книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Нулевая гипотеза остается; данное распределение следует счи­ тать нормальным.

Если тем же способом оценить достоверность выборочного коэффициента асимметрии ряда распределения фасоли по весу

нулевая гипотеза не сохраняется; это распределение имеет пра­ востороннюю асимметрию.

Минуя вычисление средних квадратических отклонений пока­ зателей асимметрии и эксцесса, последние можно оценить по спе­ циальным таблицам, которые приводятся в приложениях под N° XI и XII. Если выборочные показатели асимметрии и эксцесса превосходят критические (стандартные) значения, приведенные в таблицах или равны им — для принятого уровня значимости и

/ls = 0,567 (см. табл. XI приложений). Так как Лхф<Лх5г, нулевая гипотеза остается. Что касается /Is = 0,57 распределения фасоли по весу семян, то в этом случае критический уровень для п = 200 и Р = 0,01 равняется 0,403. Видно, что + ^ > / ls st— что опроверга­ ет нулевую гипотезу и подтверждает вывод о наличии положи­ тельной асимметрии у этого распределения. Таким же образом оценивается и Ех = —0,05 распределения кальция (мг%) в сыво­ ротке крови обезьян. В табл. XII приложений для я=100 и Р = = 0,05 находим Ел+;=0,834. Поскольку ЕХф<Ел+, нулевая гипо­ теза сохраняется.

Опричинах асимметричных распределений

Внормальном законе находит свое выражение одна из форм проявления симметрии в живой природе, рассматриваемой на по­ пуляционном уровне. Поэтому отклонения от этого закона могут указывать на постоянно или временно действующие причины, вы­ зывающие отклонения от «естественной нормы». Кетле и Гальтон

полагали, что биологические признаки распределяются по нор­ мальному закону. Многочисленные наблюдения как будто бы подтверждали это. Но вскоре Пирсон показал, что существует не один, а несколько типов распределения биологических призна­ ков. Возникла необходимость выяснения причин асимметричных и эксцессивных распределений.

Первая попытка дать научно обоснованный ответ на этот во­ прос принадлежит датскому ученому В. Иогансену (1903).

130

Характеристики этого распределения оказались: х = 394,0 мг; я=41,6 мг\ С1/ = 10,6% и Лх=+0,56. Видно, что перегруппировка вариант сильнее сказалась на величине коэффициента асиммет­ рии и совсем незначительно на других характеристиках ряда. Из приведенных примеров видно, что асимметрия действительно мо­ жет быть кажущейся, возникающей по чисто техническим причи­ нам как следствие группировки совокупности наблюдений в ва­ риационный ряд. Вместе с тем асимметрия может иметь и не случайный, а систематический характер, являясь следствием гетерогенности выборочного материала. В литературе имеются указания на то, что асимметрия и эксцесс могут возникать не только при смешении генетически неоднородного материала, но и вследствие модифицирующих влияний условий среды, в кото­ рых существует популяция. В частности, асимметрия в распреде­ лении некоторых признаков у сельскохозяйственных растений вызывается такими условиями, как засуха и невыравненность агрофона в отношении питания растений (Иогансен, 1933; Кон­ стантинов, 1952 и др.). В качестве примера приводим данные, по­ казывающие, как при прочих равных условиях изменяются ха­ рактеристики распределения озимой ржи по длине колосьев в за­ висимости от густоты стояния растений в посевах этой культуры |табл. 34).

Т а б л и ц а 34

С уплотнением массы растений на единице площади умень­ шается средняя длина колосьев, и параллельно с этим увеличи­ вается значение коэффициента асимметрии.

Итак, отклонения от нормального распределения могут быть вызваны разными причинами. По-видимому, не всегда эти при­ чины носят случайный или временный характер. Многие факты говорят о том, что в отношении ряда изученных признаков асим­ метрия является неотъемлемым атрибутом их варьирования. Та­ кого рода отклонения от кривой нормального распределения мо­ гут служить показателем величины тех изменений, которые признак претерпевает в процессе своего развития. Разумеется, помогая исследователю характеризовать ту или иную форму рас­ пределения, биометрия не претендует на причинный анализ асим­ метрии и других отклонений от нормального закона. Она лишь может указывать, в каком направлении следует вести биологиче­

232

ский анализ для того, чтобы вскрыть биологическую природу асимметричных распределений.

ОЦЕНКА ЭМПИРИЧЕСКИХ РЯДОВ ПО НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ

Оценка закона распределения довольно просто и с достаточ­ ной точностью достигается путем нахождения теоретических час­ тот по частотам эмпирического вариационного ряда, с последую­ щим сопоставлением эмпирического и вычисленного рядов друг с другом. Нахождение теоретических частот вариационного ряда по тому или иному закону распределения вероятностей носит на­ звание выравнивания эмпирических распределений. Будучи вы­ ражен в графической форме, эмпирический вариационный ряд выглядит обычно не в виде плавной, а ломаной вариационной кривой. Отсюда возникает необходимость выравнивания таких рядов и кривых распределения с тем, чтобы освободить их от всего случайного, выявить основную тенденцию варьирования и вместе с тем закон распределения.

