книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

.

одного признака на основе известных изменений другого, связан­ ного с ним корреляционно варьирующего признака. Таковы отли­ чительные черты регрессионного анализа, играющего важную роль в биометрии.

ЭМПИРИЧЕСКИЕ РЯДЫ РЕЕРЕССИИ

На больших выборках, чтобы выразить в виде регрессии по­ ведение одного признака в зависимости от изменений другого, приходится группировать выборочную совокупность в виде кор­ реляционной таблицы, как это делается и при вычислении пока­ зателей корреляции. Затем по значениям одного признака нужно рассчитать групповые средние другого признака, что и дает в ре­ зультате эмпирический ряд регрессии. Покажем методику постро­ ения эмпирических рядов регрессии на примере корреляции меж­ ду ростом (длиной тела) мужчин и окружностью их грудной клетки. Соответствующие данные, сгруппированные в виде кор­ реляционной таблицы, приведены в табл. 77 (по А. А. Малинов­ скому, 1948, с сокращениями). В этой таблице, включающей 727 случаев парных измерений мужчин, приведены и эмпирические ряды регрессии — Y по X (в крайнем справа столбце) и А по У (нижняя строка таблицы). Отдельные значения эмпирических рядов регрессии есть не что иное, как групповые средние ариф­ метические, вычисленные для каждой строки и каждого столбца корреляционной таблицы. Например, средняя у*= 81,5, что нахо­ дится сверху последнего столбца таблицы, получена следующим образом:

Групповые средние роста мужчин по окружности груди, пред­ ставляющие эмпирический ряд регрессии X по Y, рассчитаны тем же способом. Например, величина 155,8 что стоит первой в ниж­ ней строке таблицы, вычислена так:

1 X 154,5 + 2 X 156,5 , гго

Следующая за ней величина 158,0 получена в результате сле­ дующего расчета:

2 X 152,5 + 1 X 154,5 + 1 X 156,5 + 1 X 158,5 + ... ->

-<-...+ 2 X 162,5 + 1 X 164,5

158,0 и т. д.

8

228

Будучи нанесены на график, эмпирические ряды групповых средних ух и Ху выражаются в .виде эмпирических линий регрес­ сии (рис. 22).

Обычно, как это видно и на рис. 22, эмпирические ряды рег­ рессии, изображаемые графически, выглядят в системе координат в виде не плавно идущих, а ломаных линий. Причина этого явле­ ния заключается в том, что наряду с основными причинами, опре-

Рис. 22. Регрессия окружности груди по длине тела у мужчин:

на оси абсцисс — длина тела (рост) мужчин (см), на оси ординат — окружность груди (см). Прямые линии изображают теоретически вы­ численные линии регрессии X по У и У по X

деляющими главное направление регрессии, на ней сказывается влияние многочисленных второстепенных (случайных) факторов, нарушающих плавный ход линии регрессии. Отсюда возникает необходимость выравнивания эмпирических рядов и линий рег­ рессии, т. е. нахождение наиболее устойчивых, узловых точек ли­ нии связи, отображающих функциональную зависимость между переменными величинами X и Y при полной изоляции действую­ щих на нее случайных причин.

ВЫРАВНИВАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ РЯДОВ РЕГРЕССИИ

Под выравниванием подразумевается способ замены ломаной линии или ряда — регрессии, динамики, распределения — на плавно текущую, сглаженную линию, или освобожденный от ко­ леблющихся значений численный ряд. Существуют разные спосо­ бы выравнивания рядов.

229

Графический способ

Наиболее простым, не требующим вычислительной работы, является способ графического выравнивания эмпирических рядов и линий регрессии. Сущность его проста. После того как эмпири­ ческий ряд нанесен на график— в виде ломаной линии, или в ви­ де отдельных точек, соответствующих групповым средним, на глаз, определяются срединные точки линии регрессии, которые затем соединяются при помощи линейки или лекала сплошной линией или пунктиром, в результате чего и получается выравнен­ ная линия регрессии.

Недостаток этого способа заключается в том, что он не исклю­ чает влияние индивидуальных свойств исследователя на резуль­ таты выравнивания. Поэтому там, где требуется большая точ­ ность выравнивания рядов, этому способу предпочитают другие.

Способ скользящей средней

Более точные результаты получаются при выравнивании эмпи­ рических рядов последовательным исчислением средних арифме­ тических из двух или трех соседних значений ряда. Например, имеются следующие данные о возрастных изменениях веса дете­ нышей гамадрилов:

стоящих за первым: 1,0+1,6+1,4 = 4,0. Далее берем сумму дру­ гих последующих значений: 1,6+ 1,4+1,9 = 4,9 и так до конца ря­ да. Проделав эту операцию, делим каждую полученную сумму на число слагаемых, т. е. на 3, и находим усредненные значения ряда: 1,1 1,3 1,6 1,8 и 2,2.

