книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

кие случайные события наблюдаются в области микробиологии, радиобиологии, биофизики и в других отраслях биологической науки. Сэджер и Райн (1964) показали, что спонтанный мутаци­ онный процесс у кишечной палочки (Escherichia coli) описыва­ ется формулой Пуассона

рп(т)

ат

Рие. 9. График функции Рп(т) = — е-“ для раз­

ных значений а

ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

Закон распределения редких событий, описываемый форму­ лой Пуассона, является частным случаем биномиального распре­ деления и характеризуется теми же параметрами, что и биномиальное распределение. Но в отличие от последнего для распределения Пуассона характерно совпадение по абсолютной величине математического ожидания и дисперсии случайной ве­ личины. Иначе говоря, дисперсия случайной величины, распре­ деляемой по закону Пуассона, равна наивероятнейшей частоте этой величины или ее математическому ожиданию: D(m)=a.

* *

Рассмотренные законы распределения выведены путем мате­ матической индукции на основании известных фактов. Они про­ диктованы конкретными задачами и служат математическими моделями эмпирических распределений. Значение описанных те­ оретических законов распределения в исследовательской работе исключительно велико: они составляют логическую основу био­ метрии, на них опирается статистический анализ массовых явлений.

40

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

ВИДЫ СРЕДНИХ И ИХ ЗНАЧЕНИЕ

Одной из важнейших обобщающих характеристик варьирую­

тивности животных или растительных организмов, средней успе­ ваемости учащихся, о средней скорости биохимических реакций и о многих других средних величинах. Значение средних заклю­ чается в их свойстве нивелировать индивидуальные различия, в результате чего выступает более или менее устойчивая числовая характеристика признака — не отдельных представителей, а це­ лой группы статистических единиц.

Средняя величина характеризует групповые свойства. В ней, как в фокусе лучи, сходятся все силовые линии тех многочислен­ ных влияний, под воздействием которых происходит развитие признака и определяется размах его вариации. В средней нахо­ дит свое выражение внутренняя связь, существующая между от­ дельными вариантами и всей их совокупностью в целом. Средняя величина — это центр распределения: она занимает центральное положение в общей массе варьирующих значений признака.

Существует несколько видов средних. Применяемые в биоло­ гии средние делятся на степенные, или параметрические, и сред­ ние порядковые, или непараметрические. Параметрические сред­ ние функционально связаны с распределением варьирующих признаков, тогда как порядковые средние функциональной связи с распределением признаков не имеют, характеризуя лишь струк­ турные особенности вариации, поэтому и относятся к группе структурных средних. К ним принадлежат медиана, мода и неко­ торые другие средние показатели.

Параметрические, или степенные, средние получаются из

общей формулы:

h

ется средняя арифметическая (х), при k ——1 — средняя гармо­ ническая (хи), при k = 2 — средняя квадратическая и т. д.

Наряду с общими средними, характеризующими всю совокуп­ ность наблюдений, различают частные, или групповые, средние (хі ), вычисляемые на отдельных (частных) группах вариант,

41

входящих в состав общей совокупности или данного комплекса (в дисперсионном анализе).

Критерием правильного выбора средней служат ее свойства, которые должны соответствовать содержанию описываемого яв­ ления и согласоваться с задачами и характером исследования. Если эти условия не выполняются, средняя не может служить точной обобщающей характеристикой массовых явлений.

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ

Простая средняя арифметическая

Из всех параметрических средних наиболее часто применяет­ ся средняя арифметическая (х ), представляющая частное от де­ ления суммы всех вариант совокупности на их общее число:

Хі -{- Х2 -f- Х3 -f- . . . -f- Хп 2Xt

(17)

Например, в помете каждой из шести свиноматок было получено следующее количество поросят:

В данном случае численность отдельных вариант повторяется всего один раз. В этом легко убедиться, распределив эти данные в вариационный ряд:

число поросят в помете

Средняя арифметическая, вычисленная для такого рода сово­ купности-, называется п р о с т о й , или невзвешенной средней. В данном случае:

Средняя арифметическая — величина именованная, она выра­ жается теми же единицами измерения, что и характеризуемый ею признак.

