книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Это значит, что средняя арифметическая при альтернативном варьировании есть не что иное, как относительная частоты или доля одной из альтернатив в их общей совокупности. Обозначив долю вариант, обладающих данным признаком, через р, полу-

Очевидно, p + q= l и p = \ —q, а <7—1—р. Например, из общего числа 125 учащихся успевают на хорошо и отлично 80, а осталь­ ные 45 учатся на удовлетворительно. Средняя арифметическая, или доля успевающих на хорошо и отлично, выразится следую­ щей величиной:

Так как p-\-q = n=A00%, отсюда доля*учеников, успевающих на удовлетворительно, будет равна: 100—63,2 = 36,8%. Полученный результат можно найти и из пропорции: 125: 100 = 80 : х, откуда

Ошибка выборочных долей

Выборочные доли, как и любые выборочные характеристики, являются величинами случайными. А так как они служат оцен­ ками генеральных долей, то должны вычисляться с поправкой на погрешность оценки, т. е. сопровождаться ошибкой репрезен­ тативности ГПр.

В случае повторного случайного отбора вариант из генераль­ ной совокупности и в зависимости от того, в каких — абсолют­ ных или относительных — частотах выражены альтернативы, их

1 5 0

выборочная ошибка вычисляется по следующим формулам:

Здесь от и п—от — абсолютные численности альтернатив, поэто­ му и ошибка, вычисляемая по этой формуле, называется ошиб­

Когда же альтернативы выражаются в процентах, их выбо­ рочная ошибка рассчитывается по формуле процентной частоты:

альбиносов — находим выборочную ошибку процентной частоты:

У:76X24

ОТт 84 : У21,7 = 4,7%.

151

где р — показатель относительной доли, определяемой по фор­ муле Ван дер Вардена (в процентах):

Например, в лесном массиве при учете певчих птиц из общего числа 23 зарегистрированных видов не оказалось ни одной пе-

0

ночки-веснички. Выборочная доля весничек р = — == 0. Вводя 23

поправку на случайность этого показателя, т. е. рассчитывая до­ лю пеночек-весничек по формуле 80, находим

откуда средняя ошибка этой доли будет равна:

Если из генеральной совокупности производится бесповтор­ ный случайный отбор и выборка составляет довольно значитель­ ную часть генеральной совокупности (не <25% ), выборочная ошибка альтернатив определяется по следующей формуле:

1 Когда необходимо увеличить точность, вместо 1—— следует брать мно-

N — n

житель —---- -; но при большом N разница между этими множителями оказы­

вается практически несущественной.

152

век, из которых 200 оказались больными. Доля больных Р =

ность этого показателя не вызывает сомнений.

Доверительный интервал доли

По величине выборочной ошибки доли устанавливаются границы интервала, в котором с определенной вероятностью на­ ходится генеральный параметр доли, именно:

р ± trap,

ная доля по данным выборочного наблюдения. Здесь t имеет то же значение, что и в формуле предельной ошибки средней ариф­ метической рядовой изменчивости, т. е. критерий, по которому с определенной вероятностью устанавливается доверительная граница для генерального параметра. Значения тр, т. е. выбо­ рочной ошибки доли, показаны выше.

Например, доверительные границы генеральной доли боль­ ных д л я / = 2,0 будут следующие:

нижняя граница = 13,0—2X0,8= 11,4% верхняя граница = 13,0+2X0,8=14,6%.

А для той же величины t = 2,0 максимальная ошибка доли пе- ночек-весничек равняется ДР = 2x3,84 = 7,68%. Отсюда верхняя граница доверительного интервала генеральной доли пеночек этого вида равняется 4,0 + 7,68=41,68%.

Метод 9 (фи)

Описанный способ обеспечивает точное установление дове­ рительных границ генеральной доли в тех случаях, когда выбо­ рочная доля равна 50% наблюдений или близка к этой величи­ не. Если же доля одной из альтернатив невелика (р<20) и тем более близка к нулю или к единице, этот способ расчета дове­ рительных границ будет неточным, так как сильное отклонение доли от Р = 0,5 резко сказывается на величине ее выборочной ошибки. Чтобы избежать возможной неточности в таких случаях, следует воспользоваться вспомогательной величиной ф (фи), предложенной Р. А. Фишером: -

153

Эта величина имеет близкое к нормальному распределение. Ее ошибка репрезентативности довольно просто связана с объемом

выборки (п):

Для практического использования этого критерия составлена специальная таблица значений ф для разных значений доли,

т

выраженных в процентах, т. е. в виде р = — X ЮО. Эта таблица

приводится в приложениях под № XIII.

Возьмем следующий пример. Из общего числа 80 детей, об­ следованных в детских учреждениях, 5 оказались косноязычны­ ми. Найдем доверительные границы для генеральной доли кос-

Но так как доля косноязычных детей весьма невелика — все­ го лишь 6,3%, нет уверенности в том, что установленные таким способом доверительные границы точные. Установим их по ме­ тоду «фи». Для первого порога доверительной вероятности Р = = 0,95 и соответственно /=1,96 предельная ошибка доли, опре­ деляемая по формуле 83, равняется

По табл. XIII приложений находим, что величине доли р = 6,3% отвечает значение ф= 0,507. Отсюда доверительные границы для Ф будут следующие:

154

точные границы доверительного интервала доли. Сравнивая первый результат (1,0 % —11,6 %) со вторым (2 ,1 % —12,6 %), видим, что они не совпадают друг с другом.