Для нахождения теоретических частот вариационного ряда по нормальному закону Гаусса — Лапласа служит следующая рабо­ чая формула:

где р' — вычисленная или теоретическая частота; п —-сумма всех частот, т. е. объем эмпирического вариационного ряда; і — вели­

нормированного отклонения, значения которой (ординаты нор­ мальной кривой) приведены в табл. II приложений.

Таким образом, для нахождения теоретических частот эмпи­ рического вариационного ряда достаточно значения вероятности, соответствующие нормированным отклонениям частот эмпириче­

ского ряда умножить на - ^ 1. Продемонстрируем эту методику

о

на примере распределения 267 датских угрей по числу позвонков. Средняя арифметическая этого ряда 114,74 позвонков, а 0 = 1,35 позвонков. Для получения теоретических частот этого распреде­ ления нормируем его, т. е. находим отклонения вариант от их средней арифметической, выражая каждое отклонение в долях среднего квадратического отклонения (табл. 35).

Затем из табл. II приложений выписываем ординаты нормаль-

X — X

ной кривой для каждого значения t = ------- эмпирического рас-

0

пределения. Перемножая значения ординат на величину п Х і»

вычисленные частоты данного распределения (см. последнюю гра-

Рис. 17. Эмпирическая и выравненная по нормально­ му закону кривые распределения 267 датских угрей по числу позвонков:

на оси абсцисс — количество позвонков, на оси ординат — частоты

фу табл. 35). Из табл. 35 видно, что вычисленные и эмпирические частоты в общем неплохо согласуются между собой, что более наглядно показано на рис. 17.

Описанный способ применяется и к расчету теоретических частот непрерывно варьирующих признаков, с предварительным превращением интервальных вариационных рядов в ряды дис-

134

кретных распределений. Покажем это на примере распределе­ ния кальция (мг%) в сыворотке крови павианов-гамадрилов с его характеристиками: ж = 11,9 мг% и о=1,2 мг%. В данном слу-

В данном случае также обнаруживается довольно хорошее сов­ падение эмпирических частот с вычисленными частотами вариа­ ционного ряда, что служит основанием считать его соответству­ ющим нормальному закону.

ОЦЕНКА ЭМПИРИЧЕСКИХ РЯДОВ ПО ЗАКОНУ ПУАССОНА

В общем по той же методике, что описана выше, но еще более просто, определяются теоретические частоты тех эмпирических распределений, которые следует закону Пуассона. Для этого не­ обходимо воспользоваться таблицей Пуассона (см. приложения

ат

табл. III), в которой помещены значения — е~а ,входящие в co­ rn!

став формулы, определяющей функцию распределения редких событий. Зная среднюю (ж) эмпирического распределения, по указанной таблице находят вероятности, соответствующие значе­ ниям т : 0, 1, 2, 3 и т. д. Затем вероятности умножаются на общее число наблюдений (п) . В результате получаются вычисленные или теоретические частоты (р') для каждого т.

Продемонстрируем эту методику на примере распределения поражаемости клеток альфа-частицами по данным, приведенным в табл. 22 (пятая глава). Средняя арифметическая этого распре­

135

деления я = 1,54. Расчет теоретических частот показан в следую­ щей табл. 37.

Т а б л и ц а 37

Видно, что вычисленные частоты довольно хорошо согласуются с распределением эмпирических частот этого ряда. Следователь­ но, есть достаточные основания считать, что в данном случае час­ тота поражаемое™ клеток альфа-частицами распределяется по закону Пуассона.

КРИТЕРИИ СООТВЕТСТВИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Критерий хи-квадрат (х2)

Статистическая оценка расхождений, наблюдаемых между эмпирическими и теоретическими или ожидаемыми частотами вариационного ряда, производится с помощью особых критериев соответствия, называемых также критериями согласия. Одним из таких критериев, широко используемых в биометрии, является критерий X2 (хи-квадрат), предложенный Пирсоном в 1901 г. Он представляет сумму квадратов отклонений эмпирических частот от частот теоретачееких, отнесенную к теоретическим частотам вариационного ряда, т. е.