Взвешенная средняя

Если же в совокупности наблюдений отдельные варианты пов­ торяются р раз, то средняя вычисляется с учетом повторяемости вариант по следующей формуле:

42

где X — значения вариант, а р — их частоты или «веса». Средняя, вычисляемая с учетом частот или «весов» отдельных вариант, на­ зывается в з в е ш е н н о й средней. Само собой понятно, что варианта, которая встречается в совокупности наиболее часто, окажет и большее влияние на среднюю величину по сравнению с другими вариантами, входящими в ее состав. Отсюда и возника­ ет понятие статистического веса, совпадающее с понятием часто­ ты отдельных вариант изучаемой совокупности. Например, ре­ зультаты подсчета количества зерен, содержавшихся в 18 наугад отобранных колосьях озимой ржи, распределились следующим образом:

Сумма частот составляет 2р=18. Видно, что разные колосья содержат разное количество зерен, но не все имеют одинаковый «вес»: большее число колосьев содержит по десять зерен, тогда как другие колосья имеют одни меньше, другие больше зерен. Средняя арифметическая в этом случае определяется так:

* = і 8 ( 7 Х 1 + 8 Х 1 + 9 Х 2 + 1 0 Х 7 + П Х 3 +

+ 1 2 X3 + 13Х 1) = ——■= 10,28 зерен. 18

Аналогичным способом рассчитывается и общая средняя (х) из суммы частных средних (#,), полученных на однородных группах наблюдений. Только весами в таких случаях служат не частоты вариант, а объемы групп, на которых вычислены частные средние. Формула 18 применительно к такого рода случаям при­ обретает следующий вид:

Например, на одновозрастной группе одного и того же пола в составе 30 человек определялось количество гемоглобина в крови. Средняя арифметическая оказалась равной 69,8%. В то же время на другой аналогичной группе, насчитывавшей 20 человек, тот же показатель оказался равным 64,9%- Нужно определить среднее содержание гемоглобина в крови по суммарным данным для всех 50 человек.

Если бы число наблюдений в первом и во втором случаях было одинаковым, задача решалась довольно просто — путем отнесения суммы частных средних арифметических к их числу, т. е. в данном случае взяли бы полусумму групповых средних:

<3

х = (69,8 + 64,9) : 2 = 67,35%. Но при разных объемах групп этот суммарный показатель будет неточным, так как он не учитыва­ ет веса частных средних, входящих в обобщенную среднюю вели­ чину. Поэтому более точный результат получится, если общая средняя рассчитывается по формуле 19:

30 X 69,8 + 20 X 64,9

67,84%.

30 + 20

Сокращенный способ вычисления средней арифметической (способ условной средней)

Вычисление средней арифметической описанным выше спо­ собом взвешенных вариант не всегда удобно, особенно на сово­ купностях большого объема и при наличии многозначных чисел, когда вычислительная работа становится особенно трудоемкой. В таких случаях проще рассчитать среднеарифметическую упро­ щенным способом, описываемом в разных руководствах под раз­ ными названиями: способ условного начала, условной средней, условного нуля, условного интервала и т. д. Сущность этого спо­ соба, для которого здесь сохраняется название условной средней, заключается в следующем. Одну из вариант, все равно какую, условно принимают за среднюю величину, обозначив ее через А. Обычно в качестве условной средней, или условного начала, бе­

средней, чтобы получить истинное значение средней арифметиче­ ской (X). Такой поправкой служит взвешенная сумма отклонений вариант от условной средней, отнесенная к числу всех вариант данной совокупности и называемая условным моментом первого

Под моментами распределения понимаются средние величи­ ны, представляющие отклонения вариант от какого-нибудь чис­ ла — средней арифметической, условной средней или нуля, воз­ веденные в ту или иную степень и отнесенные к общему числу наблюдений. При этом отклонением называется разность между

основании, чтобы отклонения вариант меньше средней величины

44

Если отклонения берутся от среднеарифметической, моменты называются ц е н т р а л ь н ы м и ; их обыкновенно обозначают греческой буквой ц (ми). Если же отклонения берутся от произ­ вольно выбранного числа А, моменты называются у с л о в н ы -

м и. Когда же отклонения берутся от нуля, моменты называются

на ч а л ь н ы м и . В зависимости от степени отклонений моменты распределения могут быть первого, второго и больших порядков (табл. 8).