Способ скользящей средней прост и особенно удобен в тех слу­ чаях, когда эмпирический ряд представлен многим числом членов и потеря двух из них (крайних) заметно не сказывается на его общей структуре. Ценность этого способа заключается также в том, что он позволяет себя модифицировать: усредненные величи­ ны можно получать из двух, трех и большего числа членов эмпи­ рического ряда.

Способ наименьших квадратов

Из всех способов выравнивания эмпирических рядов наиболее точным является способ наименьших квадратов, предложенный Гауссом в 1806 г. В основу этого способа положено требование, чтобы сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме­ тической была наименьшей, т. е. 2(г/< — г/)2 = тіп . Отсюда и на­ звание метода.

230

Регрессионный анализ тесно связан с методом наименьших квадратов. При решении конкретных задач применение этого способа сводится к следующим практическим операциям:

1.Исходя из геометрического места точек двух переменных А

иУ, подбирается соответствующее математическое уравнение, возможно полнее отображающее существующую между ними за­ висимость. Этот вопрос решается путем логического анализа фактического материала, посредством группировки его в эмпи­ рические ряды. Более наглядное представление о форме суще­ ствующей зависимости между переменными А и Y дает графиче­ ское изображение эмпирических рядов.

2.В исходное уравнение подставляют соответствующие эмпи­ рические данные, образуя систему нормальных уравнений.

3.Решая совместно полученные уравнения, определяют их параметры.

4.Подставив значения параметров в общее уравнение, полу­ чают эмпирическое уравнение регрессии, выражающее функцио­

нальную зависимость между переменными X и Y.

5. Подставляя в эмпирическое уравнение значение перемен­ ной X, находят соответствующие (ожидаемые) средние значения другой переменной величины У. Таким способом получают сгла­ женный ряд регрессии У по А. А подставляя в уравнение значе­ ния У, можно рассчитать ряд регрессии X по У.

Способ наименьших квадратов имеет широкое применение в области статистического анализа массовых явлений.

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Как уже сообщалось, для математического выражения связи

уравнения, более или менее полно выражающая функциональную зависимость средней величины одной переменной (ух) от значе­ ний другой переменной величины А. Такого рода математические уравнения называются корреляционными или, как их впервые на­ звал Ф. Гальтон, регрессионными уравнениями. Корреляционные уравнения или уравнения регрессии позволяют аналитически оп­ ределять ожидаемые (средние) значения одного признака по за­ данным числовым значениям другого, сопряженного с ним приз­ нака.

Зависимость между биологическими признаками может быть самой разнообразной. В большом числе случаев эмпирические регрессии выражаются простым уравнением линейной зависи­ мости:

Здесь ух — групповая средняя арифметическая, или ожидаемое значение переменной У, соответствующее заданному значению

231

переменной X; а и Ъ— параметры уравнения; а служит свобод­ ным членом, а b является показателем пропорциональности, на­ зываемым коэффициентом регрессии.

Для определения параметров а и &применяется система нор­ мальных уравнений:

Чтобы составить такую систему по п объему парных наблюдений или по числу членом эмпирического ряда регрессии, необходимо предварительно определить значения следующих величин: 2 г/, 2х, Хху и 2х2. В качестве примера воспользуемся результатами 20 наблюдений об изменчивости веса новорожденных гамадри­ лов (У) в зависимости от веса их матерей (J), в начале беремен­ ности (см. табл. 56) В табл. 57 находим нужные нам величины: 2г/ = 14,06; 2х = 237,4; Хху = 167,939 и 2х2 = 2861,60. Предполагая линейную зависимость между переменными X и У, составляем систему нормальных уравнений:

Решая совместно эти уравнения, находим: а = 0,283 и Ъ = 0,03543. Откуда получается следующее корреляционное уравнение веса детенышей (ух) по весу их матерей (х):

ух = 0,03543х + 0,283.

Подставляя в это уравнение вместо х конкретные значения (вес самок-гамадрилов, выраженный в кг), можно определить сред­ ний ожидаемый вес новорожденных детенышей животных этого вида. Именно:

член уравнения линейной функции а = у—Ьх, или соответственно

а = х — by, где

232

Эти формулы, полученные из совместного решения системы нор­ мальных уравнений, значительно облегчают вычислительную ра­ боту при определении параметров а и Ь, особенно на больших вы­ борках и при наличии многозначных числовых значений корре­ лированных признаков.

Воспользуемся этими формулами и найдем эмпирическое \равнение регрессии окружности груди (У) по длине тела (X) мужчин по данным табл. 77. Предварительно рассчитаем вспомо­ гательные величины Пу, Их, Пху, Их2 и Пу2, а также и некоторые другие величины, которые потребуются нам в дальнейшем. Рас­ чет приводится в табл. 78.

