книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Определим среднюю (х) и дисперсию (о12) для этих данных. Рас­ чет необходимых вспомогательных значений приводится в табл. 22.

Из этого примера видим, во-первых, что средняя величина и дис­ персия совпадают друг с другом по абсолютной величине, что ха­ рактерно для распределения Пуассона'. А во-вторых, коэффи­ циент івариации в данном случае оказывается действительно до­ вольно высоким:

100 У 1,53

80,2%.

1Д34

Наконец, следует обратить внимание на еще одну особен­ ность коэффициента вариации, которую необходимо учитывать в исследовательской работе. Дело в том, что на величине коэффи­ циента вариации сказывается размерность признаков: для одних и тех же признаков этот показатель оказывается различным в за­ висимости от того, в каких величинах размерности они выраже­ ны. Иллюстрацией могут лужить данные, приведенные в табл. 23 (по Артемьеву, 1969) 2.

1 Нужно иметь в виду, что равенство между х и о2 не исключено и для строго симметричных распределений. Например, для ряда

X : 0 2 4 6 8 10

р: 1 5 10 10 5 1 — г= 5 и а2=5.

2 Ю. Т. А р т е м ь е в . К трактовке коэффициента вариации... «Науч. докл. высшей школы». «Биол. науки», № 11, 1969.

80

Известно, что соотношения между линейными, поверхностны­ ми и объемными величинами одного и того же предмета выража­ ются как 1:2:3. Отсюда следует, что при одинаковой точности измерений коэффициент вариации весовых величин будет в три раза больше, чем величин линейных. Отмеченные особенности, связанные с конструкцией этого показателя, необходимо учиты­ вать при использовании его для сравнительной характеристики варьирования признаков разной размерности.

НОРМИРОВАННОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

В области биометрического анализа видное место принадле­ жит еще одному показателю, называемому нормированным от­ клонением и обозначаемому символом t. Нормированное откло­ нение показывает, на сколько сигм (т. е. единиц меры, которой служит среднее квадратическое отклонение) та или иная вариан­ та или какой-нибудь другой член данной совокупности отклоня­ ется от среднего уровня варьирующего1признака. Мы уже встре­ чались с этим относительным показателем, когда рассматривали формулу, описывающую нормальную кривую. В простейшем ви­

Помимо теоретического значения, нормированное отклонение находит широкое практическое приложение. Например, обследо­ вание физического развития учащихся ремесленных школ Моск­

1 А. И. Л а п п о - Д р о з д о в а . Динамика физического развития подрост­ ков. Медгиз, М., 1960.

81

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

ВЫБОРКА И ЕЕ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ

Чтобы получить исчерпывающую информацию о состоянии той или иной статистической совокупности, нужно учесть весь ее со­ став без исключения. Так иногда и поступают, например, при государственных переписях населения, при поголовном учете жи­ вотных той или иной породы (вида) в стране, при полной регист­ рации больных в данной местности и в других случаях, когда возникает необходимость иметь точные данные о состоянии изу­ чаемого явления.

Однако', в силу разных обстоятельств, не всегда приходится прибегать к сплошному обследованию изучаемых совокупностей. Во-первых, потому, что эта работа сопряжена с большими затра­ тами труда и времени, не говоря уже о больших затратах мате­ риальных средств, а во-вторых, ввиду практической невозможно­ сти или нецелесообразности полного учета всех членов совокуп­ ности. Естественные популяции, как правило, недоступны сплош­ ному статистическому описанию. Невозможно, например, учесть все население фитоили зоопланктона даже небольшого водоема ввиду практически необозримого числа составляющих его орга­ низмов. Нецелесообразно высевать всю партию семян для того, чтобы определить их всхожесть и т. д.

Вследствие этого и в целях экономии времени и средств вместо сплошного учета всех членов изучаемой совокупности анализу подвергается обычно какая-то ее часть, по которой и судят о состоянии всей совокупности в целом. Отсюда идут по­ нятия о генеральной (общей) и выборочной совокупности, ис­ следуемых с точки зрения интересующего нас признака (или признаков). Совокупность, из которой отбираются варианты для совместного изучения, называется г е н е р а л ь н о й , а отобран­

Сущность выборочного метода заключается в том, чтобы по свойствам части (выборки) судить о численных характеристи­ ках целого (генеральной совокупности), по отдельным группам вариант — об их общей совокупности, которая иногда мыслится как совокупность неограниченно большого объема. Основу вы­ борочного метода составляет та внутренняя связь, которая су­ ществует в популяциях между единичным и общим, частью и це­ лым.

