книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

ду весом (У) и годовым удоем (X) коров горбатовской породы, который мы рассматривали при вычислении коэффициента кор­ реляции.

Способ произведений

Группировка выборки в вариационные ряды и в виде корре­ ляционной таблицы произведена выше, на этом останавливаться не будем. Начнем с расчета частных средних и других вспомога­ тельных значений, нужных для определения корреляционного отношения X по У (табл. 68). Напомним, что частные средние Ух и Ху — это суммы произведений частот, помещенных в клетках корреляционной таблицы на соответствующие значения классо­ вых вариант, отнесенные к сумме частот данного класса по дру­ гому ряду распределения. Например, средняя 5:^= 2125,0 получе­ на умножением частот, находящихся в клетках первого столбца, считая слева направо, на соответствующие значения классовых вариант ряда X с последующим делением суммы на ру= 2, т. е.

1 X 1675+ 1 X2575 Ху==--------------------------- = 2125,0 и т. д.

Затем вычитаем хѵ—х=2125,0—2228,5 = —103,5 и т. д. Знаки можно не учитывать, так как разность возводится в квадрат и все значения получают положительный знак. Дальнейшие дейст­ вия понятны из табл. 68.

Подставляя найденные величины в формулу, находим корре­

Вдостоверности этой величины не приходится сомневаться. Таким же путем определяем корреляционное отношение веса

коров по их удою, т. е. У по X (расчеты вспомогательных значе­

ний предлагается произвести самому читателю), которое оказы-

I _0 337

вается равным 0,580 с ошибкой тпѵх — ----- ■— = 0,066, отку-

ую о

да критерий t = -2—- = 8,79. 0,066

Найденные величины коэффициентов корреляционного отно­ шения— т)*/ѵ =0,608 ±0,063 и Цуіх= 0,580 ±0,066 — свидетельству­ ют о заметной связи между весом коров и их годовым удоем.

202

Способ условных средних

Кроме основного способа произведений корреляционное отно­ шение определяется упрощенным способом, когда отклонения классовых вариант берутся не от средних арифметических, а от условных средних А х и А у. В таком случае коэффициенты корре­ ляционного отношения вычисляются по следующим аналогичным формулам:

где «ж и аѵ— отклонения классовых вариант от условных средних, отнесенные к величинам классовых интервалов, т. е. ах= (х—

—Ах) : іх и ау= (у—А у) : іу; они выражаются порядковыми чис­ лами натурального ряда, т. е. как 1, 2, 3, 4, 5 и т. д; рху — частоты,

весом (У), который рассматривался выше. Расчет вспомогатель­ ных значений показан в табл. 69. В данном случае все действия с числами настолько понятны, что не требует дополнительных разъяснений. Пользуясь найденными значениями, находим снача­ ла суммы квадратов отклонений:

= 865-47,61 = 817,39.

Затем определяем коэффициенты корреляционного отношения:

203

Продолжение табл. 68

ч ft,

f t,

Как и следовало ожидать, получился тот же результат, что и вы­ ше. Описанный способ прости удобен тем, что позволяет на одной и той же корреляционной решетке определять оба коэффициента корреляционного отношения.

Способ суммирования

Также довольно просто корреляционное отношение определя­ ется по способу суммирования. Частные и общие суммы квадра­ тов, обозначаемые символами Dx/y и D, определяются по следую­ щим формулам:

величины вычитается меньшая) — разность между суммами пер­ вого неполного ряда накопленных частот; S2 = 2i + 2 2 + 2(23 + + 2U) — объединенная сумма накопленных частот первого и вто­ рого неполных рядов. Эти значения, как и сам метод, проще раскрываются на конкретных примерах. В табл. 70 приведен рас­ чет вспомогательных значений, необходимых для определения корреляционного отношения веса (У) коров горбатовской поро­ ды по их удою (X). Две самые нижние строки этой таблицы со­ держат неполные ряды накопленных частот с их суммами — 2] =68, 22 = 183 и 2 3 = 71, 2 4 = 324, образуемые кумуляцией час­ тот с противоположных концов вариационного ряда в направлении к условной средней А = 332,5. Крайние справа столб­ цы содержат произведения частот (рху), что расположены в клетках корреляционной решетки, на соответствующие отклоне­ ния классовых вариант (или классов) от условной средней А, где а = 0. Эти отклонения возводятся в квадрат и относятся к частотам рх, полученные результаты суммируются, в итоге ока­ зывается величина Ьу.