(р — р' ) 2

%2 = 2 U- nf L - t (72)

Р

где р — эмпирическая, а р' — соответствующая теоретическая,

т.е. вычисленная, или ожидаемая, частоты, 2 — знак суммы. Обозначив разность между эмпирическими и теоретическими

136

Для нахождения величины критерия хи-квадрат необходимо: 1) по каждому классу вариационного ряда найти разницу между фактическими и вычисленными частотами, т. е. р — p' = d; 2 ) возвести разницу в квадрат (d2) и отнести к вычисленным час­ тотам (р') для каждого класса и 3) суммировать полученные от-

/ d 2 \

ношения^__j для всех классов вариационного ряда — это и

будет величина хи-квадрат. Так как отклонения эмпирических частот от частот вычисленных возводятся в квадрат, то величина критерия хи-квадрат всегда положительная. Поэтому при уста­ новлении разности р — p' = d знаки можно не учитывать.

Если 2 (р —р') =0, то %2=0, что указывает на полное соот­ ветствие фактических частот вычисленным частотам вариацион­ ного ряда. Если же критерий хи-квадрат не равен нулю, это может указывать на несоответствие фактических частот вычис­ ленным частотам данного вариационного ряда. В таких случаях нужно оценить величину критерия хи-квадрат, которая теорети­ чески может изменяться от 0 до оо. Оценка значимости критерия хи-квадрат производится с помощью специальной таблицы, при­ веденной в приложениях под № VIII. В этой таблице содержат­ ся критические (стандартные) значения критерия хи-квадрат для трех уровней доверительной вероятности и разных чисел степе­ ней свободы, которые берутся по правилам, указанным ниже.

Если % нулевая гипотеза сохраняется, т. е. оправдывается предположение, что расхождение между фактическими и теорети­ ческими или ожидаемыми частотами носит исключительно слу­ чайный, а не систематический характер. В противном случае, т. е. ПРИ Уф2^ :Г) н у л е в а я гипотеза отвергается. Таким образом с помощью критерия хи-квадрат выясняется, соответствует ли эм­ пирическое распределение тому закону, по которому вычислены теоретические частоты ряда.

Распределение вероятных значений случайной величины %2 является непрерывным и ассимметричным (рис. 18); оно зави­ сит от числа степеней свободы (k) и приближается к нормаль­ ному распределению по мере увеличения числа наблюдений

(п). Поэтому применение это­ го критерия для оценки дис­ кретных распределений сопря­ жено с некоторыми погрешно­ стями, которые особенно сильно сказываются на малочислен­ ных выборках В силу отмечен­ ных особенностей показателя­ ми правильного применения

137

критерия хи-квадрат считается наличие в выборке достаточного числа вариант и чтобы в крайних классах сравниваемых распре­ делений имелось минимально допустимое количество теоретиче­ ских частот. Обыкновенно не рекомендуется, чтобы число вари­ ант в крайних классах теоретически рассчитанного ряда было меньше 5. Однако по данным Ван дер Вардена, исследовавшего этот вопрос, количество вариант в крайних классах вариационно­ го ряда следует связывать с числом ступеней свободы следую­ щим образом:

При наличии в крайних классах теоретически вычисленных час­ тот меньше указанного количества следует объединить теоретиче­ ские частоты смежных классов так, чтобы выполнялись требова­ ния Ван дер Вардена. Соответственно объединяются и частоты крайних классов эмпирического вариационного ряда. Число сте­

ного ряда. Чтобы получились достаточно надежные результаты, общее число наблюдений (п), распределяемых в вариационный ряд, должно быть не менее 30.

Так как точность вычисления величины критерия хи-квадрат в значительной мере зависит от точности самих значений р', при установлении разности р —p' = d следует пользоваться неокруг­ ленными теоретическими частотами (р' ). Следует также иметь в виду, что критерий хи-квадрат не применим к частотам, выра­ женным в процентах, долях единицы, т. е. в относительных еди­ ницах измерения.

138

Продемонстрируем применение критерия хи-квадрат на при­ мерах. Воспользуемся данными табл. 35 и вычислим критерий хи-квадрат для распределения датских угрей по числу позвонков, имея в виду гипотезу о нормальности этого распределения. Ход

VIII находим Xst2=11,1. Так как фактическая величина критерия

степеней свободы, нулевая гипотеза сохраняется; небольшие рас­ хождения между частотами эмпирическими и вычисленными по нормальному закону следует признать случайными.

Применим тот же критерий к оценке эмпирического ряда рас­ пределения числа клеток, пораженных альфа-частицами. Теоре­ тические значения частот этого ряда приведены в табл. 37. Расчет критерия хи-квадрат показан в следующей табл. 39.

Т а б л и ц а 39

2

В данном случае %ф=8,Ъ2. Для Р = 0,95 и числа степеней свобо­ ды k = tii — 2 = 7—2 = 5 по табл. VIII находим %si2= 11,1. Посколь­

ку X(f)<%st >нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. На этом осно­ вании следует заключить, что данное распределение следует за­ кону Пуассона.

Критерий хи-квадрат можно использовать и для сравнения друг с другом двух однородных эмпирических распределений, т. е. таких, у которых одни и те же границы классов. Критерий хи-квадрат в таких случаях определяется по формуле

139