83

Выборочный метод имеет очевидные преимущества перед сплошным изучением генеральной совокупности, так как сокра­ щает объем работы (за счет уменьшения числа наблюдений), позволяет экономить силы и средства, получать информацию о таких совокупностях, полное обследование которых практиче­ ски невозможно или нецелесообразно.

Опыт показал, что правильно произведенная выборка до­ вольно хорошо представляет или репрезентирует (от лат. гергеsento — представляю) структуру и состояние генеральной сово­ купности. Однако полного совпадения выборочных данных с данными обработки генеральной совокупности, как правило, не бывает. В этом и заключается недостаток выборочного метода, на фоне которого видны преимущества сплошного описания ге­ неральной совокупности.

Ввиду неполного отображения выборкой статистических ха­ рактеристик (параметров) генеральной совокупности перед ис­ следователем возникает важная задача: во-первых, учитывать

исоблюдать те условия, при которых выборка наилучшим обра­ зом репрезентирует генеральную совокупность, а во-вторых, в каждом конкретном случае устанавливать, с какой уверенностью можно перенести результаты выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность, из которой выборка взята.

Репрезентативность выборки зависит от целого ряда условий

ипрежде всего от того, как она осуществляется — или плано­ мерно, т. е. по заранее намеченной схеме, или путем неплано­

мерного отбора вариант из генеральной совокупности. В любом случае выборка должна быть т и п и ч н о й и вполне о б ъ е к ­ т ив но й . Эти требования должны выполняться неукоснительно как наиболее существенные условия репрезентативности выбор­ ки. Например, при измерении длины колосьев или подсчете со­ держащихся в них зерен нельзя учитывать, т. е. включать в выборку, пораженные головней, оборванные и вообще испорчен­ ные колосья, так как они нетипичны для данной совокупности. Поэтому прежде чем обрабатывать выборочный материал, его нужно тщательно проверить и освободить выборку от всего лиш­ него, что нарушает условия репрезентативности. В то же время при образовании выборки нельзя поступать по произволу, вклю­ чать в ее состав только те варианты, которые кажутся типичны­ ми, а все остальные браковать. Доброкачественная выборка должна быть объективной, т. е. производиться без предвзятых по­ буждений, при исключении субъективных влияний на ее состав, Выполнению этого условия репрезентативности отвечает прин­ цип р е н д о м и з а ц и и (от анг. random — случай), или случай­ ного отбора вариант из генеральной совокупности. Этот принцип положен в основу теории выборочного метода и должен соблю­ даться во всех случаях образования репрезентативной выбороч­ ной совокупности, не исключая и случаев планомерного или преднамеренного отбора.

84

Случайный отбор вариант из генеральной совокупности — это не хаотический, не беспорядочный отбор, а такой, при кото­ ром устраняются субъективные влияния на состав выборочной совокупности. Случайный отбор производится по способу лоте­ реи или жеребьевки, когда ни одна варианта генеральной сово­ купности не получает никаких преимуществ перед остальны­ ми — попасть или не попасть в состав выборочной совокупности. В целях полного исключения субъективных влияний на состав выборки в особо ответственных исследованиях прибегают к ис­ пользованию специальных таблиц случайных чисел, с помощью которых производится формирование выборочной совокупности. Сущность этого метода заключается в следующем. На численно ограниченной, но достаточно большой искусственной модели ге­ неральной совокупности путем случайного отбора образуют ряд чисел. Отбор производится по схеме «возвращенных в урну ша­ ров» *. Получаемые при этом случайные числа заносятся в таб­ лицу таким образом, чтобы числа имели одинаковое количест­ во цифр. Этим обеспечивается удобство использования таблицы случайных чисел в практических целях. Например, при трехзначности чисел цифра 8 заносится в таблицу в виде 008, число 69 — в виде 069 и т. д.