Ирх2

п

Можно сказать, что средняя арифметическая (ж) является на­ чальным моментом первого порядка (mi). Центральные моменты нормального распределения связаны с условными моментами следующими формулами, которые используются при вычислении характеристик вариационного ряда:

45

Используя условный момент первого порядка в качестве по­ правки к условной средней А, получим формулу средней ариф­ метической:

Покажем применение этой формулы на рассмотренном выше, примере; определим среднее число зерен в 10 колосьях озимой ржи:

Сумма произведений частот на отклонения: —18+ 5= —13, откуда

18V

Вкачестве условной средней взята варианта «11». Но можно взять любую другую варианту и результат получится тот же самый:

Преимущество этого способа особенно заметно при вычисле­ нии средней арифметической на больших совокупностях и при наличии многозначных чисел. Покажем это на следующем при­ мере. По данным Л. С. Берга (1924), 267 датских угрей распре­ делились по числу позвонков следующим образом:

Перемножив варианты на их частоты и просуммировав результа­

46

Теперь рассчитаем среднюю арифметическую этого распре­ деления по упрощенному способу. В качестве условной средней

ізьмем варианту 115, т. е. А = 115:

п267

Получился тот же результат, что и выше, но при меньшей вычислительной работе, так как удалось избежать перемноже­ ния многозначных чисел.

Описываемый способ еще больше упрощается, если отклоне­ ния классовых вариант от условной средней относить к величи­ не классового интервала, т. е. вместо а = х — А выражать откло-

Эта формула настолько упрощает расчеты средней арифметиче­ ской, что, кажется, предпочесть этому способу какой-нибудь дру­ гой просто невозможно.

Применим эту формулу, а для сравнения и предыдущую фор­ мулу 20 к расчету средней арифметической ряда распределения по уровню кальция (мг%) в сыворотке крови лавианов-гамадри-

лов (табл. 9).

Подставляя из табл. 9 в формулы 20 и 21 соответствующие

*= А+І (^г) =и ’7+ °’7© =

= 11,7 + 0,196 = 11,90 мг%.

47

Сравнивая тот и другой способы расчета средней, нельзя не отдать второму способу преимущество перед первым.

Способ суммирования

Существует еще один довольно простой и оригинальный спо­ соб определения средней арифметической, основанный на пред­ варительной кумуляции частот вариационного ряда, который на­ зывается способом суммирования. Кумуляция, или последова­ тельное суммирование (интеграция) частот, производится с противоположных концов к центру ряда — до условной средней А либо в направлении от максимальной варианты до конца ва­ риационного ряда. Отметим два варианта определения средней

48

где А — условная средняя; п — общее число вариант в данной совокупности; d — разность между суммами первого и второго неполных рядов накопленных частот, получаемых кумуляцией частот с противоположных концов вариационного ряда до услов­

Ряды накопленных частот получены следующим образом: первый ряд 3 + 9 = 12+ 31 =43 + 71 == 114, второй ряд 1+5 = 6+19 = 25 + + 46 = 71. Далее накопленные частоты суммируются, причем пер­ вая сумма берется с отрицательным, а вторая с положительным знаками 3+12 + 43 + 114= —172 и 1+6 + 25 + 71 = +103. Находим разницу между суммами накопленных частот d = —172+103 = = —69. Подставляя найденное значение d в формулу, находим

—69

X — 115-4------= 115 — 0 ,5 6 = 114,74 позвонка. 267

Если варианты относятся к классам вариационного ряда, т. е. в случаях интервального построения ряда, при определении сред­ ней арифметической этим способом в формулу 22 вносится по­ правка— второй член правой части формулы умножается на ве­ личину классового интервала и формула приобретает следующий вид:

Применим эту формулу к расчету средней арифметической распределения кальция (мг%) в сыворотке крови павианов-га- мадрилов. Вычислим сначала величину d (табл. 10).

Подставляя найденную величину d в формулу 23, получим:

( 28 \

— ) = 11,90 жг%.

Второй вариант. Вместо условной средней А можно взять разность между минимальной вариантой (хт т) и величиной клас­ сового интервала (г), на которую отличаются соседние вариан­ ты. К полученной разности (xmjn—г) прибавляется сумма первого полного ряда накопленных частот (Si), отнесенная к числу всех вариант (п) и умноженная на величину классового интервала. Получается следующая формула:

49