Закончив расчеты, связанные с корреляционной таблицей, определяем первую (Si) й вторую (S2) вспомогательные величи­

S2

Dvix = 2 bx ------ = 438,52 - 132,25 = 306,27;

П

208

s 9

Dy — S2 ----- - = 1041 — 132,25 = 908,75, откуда n

Конечно, не обязательно в каждом случае рассчитывать оба коэффициента корреляционного отношения: в зависимости от задачи исследования можно ограничиваться вычислением и од­ ного из этих показателей.

ПОКАЗАТЕЛЬ ЛИНЕЙНОСТИ СВЯЗИ

Поскольку коэффициент корреляции характеризует только линейную связь, а корреляционное отношение — любую форму связи, то при строго линейной зависимости между переменными X и У должно осуществляться равенство, во-первых, между коэф­ фициентами корреляционного отношения ч\ѵ/х= ч\*/„, а во-вторых, между корреляционным отношением и коэффициентом корреля­ ции, т. е. г]=г. При наличии же нелинейной связи г\у/хФг\х/у и цфг. Следовательно, по разности между этими показателями можно судить о форме корреляционной зависимости между варь­ ирующими признаками. В качестве показателя линейности связи, обозначаемого греческой буквой у («гамма»), используется раз­ ность между квадратами корреляционного отношения и коэффи­ циента корреляции, т. е.

Выборочная ошибка этого показателя определяется по следу­ ющей приближенной формуле:

209

1

Критерием достоверности показателя у служит его отношение

Y

к своей ошибке — ty = — . При /7 < 3 корреляция между приз-

тѵ

наками оценивается практически прямолинейной. В более ответ­ ственных случаях оценки за прямолинейную принимают корреля­ цию при /7 <2,5.

Найдем величину этого показателя для корреляции между весом коров горбатовской породы и их годовым удоем: у = 0,582— —0,5272 = 0,3364—0,2777 = 0,0587.

Это значит, что связь между удоем и весом коров практиче­ ски можно считать линейной.

Другой результат получается при оценке связи между весом самок павианов-гамадрилов и возрастом, в котором у них насту­ пает первый половой цикл. Корреляционное отношение веса по возрасту %/ж= 0,85, а г = 0,25. Отсюда у = 0,852—0,252 = 0,7225— —0,0625=0,66. Ошибка этого показателя —

но, имеются основания считать зависимость между этими призна­ ками заметно отклоняющейся от прямолинейной.

214

КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ КАЧЕСТВЕННЫМИ ПРИЗНАКАМИ

Когда признаки не поддаются измерению и не распределяют­ ся в вариационный ряд, корреляция между ними устанавливает­ ся по наличию одного или нескольких признаков в зависимости от наличия других альтернативных признаков, учитываемых в эксперименте.

Коэффициент ассоциации

Если учитываемые признаки группируются в четырехклеточ­ ную корреляционную решетку, степень сопряженности между ними измеряется с помощью коэффициента ассоциации Дж. Юла, называемого также тетрахоричеоким показателем связи (Плохинский, 1960) и обозначаемого символа га. Он вычисляется по фор­ муле

ad — be

(П5)

У (а + Ь) (с + d) (а + с) (b + d)

где а, Ь, с и d — численности альтернативных признаков, распо­ ложенные в клетках корреляционной таблицы.

Например, от скрещивания серого самца плодовой мушкидрозофилы, имевшего нормальные крылья, с черной самкой того же вида, у которой были рудиментарные крылья, все потомство первого поколения оказалось одинаковым (нормальным). При скрещивании же гибридной самки первого поколения с черным самцом, имевшим рудиментарные крылья, в потомстве оказались мухи:

Необходимо выяснить, существует ли связь между черной ок­ раской тела и рудиментами крыльев у дрозофилы. Для решения этой задачи полученные в опыте данные группируем в четырех­ польную таблицу (табл. 72).

215