Числа записываются в таблицу вне всякой последовательно­ сти, в случайном порядке. На этом основании она и называется таблицей случайных чисел. Такая таблица приводится в прило­ жениях под № IV. Как пользоваться этой таблицей? Покажем это на следующем примере. Для проведения эксперимента не­ обходимо из общего числа 120 лабораторных животных, содер­ жащихся в виварии, отобрать 6 особей. Если выбрать первых попавшихся на глаза, можно ошибиться: особи могут резко вы­ деляться по учитываемому признаку от всех остальных. Чтобы выборка действительно носила случайный характер, а следова­ тельно, наилучшим образом была репрезентативной, следует поступить так: всем животным вивария присвоить индивидуаль­ ные номера от 1 до 120. Затем по таблице случайных чисел нахо­ дим те из них, которые не превышают 120, т. е. отвечают постав­ ленной задаче. По условию опыта таких чисел должно быть отобрано шесть. Так как табл. IV состоит из четырехзначных, а мы должны отбирать числа не больше трехзначных, условим­ ся учитывать первые три цифры каждого четырехзначного числа в колонках этой таблицы. Можно, конечно, исходить и из друго­ го условия, лишь бы оно обеспечивало отбор нужных номеров. В первой колонке табл. IV находим числа 90 и 91 (т. е. числа 0905 и 0912, но последние их цифры — 5 и 2 не учитываем, как1

1 В приложении к лотерее с билетами, на которых написаны номера, эта схема означает: из урны вынимается билет, его номер регистрируется, после ■чего он возвращается обратно в урну, так что может выйти в тираж неодно­ кратно.

85

условились). Во второй колонке той же таблицы отбираем чис­ ла 47 и 41 (других отвечающих нашим требованиям в ней нет) и

РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ ВЫБОРОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Характеристики генеральной совокупности — средняя вели­ чина (М), дисперсия (а2) и среднее квадратическое отклонение (о ) — представляют собой величины постоянные (параметры). По отношению к ним соответствующие выборочные характерис­ тики— X, о2 и а 1, которые служат оценками генеральных пара­ метров, являются величинами случайными: они могут совпадать и не совпадать с величиной генеральных параметров. Отсюда возникает вопрос о репрезентативности выборочных показате­ лей.

Возможные отклонения выборочных показателей от их пара­ метров в генеральной совокупности, которая обычно мыслится

учета единиц совокупности и не вследствие вычислительной ра­ боты, а исключительно в силу недостаточной точности, с какой выборка репрезентирует генеральную совокупность. Но, как и ошибки, допускаемые при измерении биологических объектов, выборочные ошибки, или ошибки репрезентативности, могут быть и случайными и систематическими. Первые возникают независи­ мо от воли естествоиспытателя, вторые являются следствием несоблюдения условий репрезентативности при образовании вы­ борочной совокупности или какой-нибудь другой определенной причины. Систематические ошибки устраняются с устранением вызывающих их причин, главным образом при соблюдении прин­ ципа рендомизации. Случайные же ошибки репрезентативности остаются и должны учитываться при оценке генеральных пара­ метров по данным выборочного наблюдения. При сплошном (т. е. невыборочном) изучении генеральной совокупности ошиб­ ки репрезентативности не имеют места.

Размеры выборочных ошибок зависят главным образом от объема выборки и от размаха варьирования признака; на них сказываются также и способы отбора вариант из генеральной совокупности.1

1 В ряде руководств через а2 обозначается дисперсия генеральной сово­ купности в отличие от дисперсии выборки, которую обозначают символом S 2. Чтобы не умножать число символов, в данном руководстве и генеральная и выборочная дисперсия обозначается одним и тем же символом а2.

86

Ошибка средней арифметической

Представим, что из одной и той же совокупности, распреде­ ляемой по нормальному закону, отобрано повторным случайным способом (т. е. по принципу «возвращаемых в урну шаров») какое-то количество независимых выборок, т. е. отдельных групп вариант. Очевидно, частные или групповые средние — хі,Х2 , хз,..., Xk, характеризующие эти выборки, как величины случайные бу­ дут варьировать вокруг одного и того же центра распределе­ ния— генеральной средней (М), которая, как уже было сказа­ но, является величиной постоянной. Спрашивается, какова величина этой вариации и как ее измерить? Из предыдущих глав известно, что основным мерилом вариации, т. е. возможных от­ клонений вариант от их средней величины, служит дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Эти же показатели характе­ ризуют и варьирование выборочных средних. В математической статистике доказывается, что выборочные средние варьируют

в У п раз меньше, чем отдельные варианты одной и той же гене­ ральной совокупности. Отсюда следует, что среднее квадратиче­ ское отклонение, характеризующее варьирование выборочных средних вокруг их генерального параметра, равняется:

Y ч

Обычно этот показатель называют выборочной ошибкой сред­ ней (х), или ошибкой репрезентативности; в дальнейшем она обозначается буквой т, которая сопровождается символом того показателя, к которому относится ошибка.

