книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

или групповые средние арифметические; х — общая средняя объ­ единенных групп; o f — частные, или групповые,-дисперсии.

Эта формула показывает, что объединенный средний квадрат (а*2) суммарной совокупности равен средней из групповых дис­ персий плюс дисперсия групповых средних. Применим эту фор­ мулу к анализу следующих данных (табл. 16).

Т а б л и ц а 16

В табл. 16 паказано варьирование продолжительности беремен­ ности у павианов-гамадрилов в зависимости от числа родов. Общая средняя продолжительности плодоношения, вычисленная по этим данным, х = 172,39 дня. Рассчитаем величину общей дис­ персии и среднее квадратическое отклонение по срокам плодоно­ шения у павианов-гамадрилов. Расчет необходимых значений показан в табл. 17, Подставляя эти значения в формулу 39, нахо­ дим:

Os = У33,68 = 5,80 дней

В аналогичном значении формул 38 и 39 нетрудно убедиться, если рассчитать объединенный средний квадрат для этих данных по формуле 38. Так, средний квадрат из отклонений групповых средних от общей средней с учетом «весов» отдельных групп (Пі), т. е. межгрупповая дисперсия:

2 Ъщ {хі — х )2

17X5,71 + 20X1,93 + 16X0,15 + 17X0,37 + ,. + 5X2,59301*

103

364,4 _

3,538.

103

70

Взвешенная средняя из групповых дисперсий:

—2 2 (ttiGi ) ^ Gz==Z Srti ~

= 17 X 63,3 -f- 20 X 26, Г + ... + 5 X 55,5_ 3102,9 =

откуда общая дисперсия комплекса —

Оу = 3,538 + 30,125 = 33,66 дня или о = У33,63 = 5,80 дней.

Аналогичные, но несколько заниженные результаты получа­ ются при вычислении дисперсии суммарной совокупности по сле­ дующей приближенной формуле:

Еще более низкие результаты дает формула, нередко встречаю­ щаяся в биометрических руководствах:

П — V

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ

Способ произведений

Для небольшого числа наблюдений, не сгруппированных в вариационный ряд, среднее квадратическое отклонение можно

71

вычислить по общей формуле 35. В таких случаях сначала нахо­ дят отклонения каждой варианты от средней арифметической, т. е. значения хі—х = аи х2—х = а2, х3—х — а3 и т. д., а затем каж­ дое отклонение возводится в квадрат, и если варианты повторя­ ются, то квадраты отклонений от средней умножаются на их час­ тоты и результаты суммируются. Полученная величина 2р(хг—

—х ) 2 относится к общему числу наблюдений, которое берется числом степеней свободы (п—1), и из частного извлекается квад­ ратный корень.

Для примера возьмем небольшую группу наблюдений и рас­ считаем указанным способом среднее квадратическое отклоне­ ние. У девяти лиц одного пола и возраста определялось содержа­ ние гемоглобина в крови. Анализы (по Сали) дали следующие результаты: 74 70 77 72 79 88 76 80 86. Средняя арифметическая * = (74 + 70+ 77+ 72 + 79 + 88 + 76 + 80 + 86) : 9= 702 : 9 = 78. Нахо­ дим отклонения вариант от средней арифметической:

= 64, —І2=1 и т. д. Суммируя квадраты отклонений, получаем Е(хі—х )2 = 290. Подставляя нужные значения в формулу 35, оп­ ределяем величину среднего квадратического отклонения:

Поскольку 2 ( хі—х ) 2 выражается различными тождествами, формулу среднего квадратического отклонения можно модифи­ цировать. В частности, среднее квадратическое отклонение опре­ деляется по следующим аналогичным формулам:

Применим эти формулы к только что рассмотренному при­ меру:

72

При вычислении паказателей вариации на многозначных числах последние можно преобразовать в простые, что значитель­ но облегчит работу. Это достигается уменьшением каждой вари­ анты на какую-то постоянную величину или делением значений признака на одно и то же положительное число. Основанием слу­ жат теоремы о средней и дисперсии, которые рассматривались выше: величина дисперсии и среднего квадратического отклоне­ ния от этого не изменится. Так, варианты рассматриваемой сово­ купности можно уменьшить на 70, получится следующий ряд значений: 4 0 7 2 9 18 6 10 16. Находим: 2х = 72, 2х2= 16+ 49 + + 4+ ... +236 = 866. Подставляя эти значения в формулу, имеем;

Получился тот же результат, что и выше, а вычисления ока­ зались проще.

В тех случаях, когда среднее квадратическое отклонение вы­ числяется на совокупности, сгруппированной в интервальный ва­ риационный ряд, отклонения а — (Хі—х) берутся как отклонения классовых вариант от средней арифметической. Покажем приме­

няя этого распределения ж = 11,9 мг°]о. Расчет нужных значений для подстановки в формулу среднего квадратического отклоне-« ния показан в табл. 18.

Подставля найденные значения в формулу, получаем:

73

Способ условной средней

Среднее квадратическое отклонение можно вычислить упро­ щенным способом, приняв условно вместо средней (х) одну из вариант, для которой х—Л =0. При этом способе отклонения ва­ риант (или классов) берутся не от истинной средней х, а от ус­ ловной А. Формула среднего квадратического отклонения при этом способе расчета приобретает следующий вид:

где а ~ х —А '.

Покажем применение этой формулы на примере распределе­ ния кальция (мг%) в сыворотке крови павианов-гамадрилов (табл.19).

