книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Параболичекая зависимость

Нередко эмпирические ряды регрессии изображаются графи­ чески в виде параболической кривой. Применять к таким кривым уравнение линейной функции нельзя, так как оно не описывает такого вида зависимость между переменными величинами. Наи­ более подходящим в таких случаях оказывается уравнение па­ раболы общего вида:

Рис. 24. Эмпирическая и вычисленная кривые лактации:

ча оси абсцисс — лактация, на оси ординат— удой коров в центнерах

ные величины, буквами а, b, с, d... обозначены параметры урав­ нения. В зависимости от того, на каком члене полинома оста­ новимся, будем иметь параболу первого, второго и больших порядков. Система нормальных уравнений для определения па­ раметров параболы второго порядка у= а + Ьх + сх2, которая обычно применяется в биологии, следующая:

2г/ = ап + ЬПх + сПх2— первое уравнение,

Пух2 = аПх2+ ЬПх3+ сПхі — третье уравнение.

Следовательно, для составления системы нормальных уравнений по эмпирическим данным необходимо определить значения Пу, Пх, Пух, Их2, Их3, Их4, Пух2.

247

Рассмотрим соответствующий пример. У коров ярославской породы удой, выраженный в центнерах, следующим образом из­ меняется по месяцам лактации:

Если эти данные изобразить графически в виде лактацион­ ной кривой (рис. 24), можно убедиться в наличии параболиче­ ской зависимости между этими переменными. Найдем эмпириче­ ское уравнение регрессии, выражающее эту зависимость. Обо­ значим лактацию через X, а удой коров — через Y и рассчитаем величины Ex, 'Ey, Еух, Ex2, Eyx2, Ex3 и 2x4, нужные для состав­ ления системы нормальных уравнений. Расчет приводится в табл. 81.

Т а б л и ц а 81

Составляем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решать такую систему можно разными способами. Рассмотрим обычный в таких случаях способ решения нормальных уравнений. Ужножим первое и второе уравнения на дополнительные множи­ тели: первое на 31,666 (это число получается от деления 285 : 9), а второе — «а 6,333 (этот множитель получен делением 285 : 45) и вычтем первое уравнение из второго. Так освобождаемся от а:

285а + 14256 + 9025с = 6428

285а + 18056 + 12 824с = 6523

248

Затем из третьего уравнения системы вычитаем второе:

285а + 2025& + 15 342с = 6440

285а + 18056 + 12 824с = 6523

Полученную разность (2) умножим на дополнительный множи­ тель 380 : 220=1,7273 и вычтем ее из разности (1):

_______ 380Ь + 4349с = — 143 - 550с = - 238

откуда с——0,43273.

Подставляя в уравнение (1) вместо с его значение, получим: 380 b + 3799 (—6,43273) =95, откуда 0 = 1739 : 380 = 4,5763.

Далее в первое уравнение системы вместо b и с подставляем их значения: 9а+ 45(4,5763) +285(—0,43273) =203. Решая это уравнение, находим

120,4

В результате получаем следующее эмпирическое уравнение регрессии:

ух = 13,378 + 4,576л:— 0,43273х2.

Из этого уравнения можно определить средний (ожидаемый) удой (ух) коров данной породы за любую лактацию (X). Именно:

Если нанести эти данные на график, как показано на рис. 24, можно убедиться в том, что они хорошо согласуются друг с другом.

Когда переменная X, как это видно из взятого нами примера, представлена рядом значений, между которыми соблюдается равный интервал, параметры а, b и с уравнения параболы можно определить упрощенным способом произведений. При этом сна­ чала вычисляются вспомогательные (неприведенные) величины параметров:

сn'Zya2— 'Ey X 2Д2

—п2а4 — 2а2X 2а2 ’

249 ,

средней арифметической, отнесенные к величине интервала меж­ ду членами ряда. При нечетном числе ряда а выражается чис­ лами 0, 1, 2, 3... (с учетом знаков), а при четном числе членов ряда — 0,5; 1,5; 2,5... (то же с учетом знаков).

Рассчитанные по указанным формулам величины Л, В и С затем приводятся к величинам параметров уравнения а, b и с. Для этого служат следующие формулы приведения:

Здесь X — средняя арифметическая членов ряда X, остальные

величины объяснены выше.

Покажем применение этого способа на только что рассмот­ ренном примере. Расчет необходимых вспомогательных значе­

ний приводится в табл. 82.

Т а б л и ц а 82

Используя итоговые данные этой таблицы, определяем неприве­ денные значения параметров:

250

Приводим найденные величины к значениям параметров урав­ нения а, b и с:

а = 25,4728 + (— 0,43257 X 25) - 0,225 X 5 = 13,533,

Ь = 0,225 — 2(— 0,43257 X 5) = 0,225 + 4,3257 = 4,5507,

с = — 0,43257.

Отсюда уравнение регрессии удоя коров по срокам их лактации

ух = 13,533 + 4,55л: — 0,4326л;2.

Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые величины удоя коров за каждую лактацию приведены в последнем столбце табл. 82. Видно, что они хорошо согласуются с фактическими

данными.