Так как в формулу выборочной ошибки входит не генераль­ ная, а выборочная дисперсия, то более точной будет формула ошибки, в которой п заменяется на п—1, т. е. число степеней свободы:

На выборках большого объема разница между п и п—1 прак­ тически не сказывается на величине ошибки, поэтому ее можно вычислять и по формуле 48. На выборках же небольшого объе­ ма («<30) выборочная ошибка должна вычисляться с учетом степени свободы, т. е. по формуле 49 или по следующим анало­ гичным формулам:

87

Если средняя арифметическая вычисляется упрощенным спо­ собом, то и ее средняя ошибка определяется тем же способом по формуле

где а = х—А, т. е. отклонение варианты от условной средней А. Применим эту формулу к тому же примеру:

Выборочная ошибка выражается в тех же единицах измере­ ния, что и сопровождаемые ею показатели. Она имеет два зна­ к а — плюс и минус, характеризуя отклонения выборочных пока­ зателей как в сторону больших ( + ), так и в сторону меньших

(—) их значений по отношению генерального параметра. В це­ лях упрощения записей знак ± , которым сопровождается ошиб­ ка, обычно опускается, но всегда подразумевается. Средняя арифметическая с ее ошибкой записывается так:

X± о т —.

Вданном примере эта запись выглядит в виде

X і от—= 4,5 + 0,57.

88

Свойства средней ошибки. Закон больших чисел

Выборочная ошибка характеризует варьирование выбороч­ ных показателей вокруг их генеральных параметров; она обла­ дает теми же свойствами, что и среднее квадратическое откло­ нение. Лишь одно свойство специфично для выборочной ошибки: она уменьшается при увеличении числа наблюдений (п ). Это свойство выборочной ошибки обусловлено действием статисти­ ческого закона б о л ь ш и х чисел. В этом законе выражается внутренняя связь между числом испытаний и приближением вы­ борочной средней к своему генеральному параметру — матема­ тическому ожиданию.

Первоначальные теоретические обоснования этого закона были даны еще Якобом Бернулли. А само его название Закон больших чисел предложил Пуассон. В дальнейшем Чебышев, Марков, Ляпунов и другие математики уточнили первоначаль­ ную формулировку закона. В общей формулировке Закон больших чисел утверждает, что вероятность апостериори будет сколь угодно близкой к вероятности априори события, если чис­ ло испытаний неограниченно возрастает. Применительно к эмпи­ рическим совокупностям эта формулировка означает, что выбо­ рочная средняя (ж) будет сколь угодно мало отличаться от генеральной средней (М), если число наблюдений (п) неогра­ ниченно возрастает. Иначе говоря, чем больше объем выборки, тем точнее средний результат, тем меньше выборочная средняя будет отличаться от средней генеральной совокупности. Следо­ вательно, при увеличении числа испытаний ошибка выборочной средней будет уменьшаться, т. е. при п— >-оо т— И). Отсюда ста­ новится яснее значение выборочной ошибки: она указывает на точность, с какой определена сопровождаемая ею средняя вели­ чина.

Величина средней ошибки зависит не только от объема вы­ борки, но и от размаха варьирования признака: чем больше раз­ мах вариации, тем больше будет и величина выборочной ошиб­ ки, и наоборот, при сравнительно слабом варьировании призна­ ка ошибка средней арифметической оказывается меньше.

Наряду с отмеченными причинами на величине средней ошибки сказывается и способ отбора вариант из генеральной совокупности.

Ошибка при разных способах отбора вариант из генеральной совокупности

В зависимости от характера и методики исследования отбор вариант из генеральной совокупности может производиться по-разному. Существует два основных способа отбора: повтор­ ный и бесповторный случайный отбор. Повторный отбор прово­ дится, как уже упоминалось выше, по схеме возвращаемых

89