книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

В данном случае доля телок в генеральной совокупности приня­ та равной 0,5, откуда выборочная ошибка доли (она же и ошиб­ ка разности) равняется

Для уровня значимости Р = 0,01 и числа степеней свободы, кото­ рое в таких случаях определяется по формуле k = n — 1= >30 по таблице Стьюдента (см. табл. V приложений) находим tst = 2,6. Так как во всех случаях /ф<7г, нулевая гипотеза сохраняется, вопрос о влиянии возраста производителей на пол потомства остается открытым.

Остановимся на одном из классических опытов Грегора Мен­ деля по скрещиванию двух константных сортов гороха, отличав­ шихся друг от друга по окраске семян: у одного были желтые, а у другого сорта зеленые семена. Во втором поколении от этого скрещивания, т. е. от посева гибридных семян, были получены следующие результаты (табл. 48).

Т а б л и ц а 48

Необходимо установить, соответствуют ли полученные в опыте результаты ожидаемому отношению желтых к зеленым как 3:1. Исходя из теоретической предпосылки, ожидаемое отношение

Средняя ошибка этой разности

160

вую гипотезу нельзя; в данном случае имеется хорошее совпа­ дение опытных данных с ожидаемыми в Р2 по второму закону Менделя.

Оценка разности между эмпирическими и ожидаемыми частотами альтернатив по критерию хи-квадрат

признаков, можно использовать .критерий Пирсона % 2 (хи-квад- рат). Покажем это на только что рассмотренном примере. Ожи­ даемые и полученные в опыте с горохом отношения желтых се­ мян к численности зеленых нам уже известны. Разность между

разность в квадрат, полученный результат отнесем к ожидаемым частотам каждой альтернативы, т. е. к численности желтых и зеленых семян и, сложив полученные отношения, найдем вели­ чину критерия хи-квадрат:

Остается сравнить полученную в опыте величину % 2 с ее кри­ тическим значением для взятого уровня значимости (Р) и числа степеней свободы, которое при табличной группировке частот определяется по следующей формуле:

k= (г -1 ) (с -1 ),

где г обозначает число граф (столбцов), а с — число строк таб­ лицы, в которой помещены сравниваемые величины; при этом итоговые столбцы и строки таблицы в расчет не принимаются. В данном случае сравниваются две группы признаков — желтые и зеленые семена. Следовательно, число степеней свободы к — = 2—1 = 1. Этому числу для уровня значимости Р = 0,05 соответ­

Применим тот же критерий к оценке результатов дигибридного скрещивания двух сортов гороха, с которыми эксперимен­ тировал Мендель, сравним результаты расщепления признаков во втором поколении с ожидаемым отношением 9 : 3 : 3 : 1 (табл. 49).

Т а б л и ц а 49

Приведенные в табл. 49 ожидаемые частоты вычислены умноже­ нием 9/іб желых гладких, 3/іб зеленых гладких, 3/і6 желтых мор­ щинистых и '/іб зеленых морщинистых на 556, т. е. на общее число наблюдений. Так как в данном случае число граф равно 4, а число строк — двум, число степеней свободы /г=(4—1)(2—

—1) =3. Этому числу для Р = 0,05 соответствует %2Sf = 7,8. Видим, что %2 0 <%2 st, следовательно, нулевая гипотеза сохраняется; рас­ хождения между ожидаемыми и полученными в опыте данными носят чисто случайный характер.

Критерий хи-квадрат можно использовать и для оценки раз­ личных состояний одного и того же качественного признака, группируемых в таблицы разной конструкции. Например, при изучении эффекта от добавочного опыления подсолнечника были получены следующие результаты (табл. 50).

При таком расположении выборочных данных критерий хи-квад­ рат определяется по формуле:

162

блюдений. В данном случае критерий хи-квадрат, рассчитывае­ мый по указанной формуле, оказывается равным:

А2 4 4 X5 3 X 155X 142

Для уровня значимости Р = 0,05 и числа степеней свободы k = = (2—1)(2—1) = 1 критическое значение критерия %2st = 3,8 (см. табл. VIII приложений). Полученная в опыте величина это­ го критерия почти в пять раз превосходит его стандартное (кри­ тическое) значение, что отвергает нулевую гипотезу. Следова­ тельно, нужно признать, что влияние добавочного опыления на урожай подсолнечника — явление не случайное, а вполне зако­ номерное.

Расчет критерия хи-квадрат по формуле 89, как это видно из приведенного примера, часто связан с перемножением много­ значных чисел, что создает известные неудобства. Чтобы избе­ жать последних, можно изменить группировку выборочного ма­ териала и определить критерий хи-квадрат по формуле 72. Про­ демонстрируем это на том же примере. Расчет критерия хи-квадрат показан в табл. 51. Ожидаемые частоты (р') рассчи­ тываются по итоговым числам четырехпольной таблицы. На­

Х І42) : 297=116,7. Ожидаемая частота 27,7 найдена таким же способом: (53X155) : 297 = 27,7 и т. д. Остальные действия вид­ ны из табл. 51. Результат получился, как и следовало ожидать, тот же, т. е. % 2 = 18,85= 18,9.

