книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

где п\ и п2— объемы сравниваемых распределений; рі и р2— час­ тоты соответствующих классов или классовых вариант.

Рассмотрим следующий пример. Урожай фасоли от посева крупных и мелких семян распределился следующим образом:

В данном случае через х обозначены классовые варианты по весу отдельных семян фасоли, выраженному в мг, а через р\ и р2— распределение урожая, полученного в одних и тех же усло­ виях выращивания растений от посева крупных (рі) и мелких (р2) семян. Сопоставим полученные данные, как того требует формула 73 (табл. 40). Подставляя известные значения в фор­

вую гипотезу; расхождение между этими распределениями нель­ зя признать случайным.

Критерий хи-квадрат применим не только к оценке вариаци­ онных рядов, но и к выборкам, группируемым в четырехпольные и многопольные таблицы. Поэтому он находит широкое примене­ ние в генетике, селекции и семеноводстве, а также в фармаколо­ гии при оценке действия лекарственных веществ и во многих дру­ гих областях знания. Соответствующие примеры приводятся ниже.

140

Критерий X (ламбда)

Оценку расхождений между эмпирическими и теоретически­ ми частотами вариационного ряда можно провести и с помощью непараметрического критерия, предложенного А. Н. Колмогоро­ вым и Н. В. Смирновым. Этот критерий, обозначаемый грече­ ской буквой X (ламбда), представляет максимальную разность (dmax) между значениями накопленных частот эмпирического и теоретически вычисленного рядов (без учета знаков разности), отнесенную к корню квадратному из суммы всех вариант сово­ купности:

сматриваемый критерий ламбда не нуждается в вычислении х и а и не требует специальной таблицы для оценки результатов сравнения эмпирических и вычисленных частот; критические (стандартные) значения критерия ламбда, соответствующие трем порогам доверительной вероятности — Рі = 0,95; ^ 2= 0 ,99 и Р3= 0,999, соответственно равны: 1,36; 1,63 и 1,95 1. Нулевая ги­ потеза не отвергается, и расхождения между сопоставляемыми частотами считаются случайными, если величина критерия ламб­ да не превосходит своего критического значения для принятого порога доверительной вероятности. При использовании крите­ рия ламбда отпадает необходимость в определении числа сте­ пеней свободы. Отмеченная простота конструкции и условий применения критерия ламбда обеспечивают ему широкие воз­ можности использования в самых различных областях биологи­ ческих исследований.

Покажем применение критерия ламбда на примере распреде­ ления кальция (мг%) в сыворотке крови павианов-гамадрилов.

1 4 1

вычисленными по нормальному закону частотами данного рас­ пределения следует считать случайными.

Критерий ламбда применяется и для оценки расхождений, наблюдаемых между частотами двух эмпирических распределе­ ний. Продемонстрируем это на примере урожая фасоли от посе­ ва крупными и мелкими семенами, который рассматривался вы­ ше. Расчет üfmax показан в табл. 42.

Т а б л и ц а 42

Подставляя найденное значение dmax= 35 в формулу, получаем:

142

Эта величина превосходит даже третий критический уровень ламбда (1,95), что не оставляет сомнений в достоверности на­ блюдаемых различий.

Когда сравниваемые эмпирические распределения имеют раз­ ные объемы, для оценки различий между ними применяется сле­ дующая формула:

где pi и p2 — частоты первого и второго ряда, а п{ и /г2 — объемы этих рядов.

Чтобы не затруднять себя извлечением квадратного корня, формулу 74а можно использовать в виде следующего выраже­ ния:

пі + п2

Продемонстрируем применение этой формулы на следующем примере. При изучении внутривидовой изменчивости очанки В. Д. Беляевым (1925) были получены следующие распределе­ ния основной формы и одной из ее разновидностей:

Оценим достоверность расхождения между этими распределе­

143

Максимальная разность между кумулированными отноше­ ниями частот к объемам выборок составила dmax= 0,274, откуда находим величину критерия ламбда:

Здесь удалось избежать извлечения корня из большого чис­ ла, что облегчило расчет критерия ламбда.

Найденная величина ^=1,66 превосходит второй порог дове­ рительной вероятности, для которого X =1,63. Следовательно, с вероятностью Р —0,99 можно утверждать, что сравниваемые вы­ борки принадлежат к разным генеральным совокупностям.

Критерий ламбда дает достаточно точные результаты только на больших выборках (я^ІОО). На малочисленных выборках его применение не гарантирует достаточную точность оценки.

Измерение трансгрессии

При распределении независимых выборок в вариационные ряды нередко приходится наблюдать, что часть вариант 'этих выборок распределяется по одним и тем же классам, хотя меж­ ду средними арифметическими этих рядов существует статисти­ чески достоверная разница. Ряды, у которых часть классов ока­ зывается общей, а между средними арифметическими обнару­ живается статистически достоверная разница, называются транс­ грессирующими рядами. Самый же факт неполного разграниче­ ния вариационных рядов носит название т р а н с г р е с с и и . Графики трансгрессирующих рядов выглядят следующим обра­ зом: правая сторона одной кривой и левая сторона другой вариа­ ционной кривой взаимно проникают друг в друга и под ними образуется часть общей площади, показывающая величину трансгрессии (см. рис. 19).

