книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Полный ряд накопленных частот образуется последовательной кумуляцией всех частот вариационного ряда в направлении от максимальной варианты (но не наоборот!). Применим эту фор­ мулу к рассматриваемому примеру распределения кальция

(мг%) в сыворотке крови павианов-гамадрилов (табл. 11). Таблица 11

Используя данные табл. 11, среднюю арифметическую можно вычислить и по формуле 23, приняв в качестве условной средней А минимальную варианту. В таком случае первый ряд накоплен­ ных частот доводится не до конца вариационного ряда, а до ус­ ловного начала А:

50

—8,9 + 2,996 = 11,896, или х = 11,90 мг%.

Так что разница между описанными вариантами способа сумми­ рования носит не принципиальный, а чисто формальный харак­ тер. (Другие варианты описанного способа можно найти в статье В. В. Алпатова (1967) '.)

Свойства средней арифметической

Формально эмпирическая средняя (х) соответствует матема­ тическому ожиданию распределения вероятных значений случай­ ной величины. Однако знак равенства между этими средними ставить нельзя. Средняя арифметическая из отдельных значений случайной величины X приближается к ее математическому ожи­ данию по мере увеличения числа испытаний (п), т. е. при п-уоо Х-+Е (х). Рассмотрим основные свойства средней арифме­ тической, поскольку с ней связаны расчеты характеристик вариа­ ционного ряда.

1. Сумма всех положительных и отрицательных отклонений вариант от средней арифметической равняется нулю, т. е.

2 (Хі — х) = 0.

Это можно показать на самом простом примере. Возьмем следу­ ющие пять вариант: 2 4 4 6 9. Их средняя х = (2 + 4 + 4 + 6 + + 9) :5 = 5. Выпишем отклонения каждой варианты от средней и просуммируем их:

2—5=—3

4— 5 = — 1 4— 5 = — 1

2 ( х і — х)= 0

Средняя арифметическая — это центр распределения; вариан­ ты больше и меньше средней величины как бы уравновешивают­ ся, положительные и отрицательные отклонения вариант от сред­

случаи указывают на погрешности, допущенные при округлении дробных чисел. Используя количественные методы, приходится, как правило, иметь дело с приближенными числами. Обычно дробные числа округляются до десятых и сотых, а при более точ­ ных вычислениях и до тысячных долей единицы; гораздо реже производятся более точные измерения. Опыт показывает, что нет необходимости во всех случаях гнаться за мнимой точностью расчетов, когда она практически не нужна. В этой связи полезно

1 См. Бюллетень М.ОИП, отд. биол„ т. 72(1), 1967.

51

напомнить основные правила округления дробных чисел. 1) Ес­ ли цифра, стоящая за сохраняемой, меньше 5, она отбрасывает­ ся, а если больше 5, то сохраняемая цифра увеличивается на еди­ ницу. Например, числа 45,4366 и 31,4237 округляются до сотых знаков так: 45,44 и 31,42. Если же округлить эти числа до деся­ тых знаков, получим: 45,4 и 31,4. Округляя дробные числа, сле­ дует поступать так, чтобы допускаемая погрешность оказалась минимальной. Соответственно этому числа 1,450, 4,852, 0,850, 0,458 и 0,05 следует округлять до десятого знака следующим об­ разом: 1,4 4,9 0,9 0,5 и 0,0. 2) В тех случаях, когда для округле­ ния числа необходимо отбросить единственную цифру 5, за кото­ рой нет других цифр, придерживаются следующего правила: последнюю сохраняемую цифру оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная, наприг мер, 3,585 округляется до 3,58, 3,575 — до 3,58, 16,0815 — до 16,082 и т. д. При этом не рекомендуется отбрасывать нули, ко­ торыми заканчиваются округленные числа, чтобы показать тем самым действительную степень точности числа. Например, округ­ ляя числа 5,402 и 8,697 до сотых долей, следует записать 5,40 и 8,70, а не 5,4 и 8,7.

2. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме­ тической есть величина наименьшая по сравнению с суммой квадратов отклонений вариант той же совокупности от любой ве­ личины, отличной от средней арифметической, т. е.

2 ( х г- - х ) 2 < 2 ( х ; - Л ) 2 .

Продемонстрируем это свойство на том же простом примере. Сначала найдем сумму квадратов отклонений вариант 2 4 4 6 и 9 от их средней х = 5:

(X — * ) = — 3— 1— 1+ 1+ 4

Затем определим сумму квадратов отклонений, например, от ва­ рианты 6, т. е., возьмем А = 6:

(Хі — А) = 2 — 6 == — 4

4 — 6 == — 2

4 — 6 = — 2

6 — 6 = + 0

9 — 6 = + 3,

2 (Хі — А )2 = 42 + 22 + 22 + З2 = 33. Нашли, что 28 < 33.

