этой таблице сте­

этому критерий F может быть равен единице или больше ее. Чем значительней разница между дисперсиями, тем больше будет и величина критерия F, и, наоборот, чем меньше окажется рас­ хождение между дисперсиями, тем меньше будет и величина F. Нулевая гипотеза исходит из признания равенства дисперсий. Если эмпирические значения критерия Фишера (/>) меньше теоретических, указанных в таблице (Fst) для соответствующего уровня значимости и степеней свободы k\ и k2, они рассматри­ ваются как.случайные. Если же F $ ^ F si, нулевая гипотеза от­ вергается, разница между сравниваемыми величинами признает­ ся статистически достоверной.

Например, сравниваются две выборки по весу семян фасоли: одна из посевного материала — «1 = 100 и оі = 58,3 мг и другая из

и k2 = 100 — 1=99 находим Fst = 1,31 (см. табл. VII приложений). Так как /><CPsi, нулевая гипотеза сохраняется; расхождения между выборками по данному признаку оказываются статисти­ чески недостоверными.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНОК

Критерии Стьюдента (t) и Фишера (F) связаны с опреде­ ленными формами нормального распределения; их применение имеет в виду оценку расхождений-между генеральными пара­ метрами на основании выборочных показателей сравниваемых совокупностей. Поэтому они называются параметрическими кри­ териями. Их разрешающая мощность велика лишь при условии,, что сравниваемые совокупности распределяются по нормальному закону или не сильно отклоняются от него.

В практике же встречаются не только нормальные, но и иного вида распределения, о которых исследователю мало что извест­ но. В таких случаях применение параметрических критериев не гарантирует от возможных ошибок. Поэтому для оценки рас­ хождений между выборками, наряду с указанными критериями,, используются и другие, вспомогательные критерии, основанные

114

на сравнении не самих вариант, а их порядковых чисел в ран­ жированном ряду. Критерии, основанные на этом принципе, на­ зываются порядковыми. Применение порядковых критериев не связано с определенной формой распределения; они не нуждают­ ся в вычислении средней арифметической и среднего квадрати­ ческого отклонения и других параметров, поэтому и получили название непараметрических критериев.

Непараметрические, или порядковые, критерии просты по своей конструкции; они не требуют большой вычислительной ра­ боты, что выгодно отличает их от критериев параметрических. При всем этом преимущество остается на стороне критериев па­ раметрических, обладающих большей статистической мощно­ стью, лучшей разрешающей возможностью, чем у критериев непараметрических. Поэтому во всех случаях, когда распределе­ ния практически не отклоняются от нормального закона, реко­ мендуется использовать критерии параметрические. Там же, где возникает сомнение в точности выводов, которые делаются па основании использования параметрических критериев, когда форма распределения остается недостаточно ясной, уместно ис­ пользовать и непараметрические критерии различия. Всесторон­ ний контроль над правильностью выводов никогда не мешает. Если же обработка выборочного материала разными способами дает один и тот же результат, это гарантия того, что выводы по­ лучаются правильные.

Существует несколько непараметрических критериев разли­ чий, неодинаковых по своей конструкции и мощности. Мы рас­ смотрим лишь два из них, наиболее простых и удобных в работе, особенно при сравнительной оценке малочисленных выборок.

Критерий Т Уайта

Одним из критериев, применяемых для установления досто­ верности различий, наблюдаемых при сравнении двух независи­ мых распределений, является непараметрический критерий Т •Уайта, который в равной мере применим к выборкам равновели­ кого и неодинакового объема. Сущность методики, лежащей в основе применения этого критерия, следующая. Все варианты сравниваемых совокупностей ранжируют в один общий ряд и находят их ранги. Затем ранги суммируют — отдельно по каж­ дой выборке. Если сравниваемые выборки совершенно не отли­ чаются одна от другой, то и суммы их рангов должны быть равны между собой. В противном случае такого равенства на­ блюдаться не будет. И чем значительнее расхождение между выборками, тем больше разница между суммами их рангов. А так как указанные различия могут быть случайными, они оце­ ниваются с помощью критерия Уайта по специальной таблице, рассчитанной для выборочных наблюдений разного объема и

115

ным) значением этого критерия для щ и п2, т. е. объемов срав­ ниваемых совокупностей и принятого порога доверительной ве­ роятности. Если Т^>Тф, это указывает на достоверность на­ блюдаемой разности и нулевая гипотеза отвергается. Если же табличное число (Tst) меньше или равно фактической величине критерия Тф, нулевая гипотеза сохраняется; разница между вы­ борками признается статистически недостоверной. Напомним, что ранги — это числа натурального ряда, которыми обознача­ ются члены ранжированных совокупностей, причем одинаковым

где п — суммарное число наблюдений.