Степень трансгрессии может быть весьма различной, что имеет определенное познавательное значение. В зависимости от того, какие задачи стоят перед исследователем, иногда полезно уменьшить трансгрессию распределений, тогда как в других слу­ чаях ее нужно увеличить. Измерение величины трансгрессии яв­ ляется важным элементом биометрического анализа распреде­ лений.

В табл. 44 приведены ряды распределения кальция (мг%) в сыворотке крови, взятой у страдающих припадками тетании и у клинически здоровых (нормальных) обезьян. Обращает на себя внимание тот факт, что в классах от четвертого до восьмого включительно встречаются варианты как первого, так и второго вариационных рядов. В то же время разница между средними

144

довательно, перед нами трансгрессирующие ряды двух незави­ симых выборок, генеральные параметры которых характеризу­ ют различное физиологическое состояние организма сравнивае­ мых групп. Вместе с тем наличие трансгрессии убеждает в том, что по одним лишь средним показателям нельзя составить вер­ ное представление о роли гипокальцемии в возникновении тетанических припадков у животных данного вида. Этот пример по­ казывает, а подобных примеров можно привести немало, что наряду с другими биометрическими показателями во многих случаях очень важно учитывать и величину трансгрессии рас­ пределений.

Как же измерить эту величину? Грубо приближенное пред­ ставление о размерах трансгрессии можно получить, выразив сумму трансгрессирующих вариант в процентах от их общей численности в двух смежных распределениях. Так, из общего числа 100+ 42=142 вариант трансгрессирующих рядов, приве­ денных в табл. 44, в первом ряду трансгрессирует 12+9 + 2 + 3 + + 1=27 вариант, а во втором ряду 2 + 3+ 9+17 + 25 = 56; всего 27 + 56 = 83 варианты, что составляет 58,5% от общего их числа (142). Это довольно большая трансгрессия: больше половины вариант этих рядов распределяются по одним и тем же классам.

145

Разумеется, этот способ неточный и может служить лишь для предварительной ориентации в этом вопросе. Более точно вели­ чина трансгрессии определяется по следующей формуле:

Рис. 19. Трансгрессия рядов распределе­ ния кальция (мг %) в сыворотке коови

припадочных (х\) и нормальных (x2) па- вианов-гамадрилов:

на оси абсцисс — кальций в сыворотке крови в мг %, на оси ординат — абсолютные частоты

Значения rnin2, т а х ь Ф (^) и ФЦ2) легче уяснить из рис. 19, на котором изображены выравненные кривые распределения каль­

—11,90) : 1,20=0,34. Далее вычисляем значения рх и р2:

146

pi = 0,5 + 0,5Ф(— 0,55) = 0,5 + 0,20885 = 0,70885;

рг = 0,5 + 0,5Ф (0,34) = 0,5 -h 0,13305 = 0,63305.

Подставляя найденные значения р\ и р2 в формулу 75, находим:

двух выборок: одна показывает варьирование фасоли по весу бобов, отобранных для посева (рг), а другая характеризует варьирование того же признака в урожае (рі). Видно, что транс­ грессия этих рядов невелика: из общего числа 300 вариант трансгрессируют всего лишь 21, или 7%. Вычислим показатель

147

Г ЛАВА ВОСЬМАЯ

АНАЛИЗ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АЛЬТЕРНАТИВ

Наряду с рядовой изменчивостью исследователю приходится иметь дело с изменчивостью качественных признаков, которые в вариационные ряды не распределяются, а рассматриваются как противопоставляемые друг другу состояния. Например, из общего количества 580 клинически обследованных лиц выявле­ но 85 больных. Анализируя эти данные, мы противопоставляем 85 больных 495 здоровым индивидам, входящим в состав 580 че­ ловек обследованной группы. В такой (альтернативной) форме могут рассматриваться не только качественные, но и количест­ венные признаки, например, высокие противопоставляться низ­ ким, тяжелые — легким и т. д. Отсюда следует, что независимо от того, с какими признаками — качественными или количест­ венными— имеем дело, если они рассматриваются как противо­ поставляемые друг другу' состояния, их можно называть при­ знаками альтернативными.

Альтернативные признаки выражаются в абсолютных значе­ ниях частот, с которыми они встречаются в данной совокупно­ сти, а также в долях единицы, или в процентах от общего числа наблюдений. Например, в отношении обследованных 580 чело­

Как и все биологические признаки, альтернативы варьируют по величине, и к ним применимы законы вариации и статистиче­ ские характеристики, которые рассматривались выше. Чтобы уяснить основные характеристики рядового варьирования х и о применительно к характеристике альтернативных признаков, представим некоторую совокупность п наблюдений, которые группируются в два класса. В первый клаес, который обозначим единицей, относятся варианты, обладающие данным признаком, а во второй класс, который обозначим нулем, отнесем все остальные варианты, у которых этого признака нет. Абсолютные частоты первого класса обозначим через т, а частоты второго (нулевого) класса — через п—т = Ь. Приняв эти условия, напи­ шем «распределение» альтернативного признака X :

149