Оценка разности между долями

Чтобы по разности между выборочными долями оценить ее достоверность в генеральной совокупности, необходимо эту раз­ ность отнести к ее ошибке и полученное значение сравнить с его критическим значением по критерию ССтьюдента или по крите­ рию ф Фишера.

Оценка по критерию Т-Стьюдента

Если же доли выражены в процентах от общего числа наблюде­ ний (л), формула 84 приобретает следующее выражение:

Приведенные формулы служат надежными оценками разности долей в генеральной совокупности, когда численности выбороч­ ных групп оказываются равновеликими или не очень сильно от­ личаются одна от другой. Если же сравниваемые группы весьма различны по своим объемам, ошибки разности, вычисляемые по этим формулам, могут оказаться неточными. В таких случаях более точные результаты получаются при использовании сле­ дующей формулы:

доли р и q\ причем р определяется как средняя взвешенная из

р1 и р2 долей, т. е.

р і Щ +P z flz

Р = -------:------ . Яі -f- Пг

а q = 1—р или 9 = 1 0 0 —р, если доли выражены в процентах. Так как средняя взвешенная из отношений частот сравни­

ваемых выборок равна

155

Например, при изучении влияния эндотоксина на выживаемость облученных животных были получены результаты, приведенные в табл. 46. Из этой таблицы видно, что смертность особей в опытной и контрольной группах весьма различна. Нужно оце­ нить достоверность полученного результата, т. е. разность меж­ ду числом особей, выживших в опыте и контроле. Можно оце­ нить эту разность по ее отношению к своей ошибке, рассчитан­ ной по формуле 84:

156

2 3 /3 6 -3 /1 4

1 / 3/14X0,786 23/36X0,361

У0 ,0 12 + 0,006 ~~ 0,134 ~

Но такая оценка будет неточной, так как численность контроль­ ной и опытной групп очень различна; сильно отличаются друг от друга и численности погибших и выживших животных в груп­ пах (р<25%). Поэтому выборочную ошибку разности между контролем и опытом следует вычислять в этом случае по более точной формуле 8 6 . Средняя взвешенная долей

гается с высокой вероятностью (Р = 0,99); эффективное действие эндотоксина на выживаемость облученных животных нужно признать статистически достоверным.

Оценка по критерию Фишера

Разность между долями, когда они сильно отличаются друг от друга (р<2Ь%), можно с достаточной точностью оценить с

помощью критерия ф («фи»). При этом доли выражаются в про­ центах и с поправкой Йейтса на непрерывность, равной Ѵг и, которая вычитается из большей и прибавляется к меньшей до­ ле. Так, для рассматриваемого примера

= 21,4 + 0,036 = 21,436%

157

фі = 0,962 и для р2= 63,886 значение ср2= 1,853. Разность ф2—фі =

можно оценить и с помощью критерия Фишера:

П1X «2

р ч>= (фі — ф г ) 2 X Пі + п2'

Если фактическая величина этого критерия превосходит его стандартное значение (/%), указанное в табл. VII приложений для взятого уровня значимости (Р) и чисел степеней свободы ki = 1 (берется по горизонтали таблицы) и &2= ni + n2— 2 (нахо­ дится в первом столбце той же таблицы), нулевая гипотеза от­ вергается, разница признается достоверной. В данном случае

потеза отвергается; разница между опытом и контролем оказы­ вается статистически достоверной.

Разницу между сравниваемыми группами можно оценить и путем сопоставления доверительных интервалов, построенных с помощью критерия «фи». В данном случае эта задача решается

ф2= 1,853. Находим максимальные ошибки критерия ср для уров­ ня значимости Д=0,05, которому соответствует /=1,96:

158

откуда границы доверительных интервалов будут следующие:

Итак, нашли доверительный интервал для р\ — от 5,4% до 45,8% и для р2— от 47,9% до 78,5%. Видно, что интервалы не накла­ дываются друг на друга. Следовательно, с вероятностью Р = 0,95 разница между опытом и контролем должна быть признана до­ стоверной.

Если взять более высокую вероятность Р = 0,99, которой со­ ответствует / = 2,58, то максимальные ошибки критерия ср ока­ жутся следующими: Ді = 0,689 и Д2= 0,430. Построенные по этим данным доверительные интервалы оказываются следующими: для р і — от 1,9 до 54,0% и для р2— от 42,6 до 82,7%. Верхний предел р 1 немного выше нижней границы р2. Однако трансгрес­ сия настолько мала (54,0—42,6=11,4%), что принять нулевую гипотезу нет оснований.

Оценка разности между выборочной и генеральной долями

число наблюдений или объем выборки. Рассмотрим применение этой формулы на следующем примере. Изучалось влияние воз­ раста производителей на пол потомства у крупного рогатого ско­ та. Для спаривания с быками разного возраста подбирались коровы примерно одинакового возраста. Результаты трехлетних испытаний оказались следующие (табл. 47).

Т а б л и ц а 47

159