Подставляем найденные значения в формулу 43:

отнести к величине классового интервала, т. е. вместо а = (х{—А) взять а = (Xj—А)/і, то расчеты значительно упрощаются. В таких случаях отклонения классовых вариант (или классов) от услов­ ной средней А, где отклонение а= 0, принимают значения чисел

1 Конструкция данной формулы станет понятной, если вспомнить, что цент­ ральный момент второго порядка связан с условным моментом того же поряд-

74

натурального ряда, т. е. обозначаются как 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. При этом отклонения классов или вариант от условной средней в сто­

Среднее квадратическое отклонение в таких случаях должно ум­ ножаться на величину классового интервала, формула 43 приоб­ ретает следующий вид:

Сравнивая этот способ с предыдущим, нельзя не видеть преиму­ щества последнего, позволящего просто и быстро рассчитывать среднее квадратическое отклонение.

75

На выборках небольшого объема, особенно когда они не сгруппированы в вариационный ряд, среднее квадратическое от­ клонение вычисляется тем же способом по следующей формуле:

Здесь а — отклонение варианты от условной средней, в качестве которой может быть взята любая варианта; п — общее число ва­ риант, на которых вычисляется среднее квадратическое отклоне­ ние.

Покажем применение этой формулы на примере содержания гемоглобина в крови у девяти одновозрастных лиц, который рас­ сматривался выше.

76

Получился такой же результат, какой был получен при вычисле­ нии среднего квадратического отклонения прямым способом.

Приближенное значение среднего квадратического отклоне­ ния можно получить, разделив размах вариации на 2, если число наблюдений (п) равно примерно 5, или на 3, когда п= 10; на 4 при п = 25 или на 5 при п= 100 (по Снедекору, 1961). Так, размах вариации по содержанию гемоглобина в крови у девяти лиц ра­

14,70—8,99 = 5,71^6 мг%. При п= 100 среднее квадратическое отклонение должно равняться: 6/5 = 1,2 мг%. Видно, что этот рас­ чет достаточно хорошо согласуется с полученными выше величи­ нами.

Способ суммирования

Среднее квадратическое отклонение можно вычислить и спо­ собом суммирования, который рассматривался выше примени­ тельно к расчету средней арифметической. Поскольку этот способ имеет два варианта, среднее квадратическое отклонение опреде­ ляется по следующим аналогичным формулам:

образуемых кумуляцией частот с противоположных концов ва­ риационного ряда в направлении условной средней А; d —2 і—2 2 (из большей суммы вычитается меньшая); і — величина классо­ вого интервала; п — общее число вариант, на которых вычисля­ ется среднее квадратическое отклонение.

(46)

В этой формуле Si — сумма первого полного ряда накопленных частот, получаемого кумуляцией частот в направлении от макси­ мальной классовой варианты (или класса) до конца вариацион­

Покажем применение этого способа на известном нам приме­ ре распределения кальция (мг%) в сыворотке крови павиановгамадрилов. Расчет необходимых вспомогательных величин по­ казан в табл. 21. Пользуясь итоговыми данными этой таблицы, находим: d = 80—52 = 28, S = 52 + 80+ (2x30) + (2X55) =302. Подставляем эти величины в формулу 45:

77

Таким же образом используется и формула 46:

0,7 У2,94 =

100НЮ 1 + І Г о ) “

=0,7 X 1,715 = .1,20 мг %.

КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ

Среднее квадратическое отклонение является основным мери­ лом вариабильности признаков. Этот показатель не зависит от числа наблюдений, и потому может использоваться для сравни­ тельной оценки варьирования однородных признаков. Вместе с тем широкому использованию среднего квадратического откло­ нения в качестве меры сравнения вариабильности признаков ме­ шает то, что этот показатель является величиной именованной. В самом деле, выше было' показано, что среднее квадратическое отклонение ряда распределения кальция (мг%) в сыворотке кро­ ви павианов-гамадрилов равно 1,20 мг%, а варьирование дат­ ских угрей по числу позвонков характеризуется средним квадра-

78

тическим отклонением равным 1,35 позвонка. Можно ли на этом основании сказать, что датские угри более изменчивы по числу позвонков, чем гамадрилы по уровню кальция в сыворотке кро­ ви? Нет, этого нельзя сказать, потому что признаки выражены разными единицами измерения.

Чтобы среднее квадратическое отклонение могло быть исполь­ зовано в качестве меры сравнения вариабильности признаков не­ зависимо от того, какими единицами измерения они выражены, его принято выражать в процентах от средней арифметической. Полученный таким образом показатель оказывается числом от­ носительным, выражающим изменчивость признаков в процен­

ротке крови павианов-гамадрилов равен:

СѴі = ЮО-уууг — Ю,1%.

тогда как коэффициент вариации датских угрей по числу позвон­ ков

Из сопоставления этих показателей видно, что первый признак варьирует сильнее, чем второй.

Величина коэффициента вариации определяется отношением абсолютных значений двух основных характеристик вариацион­ ного ряда — средней арифметической и среднего квадратическо­ го отклонения. При нормальном распределении коэффициент ва­ риации обычно не превышает 45—50% и часто бывает гораздо ниже этого уровня. В случаях же асимметричных распределений он может быть довольно высоким, достигающим иногда 100% и выше. Особенно высоким коэффициентом вариации характеризу­ ются признаки, распределяемые по закону Пуассона. Покажем это на следующем примере. Изучалась поражаемость клеток при облучении ткани животного организма альфа-частицами. Было проведено 517 испытаний; результаты распределились следую­ щим образом:

1 Коэффициент вариации можно выразить не только в процентах, но и в

а

долях единицы, т. е. в виде отношения“

X

79