Р

Как уже сообщалось, распределение хи-квадрат является непрерывным. Поэтому при использовании этого критерия для

оценки различий, наблюдаемых между фактическими и вычи­ сленными или ожидаемыми частотами дискретных величин, воз­ никают погрешности. На больших числах наблюдений эти по­ грешности существенного значения не имеют. На малочислен­ ных же группах они сказываются на величине критерия хи-квадрат, которая получается несколько завышенной. Чтобы избежать возможных неточностей при вычислении критерия хиквадрат на материале, группируемом в четырехпольную табли­ цу, в формулу 89 вносится поправка Йейтса на непрерывность:

(а + Ь) (с + d) (а + с) (b + d)

Эта формула обеспечивает более точные результаты, особенно на малочисленных выборках.

Применим эту формулу к рассмотренному выше примеру по испытанию действия эндотоксина на выживаемость облученных животных. Соответствующие данные приведены в табл. 46. Мы повторим их здесь для того, чтобы вместе с экспериментальными данными привести и их теоретически вычисленные значения (они заключены в скобки) (табл. 52).

Если вычислить критерий хи-квадрат для этих данных без по­ правки Йейтса, получается следующая величина:

то, что при использовании этой формулы берутся только абсолютные раз­ ности.

164

Нулевая гипотеза отвергается в обоих случаях, так как %2—і = 5,7>XS<2 = 3,8 для Р = 0,05 и k= (2—1) (2—1) = 1. Тем не менее поправка Йейтса, как видно из этого примера, гарантирует бо­ лее строгий вывод, который получается при сопоставлении фак­ тических и ожидаемых данных с помощью критерия хи-квадрат.

Результаты малочисленных наблюдений можно оценить и с помощью формулы 72, сопоставляя фактические данные с теоре­ тически вычисленными или ожидаемыми; причем величина кри­

*Р 1

Применительно к рассматриваемому примеру по испытанию дей­ ствия эндотоксина на выживаемость облученных животных рас­ чет критерия хи-квадрат по этой формуле показан в табл. 53. Полученная величина %2 = 5,67 = 5,7 совпадает с ранее вычислен­ ной по формуле 90.

Если же критерий хи-квадрат вычислить для этих данных по формуле 72, т. е. без внесения в нее указанной поправки, полу­ чается величина %2= 7,2, которая была получена нами по форму­ ле 89 (без поправки Йейтса на непрерывность).

Расчет и оценка среднего эффекта доз

В борьбе с вредителями сельскохозяйственных культур, при испытании лечебных препаратов, учете действия на организм токсических веществ и радиоактивных излучений и в других по­ добных случаях приходится решать задачи, связанные с уста­ новлением эффективности различных доз действующего агента. В этих случаях тоже обнаруживается индивидуальная измен­ чивость, когда на одну и ту же дозу или одинаковый по силе раздражитель особи реагируют по-разному и в результате полу­ чается целая гамма индивидуальных различий (вариаций), ко­ торые, как и морфологические признаки, распределяются в виде

165

вариационного ряда. Поэтому испытания доз, как правило, про­ водятся не на отдельных особях, а на их группах или совокуп­ ностях.

Задача сводится, таким образом, к определению и оценке среднего эффекта доз. Решать ее можно по-разному. В одних случаях, когда изучается действие одной какой-либо дозы, ре­ зультаты испытаний обрабатываются по альтернативной схеме («есть эффект — нет эффекта»). Так поступают, например, при проверке действия лекарственных веществ, оценке иммуноген­ ных свойств вакцин, действия на организм токсических и других факторов. В таких случаях возможны лишь два исхода, две альтернативы, поэтому обработка результатов наблюдений про­ водится тем или иным способом, описанным в этой главе.

По-иному приходится подходить к оценке серийных испыта­ ний, когда изучается действие не одной, а сразу нескольких доз. Такие задачи возникают, например, при установлении леталь­ ных доз действующего агента в практике борьбы с вредными на­ секомыми и в других подобных случаях. Решая такие задачи, экспериментатор должен испытывать разные дозы, а для этого необходимо всю совокупность подопытных особей разделить на соответствующее число однородных групп. При этом практиче­ ски невозможно испытать все дозы в интервале от максималь­ ной, не дающей эффекта, до минимальной дозы, дающей 1 0 0 % эффект (например, гибель всех подопытных животных). Обыч­ но исследователь ограничивается испытанием нескольких доз, число которых редко превышает 10.

Как же оценивать результаты серийных испытаний доз? От­ вет на этот вопрос подсказала сама практика. Поскольку еди­ ницей измерения служит доза вещества, то эффект целой серии доз оценивается по средней, т. е. такой дозе, которая вызывает эффект у 50% подопытных особей; эту дозу принято обозначать символом ED50. В тех случаях, когда под эффектом дозы пони­ мается летальный исход, т. е. имеется в виду доза, вызывающая гибель особей, ее обозначают символом LD. Средней летальной дозой называется доза вещества, или действующего агента, вы­ зывающая гибель 50% подопытных особей; она обозначается символом LD50.