52

3. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме­ тической равна сумме квадратов этих вариант минус квадрат их суммы, отнесенный к общему числу вариант данной совокупно­ сти, т. е.

Воспользуемся теми же вариантами 2 4 4 6 и 9. Выше было най­ дено 2(х,—х )2 —28. Эта величина получается и путем следующе­ го расчета: 2х2 = 22 + 4 2 + 42 + 62 + 92= 153; 2х = 2-р4 + 4+ 6+ 9 = = 25 и (2х)2=252 = 625, отсюда

4. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме­ тической равна сумме квадратов этих вариант минус произведе­ ние общего числа вариант, входящих в состав данной совокуп­ ности, на квадрат средней арифметической, т. е.

2 (Хі — х )2 = 2х2 — п X X2.

Для тех же пяти вариант — 2 4 4 6 9 — известны: 2(Xj—х )2 = 28, 2х2 = 153, х = 5 и х2 = 25, отсюда 2 (х*—х )2= 153—5x25 = 28.

5. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме­ тической равняется сумме квадратов отклонений вариант от ус­ ловной средней А минус квадрат суммы отклонений вариант от условной средней, отнесенный к общему числу вариант данной совокупности, т. е.

—5

6.Если каждую варианту увеличить (или уменьшить) на ка­ кую-то положительную величину К, то и средняя арифметиче­ ская увеличится (или уменьшится) на ту же величину, т. е.

г2 (X ± К)

— X ± К .

п

К каждой из приведенных выше вариант прибавим единицу и вы­ числим среднюю арифметическую:

5 а

ИЛИ X + 1 = 6.

7. Если каждую варианту увеличить (или уменьшить) в К раз, то и средняя арифметическая увеличится (или уменьшится) во столько же раз, т. е.

Увеличим каждую варианту совокупности в два раза и найдем среднюю арифметическую

(2 X 2 + 4 X 2 + 4 X 2 + 6X2 + 9X2) :5 = ~ = 10, иля 2Х* =

= 2 X 5 = 10.

СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ

Когда изучаемый признак находится в обратной пропорцио­ нальности к другому признаку, связанному с’ ним функциональ­ но, то более точную характеристику ему дает средняя гармониче­ ская, обозначаемая символом хь- Эта средняя представляет от­ ношение общего числа наблюдений (п) к сумме их обратных значений, т. е.

Здесь X — значение отдельной варианты; 2 — знак суммирования; п — общее число вариант в данной совокупности, т. е. ее объем.

Например, пять доярок в течение часа надоили следующее ко­ личество молока: первая— 10, вторая — 20, третья — 25, четвер­ тая— 30 и пятая — 20 л молока, а всего 105 л за час. Нужно оп­ ределить, сколько времени в среднем затрачивает доярка на вы­

трачивается 60:'21 =2,86 мин. Однако этот расчет недостаточно точный. Ведь фактически на выдаивание 105 л молока затрачено 6О/ і0 + 6О/20 + 6О/25 + 6О/з0+ 6О/20=16,4 мин. Следовательно, на выдаи­ вание 1 л молока доярка затрачивает в среднем 16,4 : 5 = 3,28 мин (а не 2,86 мин, как получилось выше). Именно за один час дояр­ ка надоила в среднем не 21 л, а меньше:

откуда на выдаивание \ л молока доярка затрачивает в среднем 60/і8,зі = 3,28 мин.

Если выборка сгруппирована в виде вариационного ряда, т. е. ранжирована с указанием частот отдельных вариант, для ее ха­

54

рактеристики вычисляется взвешенная средняя гармоническая по следующей формуле:

Например, для определения средней плотности колосьев ржи бы­ ла измерена длина 20 колосьев и подсчитано количество зерен в каждом колосе. Результаты распределились следующим образом:

* Плотность равна отношению числа зерен к длине колосьев.

Вычислим среднюю гармоническую, характеризующую среднюю плотность колосьев в этом распределении:

1 + 2 Х а

Если же характеризовать этот признак средней арифметической, то получается следующий результат:

X = (2 X 4,5 + 5 X 4,2 + 10 X 4 + 2 X 3,7 + 1 X 3,5) :20 =

Видно, что средняя арифметическая несколько больше средней гармонической, хотя разница в данном случае невелика.

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ

Когда признаки выражаются мерами площади, их средняя величина более точно характеризуется средней квадратической, обозначаемой символом х д. Примерами такого рода признаков могут служить размеры корзинок подсолнечника — признак, раз­ меры которого в значительной мере определяют урожай отдель­ ных растений. Размеры колоний микробов, величина листовых пластинок у растений, с которой связана продуктивность фото­ синтеза, и другие признаки.