Рассчитать параметры корреляционного уравнения параболы второго порядка можно также по способу суммирования. Для этого, как и в предыдущем случае, берутся отклонения от сред-

вспомогательных значений приводится в табл. 83.

По данным этой таблицы выпишем нужные нам значения:

251

При нелинейных связях характеристикой относительных при­ бавок величины одного признака (У) при изменении на единицу меры другого (X) служит корреляционное отношение. Этот по­ казатель можно вычислить по формуле 107а (см. предыдущую главу). Ошибка криволинейной регрессии определяется по фор­

муле оу;х— ОуѴ 1 —rj2. Для рассмотренного примера

V , = ^ {^х ~ — = 0,96 и Gy = 2,80

%Ъ ( у і - у ) 2

(читателю предлагается рассчитать эти величины). Откуда ошибка линии регрессии удоя коров по лактации выразится ве­ личиной

0у,х = 2,8 уі - 0,96 = 2,8 X 0,2 = 0,56 ц.

252

Гиперболическая зависимость

В исследовательской практике встречаются случаи, когда за­ висимость между переменными X и У носит характер гипербо­ лической функции. В качестве примера приводим данные А. Д. Слонима и О. П. Щербаковой (1949) о зависимости вели­ чины основного обмена от веса обезьян (гамадрилов):

На| графике этот ряд выглядит в виде гиперболической кривой

Рис. 25. Зависимость величины основ­ ного обмена от живого веса обезьян:

(рис. 25), которую можно выразить уравнением общего вида:

Для определения параметров а и 6 этого уравнения служит сле­ дующая система нормальных уравнений:

Очевидно, чтобы составить систему уравнений, нужно вычислить

водится в табл. 84.

Пользуясь итоговыми данными табл. 84, составляем систему нор­ мальных уравнений:

808 = 2,9165а + 86 — первое уравнение,

329,95 = 1,27178а + 2,91656 — второе уравнение.

253

Решая совместно эти уравнения, находим значения параметров:

откуда уравнение регрессии Y по X оказывается следующим:

168 ,

Ух — —— Ь 40.

Подставляя в это уравнение вместо X его значения, т. е. вес жи­ вотных (гамадрилов), выраженный в кг, находим теоретические величины основного обмена в килокалориях на 1 кг веса живот­ ного за 24 ч:

На рис. 25 этот выравненный ряд регрессии выглядит в виде плавной линии, хорошо согласуясь с общей тенденцией эмпири­ ческой кривой.

Зависимость, выражаемая уравнением показательной функции

Если в развитии признака основная тенденция отличается от линейной регрессии и плохо согласуется с уравнением параболы, она может быть выражена другим подходящим уравнением. В тех случаях, когда эмпирический ряд регрессии следует или близок закону геометрической прогрессии, его удается описать уравнением показательной функции:

254

Использование такого вида уравнений связано с их логариф­ мированием, чем достигается превращение экспоненциальной, т. е. показательной, функции в уравнение прямой линии: lg y = \ g a + x lg b. Это значит, что точки х и lg у располагаются в системе координат на одной прямой. Такое преобразование исходного уравнения облегчает вычислительную работу по опре­ делению параметров а и b и одновременно служит указанием на то, что выбранное уравнение применяется правильно.

Система нормальных уравнений для определения параметров а и b в данном случае следующая:

Решать эту систему можно способом подстановки, а также спо­ собом сложения или вычитания. Однако удобней и быстрее по­ лучить результат при использовании готовых общих формул:

2lg г/2х2 — 2 (х lg у) 2х

а= -------------------------------- и п2х2 — 2х2

ъ_ nS(xlgff)— 2x2 lg у /г2х2 — 2х2

Очевидно, первым шагом к определению параметров а и b должно быть вычисление 2х, 2х2, 21g у и 2(x-Igt/). Рассмот­ рим следующий пример. Наблюдения над развитием самцов павианов-гамадрилов в период полового созревания показали, что их вес, выраженный в кг, изменяется с возрастом следующим образом:

Графический анализ этих данных показал, что они в общем со­ ответствуют экспоненциальной кривой. Найдем эмпирическое уравнение регрессии, выражающее эту закономерность. Расчет вспомогательных значений приводится в табл. 85.

Для удобства расчетов фактический возраст животных в этой таблице обозначен числами натурального ряда. Подставляя най­ денные значения в формулы, получаем значения параметров уравнения:

откуда lg ух = 0,061х + 0,574.

255

Т а б л и ц а 85

Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые значения (ух) веса самцов-гамадрилов, соответствующие их возрасту, выра­ женному в месяцах, приведены в последнем столбце табл. 85 и в виде плавной линии изображены на рис. 26. Видно, что они хорошо отображают описываемую закономерность.

Рис. 26. Эмпирическая и вычисленная по уравнению 143 кривые возрастных изменений живого веса у самцов павиановгамадрилов в период полового созревания:

на оси абсцисс — возраст животных (мес.), на оси ординат — живой вес (кг)

Зависимость, выражаемая уравнением степенной функции

Зависимость между переменными X и У, следующая в общем гиперболической кривой, может выражаться и уравнением сте­ пенной функции у = ахь, которое логарифмированием превра-

256