Существует два основных способа определения среднего эф­ фекта доз — графический и аналитический. Мы остановимся лишь на описании графического способа, отсылая читателей, ин­ тересующихся более подробно оценкой эффекта доз, и в част­ ности аналитическими методами оценки, к специальным руко­ водствам, указанным в списке литературы (см. ниже).

Оценка по кривой эффекта

При серийном испытании различных доз действующего аген­ та задача сводится, собственно, к установлению зависимости

1G6

строго стабильных условиях, зависимость между дозой и числом положительных или отрицательных исходов выражается сигмо­

(Треван, 1927). По ней и определяется средняя доза, вызываю­ щая эффект у 50% особей.

Описываемый графический способ оценки, основу которого положил Беренс (1929), исходит из того, во-первых, что индиви­ дуальные реакции на внешние воздействия распределяются по нормальному закону, а во-вторых, кумулята, или 5-образная кривая эффекта доз, симметрична, и, следовательно, ее цент­ ральная точка, делящая весь ряд накопленных частот пополам, совпадает с центром распределения данного признака. Доста­ точно соединить эту точку перпендикулярами с осью абсцисс и с осью ординат, чтобы найти на оси абсцисс среднюю дозу эффекта. График строится так, чтобы на оси абсцисс отклады­ вались дозы испытываемого вещества, а на оси ординат — ре­ зультаты действия доз, выраженные в процентах от величины каждой дозы. При этом проценты эффективности доз вычисля­ ются по значениям накопленных частот, которые образуются кумуляцией результатов испытания различных доз в направле­ нии от меньших значений к большим. Описываемую методику легче уяснить из соответствующего примера. Представим, что испытывалась сила яда в дозах, рассчитанных в мг на 1 кг веса животных. Испытания проводились на 10 особях и учитывались по летальному исходу. Результаты опыта и их обработка при­ водятся в табл.54.

Данные табл. 54 наносим на график, откладывая на оси абсцисс дозы вещества, а на оси ординат — эффективность доз, выра­ женную в процентах. Соединяя между собой узловые точки в

167

месте пересечения перпендикуляров, получим график летальных исходов (рис. 20). Затем опускаем перпендикуляр на кривую кумуляты из точки, где У = 50%, после чего из точки пересечения первого перпендикуляра с кривой кумуляты опускаем перпенди­ куляр на ось абсцисс и найдем, что средняя доза эффекта рав­ няется 145 мгікг. В этой оценке можно не сомневаться, ибо кумулята занимает площадь, равную 100% исходов. Следователь­ но, половина ее проекции на оси абсцисс соответствует в сред­ нем той дозе, которая вызывает ожидаемый эффект у 50% под­ опытных животных.

Рис. 20. Кумулята летальных исходов в зависимости от дозы вещества:

на оси абсцисс — дозы вещества, на оси ординат — эффектив­ ность доз в процентах

Пробит-анализ

Описанный метод прост, когда он применяется для опреде­ ления средней дозы. Но для нахождения других доз эффекта, например LD65l или LD&0, сигмообразная кривая недостаточно удобна. Чтобы приспособить график для определения не только средней, но и любой другой дозы эффекта, необходимо преобра­ зовать сигмообразную кривую в прямую линию. Трансформация S-образной кривой в график прямолинейной зависимости дости­ гается следующим образом. На оси абсцисс откладываются не сами дозы, а их логарифмы. А на оси ординат вместо эффекта доз, выраженного в процентах, откладываются условные веро­

та в пробиты осуществляется с помощью специальной таблицы,

168

которая приведена в приложениях под № XIV. Количественный анализ, основанный на исследовании зависимости между лога­ рифмами доз и пробитами, соответствующими наблюдаемым в опыте эффектам, получил название прббит-анализа.

Т а б л и ц а 55

рассмотрен выше. В табл. 55 приведены дозы вещества и про­ центы их эффективности, а также преобразованные величины этих значений — логарифмы доз и пробиты. По этим дан­ ным строим график: на ось абсцисс наносим логарифмы доз, а на ось ординат — проби­ ты и находим связующие их точки в системе координат; че­ рез эти точки проводим пря­ мую линию так, чтобы эмпири­ ческие точки, если они не укла­ дываются на протяжении пря­

ния будет наиболее точно отображать закономерность, т. е. зави­ симость эффекта от дозы вещества.

Полученная описанным способом прямая позволяет интерпо­ лировать и LDso и другие дозы, интересующие исследователя. Например, для Ы )5о-эффекта, т. е. в данном случае гибели 50% подопытных животных, lgLZ>5o=2 ,160, что соответствует дозе вещества, равной 145 мг/кг (пробит 50% равен 5). На рис. 21 определение дозы по пробиту 5,0 показано пунктирными линия­ ми. На том же рисунке сплошными линиями показано определе­

практической работе, хотя он и не гарантирует во всех случаях высокую точность определений.

169