Использование критерия Т Уайта проще усвоить из соответ­ ствующего примера. Так, по данным Г. Е. Бодренкова (1963), длина тела личинок щелкуна, обитающих в посевах озимой ржи и проса, выраженная в мм, варьирует следующим образом:

На основании этих проб создается впечатление о более круп­ ных размерах личинок щелкунов, обитающих на просе. Прове­ рим это предположение с помощью критерия Т Уайта. Ранжи­ руем всю совокупность наблюдений:

И т о г о . . . 91

Видно, что суммы рангов отличаются друг от друга. Чтобы опре­ делить достоверность различий, меньшую сумму (Гф= 42) срав­ ниваем с табличным числом критерия Tst для «і = 7 и п2 = 6 , ко­ торое равно 27. Так как 7'8< = 27<7’ф = 42, следует заключить, что различия, наблюдаемые в размерах личинок щелкуна, обитаю­ щих в посевах озимой ржи и проса, носят случайный характер, т. е. они статистически недостоверны.

116

Критерий Вилкоксона ( Z ) для сопряженных пар

В тех случаях, когда сравниваемые выборки коррелированія друг с другом, т. е. представлены рядами сопряженных попарно вариант, для оценки достоверности различий применяются соот­ ветствующие непараметрические критерии. Одним из таких критериев, обладающим достоточной мощностью, является кри­ терий Z Вилкоксона для сопряженных пар. Методика его ис­ пользования сводится к следующему. Сначала находят разности между парными вариантами сопряженных рядов; при этом учи­ тываются знаки разностей. Затем эти разности ранжируют и определяют их ранги. Ранги суммируют отдельно с положитель­ ными и отрицательными знаками. Причем, если разность между парными вариантами равна нулю, она в расчет не принимается, т. е. исключается, и число наблюдений (п) соответственно умень­ шается.

Меньшая сумма рангов, независимо от знака, сравнивается с числом, указанным в специальной таблице для взятого уровня значимости и числа парных наблюдений, которое не должно быть меньше 6. Если табличное (стандартное) значение крите­ рия Z превышает его фактическое значение, т. е. меньшую сумму рангов, это указывает на достоверность наблюдаемых различий. В противном случае нулевая гипотеза сохраняется и различия, наблюдаемые между рядами сопряженных вариант, признаются статистически недостоверными. Таблица значений критерия Вил­ коксона для разных уровней значимости (Р ) и числа наблюде­ ний (п) приведена в приложениях под № X. Например, методом серийных испытаний изучалась степень зараженности яблок двумя разновидностями грибка А и В, вызывающего загнива­ ние яблочной ткани. Результаты десяти испытаний (проб) ока­ зались следующими (табл. 32).

что грибок А достоверно обладает большим вредоносным дей­ ствием, чем грибок В.

Оценка расхождений между рядами по критерию Стьюдента приводит к такому же выводу, что видно из следующего расче­

Стандартное значение критерия Стьюдента для уровня значи­ мости Р = 0,05 равно 2,26 (см. табл. V приложений), откуда сле­ дует заключить о достоверности наблюдаемых различий. Сов­ падение результатов обработки одного и того же материала раз­ ными способами дает большую уверенность в правильности сделанного вывода.

В заключение применим критерий Вилкоксона к оценке раз­ ницы, полученной при испытании урожайности ячменя и овса в нечерноземной полосе Российской Федерации. Соответствую­ щие данные приведены в табл. 32. Разницу между парными значениями вариант, что приведена в одной из граф табл. 32, ранжируем, указывая для каждого значения его ранг с соответ­ ствующим этому значению знаком:

Суммируем ранги, взятые отдельно с отрицательными и по­ ложительными знаками:

—1+ —4= —5

2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24

118