Средняя квадратическая равняется корню квадратному из суммы квадратов вариант, отнесенной к их общему числу:

X q ИЛИ Xq (27)

55

Этот показатель применяется при определении среднего диамет­ ра какой-либо поверхности. Например, измерение диаметра у 10 корзинок подсолнечника дало следующие результаты:

в данном случае дает заниженный результат. Более точным по­ казателем оказывается средняя квадратическая:

Ерх2 = 1 X 82 + 1 X 1 12 + 2 X 132 + 3 X 152 + 2 X 162 +

+ 1 X 172 — 1999, откуда

1999

14,1 см.

У - Т(Г

СРЕДНЯЯ КУБИЧЕСКАЯ

Когда необходимо определить средний размер объемных при­ знаков, используется средняя кубическая, обозначаемая симво­ лом X Q . Она равна корню кубическому из суммы кубов вариант, деленной на их общее число:

Пример. Измерялся диаметр 18 куриных яиц (бралась полу­ сумма малого и большого диаметров яиц), результаты оказались следующие:

Нужно определить средний размер яиц по их диаметру. Вычисля­ ем среднюю кубическую (взвешенную)

Ирх3= 2 (4,7)3 + 4 (4,8)3 + 6 (5,0)3 + 3 (5,4)3 + 2 (5,6)3 +

+ 1 (6,0)3 = 207,6 + 442,4 + 750,0 + 472,5 +

+ 351,2 + 216,0 = 2439,7,

Откуда находим

56

Если вычислить среднюю арифметическую этого признака, она оказывается несколько меньше по сравнению со средней кубиче­ ской, что видно из следующего расчета:

2,рх

см

п

СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

Средняя геометрическая, обозначаемая через x g, представля­ ет корень п-й степени из произведений членов ряда, т. е.

Xg -- У*1 X *2 X *3 X • • • X Хп.

Например, средняя геометрическая чисел 5, 8, 25 равняется:

T. e. логарифм средней геометрической равен сумме логарифмов членов ряда, отнесенной к их общему числу; логарифм средней геометрической есть средняя арифметическая из логарифмов чле­ нов данного ряда.

Средняя геометрическая характеризует средние величины прибавок веса, линейных размеров тела или средний прирост по­ пуляции за определенные промежутки времени, поэтому она вы­ числяется не из абсолютных чисел ряда, а из их разностей или отношений. Средняя геометрическая особенно удобна в тех слу­ чаях, когда признак, изменяясь во времени, выражается в виде прироста в долях единицы или в процентах. Покажем расчет средней геометрической на соответствующем примере. По дан­

Вычислим средний годовой прирост длины тела азовского сазана за первые пять лет его жизни. Расчет суммы логарифмов из абсо­ лютных величин прироста показан в табл. 12.

Подставляя найденное значение 2 1gx в формулу, находим:3

3 51813

1g x g = —— -----= 0,87953. Откуда x g — 7,58 см.

57

Если для тех же данных вычислить среднюю арифметическую, она оказывается равной:

12,5 + 9,4 + 6,1+ 4,6 32,6

= 8,15 см.

~7~

Сравнивая этот результат с предыдущим, видим, что средняя гео­ метрическая несколько меньше, чем средняя арифметическая прироста. Можно сказать, что средняя геометрическая более точ­ но характеризует ряды динамики, чем средняя арифметическая. Возьмем следующий пример. Макак резус «Сват» № 582 родил­ ся с весом 0,36 кг, а «Тобол» № 738 имел вес при рождении, равный 0,55 кг. В шестимесячном возрасте детеныши весили: «Сват»— 1,13 кг, а «Тобол»— 1,35 кг. Если вычислить средний

х% — —-------- :— = 0,13 /сг.. Тогда как интенсивность роста, опре-

6

деляемая отношением конечной величины к начальной (базис­

средний месячный прирост у «Свата» должен быть выше, чем у «Тобола», но эта разница не выявляется средней арифметической прироста.

Средняя геометрическая из коэффициентов роста, т. е. отно­ сительное приращение переменной величины за равные проме-

58

жутки времени, определяется по следующей формуле:

71— 1_____

X g -У- ѴпѴі

где Ѵп — конечная, а Ѵ\ — начальная, или базисная, величина признака. Логарифмируя эту формулу, получаем:

1 1 (зо)

Применительно к рассматриваемому примеру средний месячный

Когда прирост (или уменьшение) признака за определенные равные промежутки времени выражается коэффициентами роста,

т. е. как — — Q. средняя геометрическая вычисляется по фор-

V1

муле

Применим эту формулу к расчету среднего годового прироста длины тела азовского сазана за первые пять лет его жизни. Рас­ чет суммы логарифмов из относительных прибавок длины тела, т. е. коэффициентов роста сазана, показан в табл. 13.

59