Т а б л и ц а 78

2437,5 1263,9 205669,55 397213,75 106578,53 1263,9 — 75,0960

х = 162,247; г/ = 84,26; 2 = 26323,9917; 1/2 = 7099,7476

233

По итоговым данным этой таблицы находим:

Вычисленные по этому уравнению групповые средние (ух),

т.е. выравненный ряд регрессии окружности груди (F) по росту

(^)мужчин, приводятся в шестом столбце табл. 78. Видно, что

вычисленные значения ух хорошо согласуются с фактически полу­ ченными значениями у эмпирического ряда. Более наглядное представление дает рис. 22, на котором вместе с колеблющимися эмпирическими линиями нанесены и теоретически вычисленные прямые линии регрессии Y по X и X по Y.

На рис. 22 обращает на себя внимание тот факт, что линии регрессии пересекаются, образуя угол. Этот угол может быть и большим и малым, что зависит от степени сопряженности между признаками: чем сильнее связь, тем меньше этот угол, и, наобо­ рот, чем слабее корреляция между признаками, тем больше бу­ дет и угол, образуемый пересечением линий регрессии в системе координат. При г = 0, т. е. при полном отсутствии связи между признаками, линии регрессии пересекаются под прямым углом, а при г —\, т. е. при наличии функциональной зависимости между признаками, линии регрессии совпадают друг с другом. Линии регрессии пересекаются в точке, соответствующей величинам средних арифметических обоих признаков.

Дополнительно к графическому изображению регрессии мож­ но определить меру линейности у=г|2—г2 регресси в системе координат. При г= 0, т. е. при полном отсутствии связи между признаками, линии регрессии пересекаются под прямым углом, а при г —1, т. е. при наличии функциональной зависимости меж­ ду признаками, линии регрессии совпадают друг с другом. Линии регрессии пересекаются в точке, соответствующей величинам средних арифметических обоих признаков.

Дополнительно к графическому изображению регрессии мож­

между окружностью груди и ростом мужчин. Воспользуемся данными таблицы 78 и рассчитаем квадраты корреляционного отношения и коэффициента, корреляции. Последний определим по формуле 101, придав ей следующий вид:

234

Предварительно находим суммы квадратов отклонений:

ѵ0,037

подтверждается первоначальное предположение о линейности регрессии окружности груди у мужчин по длине их тела (росту).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ РАВНООТСТОЯЩИХ ЗНАЧЕНИЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Уравнение линейной регрессии (120) можно представить в виде отклонений вариант от средних арифметических:

Ух У — Ьу / х ( %і X ) ИЛИ Х у X — Ь х / у ( У і У ) .

Эти уравнения показывают, что отклонения вариант от средней по одному ряду (У) сопровождаются отклонениями вариант от их средней по другому ряду (X ) регрессии, а коэффициент b характеризует величину изменения одной переменной (У) при из­ менении другой (X).

235

В таком случае систему нормальных уравнений (121) молено представитъ в следующем виде:

2 г/ = па -f- 62 (Хі — х ) — первое уравнение,

2хг/ = а2 (хі — х) + 62х2 — второе уравнение.

нивания эмпирических рядов регрессии при наличии равноотсто­ ящих значений одной из переменных величин. Они особенно цен­ ны при выравнивании рядов динамики, когда изменения призна­ ка учитываются через равные интервалы или промежутки времени. В таких случаях равноотстоящие значения независимой переменной X выражаются числами натурального ряда («откло­ нениями»), идущими от центра ряда динамики в оба его конца;

ряда —1, —3, —5, ..., и +1, +3, +5, ... Порядковые числа («от­ клонения») со знаком минус идут в сторону меньших, а со знаком плюс в сторону больших значений регрессии.

Покажем применение этого способа на следующем примере. Наблюдения над развитием группы детенышей макаков-резусов показало’, что их вес на протяжении первого года жизни изменя­ ется следующим образом:

Если нанести эти данные на графики, можно убедиться в нали­ чии линейной зависимости между ними. Найдем эмпирическое уравнение этого ряда динамики. Расчет вспомогательных значе­ ний 2 у, 2 ху, и 2х2 приведен в табл. 79.

По итогам табл. 79 находим параметры:

Отсюда эмпирическое уравнение регрессии У по У оказывает­ ся следующим: ух= 1,20+ 0,0532 х. Ожидаемые значения веса де­ тенышей. (ух) поих возрасту рассчитываются так: г/ж=1,20 + + 0,0532 (—11) = 1,20-0,5882 = 0,6118 = 0,61 и т. д. Значения приведены в последнем столбце табл. 79. •

236