книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

л +

т

анты данной совокупности. Если взять нижнюю границу первогб класса 8, получатся следующие семь классов, по которым распре-* делятся все 50 вариант этой совокупности: 8—11 —14—17— 20—23—26—29.

Возникает вопрос, в какие классы относить варианты, кото­ рые по величине совпадают с верхней границей одного и с ниж­ ней границы другого класса? Например, в какой класс отнести варианту 11 — в первый или во второй? В решении этого вопроса возможны 2 варианта: 1) в один и тот же класс помещаются ва­ рианты, которые больше нижней, но меньше или равны верхней границе данного класса, т. е. варианты распределяются по клас­ сам по принципу «от — до включительно», 2) обычно верхние границы классов уменьшаются на какую-то незначительную ве­ личину, например на 0,1 или на 0,01, чем и достигается необходи­ мое разграничение классов. Так, в данном примере при умень­ шении верхней границы классов на 0,1 получаются следующие классовые интервалы: 8—10,9; 11—13,9; 14—16,9; 17—19,9; 20— 22,9; 23—25,9 и 26—28,9. Остается все 50 вариант распределить по этим классам. В результате получается интервальный вариа­ ционный ряд, который превращается в ряд прерывистого варьи­ рования (табл. 3)

Срединные значения классов, приведенные в табл. 3, получе­ ны следующим образом. Среднее значение первого класса, рав­ ное 9,5, является полусуммой значений нижней и верхней границ этого класса: (8+11): 2 = 9,5. Срединное значение второго клас­ са рассчитано таким же способом: (11 + 14): 2= 12,5 и т. д. Если верхняя граница класса уменьшена, срединные значения опреде­ ляются указанным способом по полусумме начал данного и по­ следующего классов.

При построении интервального вариационного ряда наиболее пристального внимания требует операция распределения вари­ ант по классам. Еіельзя допускать, чтобы одна и та же варианта учитывалась дважды и чтобы одинаковые варианты попадали в

2 0

их по классам, что не одно и то же. Игнорирование этой рекомен­ дации, как показывает опыт, отнимает много времени на поиски одинаковых вариант, а главное приводит к ошибкам, на исправ­ ление которых затрачивается немало времени, особенно при на­ личии большого числа наблюдений.

Возьмем следующий пример, на котором удобно показать ме­ тодику построения интервального вариационного ряда при ис­ пользовании совокупности наблюдений большого объема. На группе клинически здоровых павианов-гамадрилов определялось содержание кальция (мг%) -в сыворотке крови. Результаты 100 анализов оказались следующие:

Минимальная и максимальная варианты этой совокупности, в дальнейшем обозначаемые через min и шах, равняются: min = 8,99 и т а х = 14,70 (эти варианты отмечены скобками). При наличии в совокупности 100 вариант и размахе вариации призна­ ка, равном 14,70—8,99 = 5,71, можно взять величину классового интервала і = 0,7 мг%. В масштабе этого интервала разбиваем вариацию признака на классы и разносим по ним варианты. Что­ бы не сбиться со счета, каждая варианта, относимая в свой класс, отмечается черточкой или каким-нибудь другим знаком. Удобно отмечать варианты, особенно при распределении очень большого числа наблюдений, с помощью следующего шифра частот:

Как и в предыдущем примере, построение интервального ва­ риационного ряда облегчается при использовании вспомогатель­ ной таблицы (табл. 4).

Распределив все варианты по классам, как показано в табл. 4, подсчитывают их частоты в каждом классе и находят об­ щую сумму частот, которая должна равняться общему числу ва­ риант в данной совокупности. Построив интервальный вариаци­ онный ряд, его превращают в ряд прерывистого варьирования, т. е. находят срединные значения классов.

21

Пр и м е ч а н и е . Пятая графа (хр) понадобится в дальней­ шем.

ГРАФИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Чтобы придать большую наглядность закономерности варьи­ рования признаков, вариационные ряды принято изображать гра­ фически в виде гистограммы, или полигона, а также в виде кумуляты или огивы. График, называемый гистограммой, получает­ ся, если в системе координат отложить по оси абсцисс границы классов, а по оси ординат— их частоты, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Гистограмма распределения кальция (мг %) в сыворотке крови павианов-гамадрилов:

на оси абсцисс — границы классов, на оси ординат — частоты вариант

22

Гистограмма изображает закономерность распределения вариант по классам вариационного ряда, т. е. при непрерывном варьиро­ вании признака. Прямоугольники соответствуют классам, а их высота — частотам вариационного ряда.

Если из срединных точек прямоугольников гистограммы опус­ тить перпендикуляры на ось абсцисс, а затем эти точки соединить между собой, получится график дискретного варьирования, на­ зываемый полигоном распределения. На рис. 2 изображен поли-

Рис. 2. Полигон распределения кальция (мг %) в сы­ воротке крови павианов-гамадрилов:

на оси абсцисс — значения классовых вариант, на оси орди­ нат — частоты

гон распределения кальция (мг%) в сыворотке крови павиановгамадрилов. Полигон распределения можно построить и незави­ симо от гистограммы, нанося на ось абсцисс срединные значения классов. А когда возникает необходимость, можно полигон прев­ ратить в гистограмму.

В других случаях график вариационного ряда строится в ви­ де кумуляты. Для этого по оси абсцисс откладываются значения классовых вариант, а по оси ординат — накопленные частоты. Сое­ диняя -затем соответствующие точки в системе координат, полу­ чаем график, называемый кумулятой і(рис. 3). Накопленные час­ тоты получаются последовательным суммированием или кумуля­ цией (от лат. cumulo— накапливаю) частот в направлении от минимальной варианты до конца вариационного ряда. На рис. 3 изображена кумулята распределения кальция (мг%) в сыворот­ ке крови гамадрилов. Полный ряд накопленных частот, обозна­ чаемый через Si, получен следующим образом:

23

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ ВАРЬИРОВАНИЯ

В распределении эмпирических совокупностей бросается в глаза одна важная особенность — преимущественное накаплива­ ние вариант в центральных классах и постепенное убывание их числа по мере удаления от срединной точки вариационного ряда. Эта особенность, составляющая одну из характерных черт варьи­ рования биологических признаков,— факт очень важный, имею-

Рис. 5. Процентные соотношения в распределении 117 мужчин по росту (из Бейли, 1959):

на оси абсцисс — рост в английских дюймах, на оси ор­ д и н ат — частоты в процентах от общего числа наблю де­ ний

щий широкое распространение в природе. Кому, например, неиз­ вестно, что чаще встречаются люди среднего роста, а индивиды очень большого или очень малого роста встречаются сравнитель­ но редко. Но, вероятно, не все знают, что среди населения инди­ видов выше среднего и ниже среднего роста оказывается пример­ но одинаковое количество. Если совокупность людей одного пола и возраста поставить по ранжиру так, чтобы люди приблизитель­ но одинакового роста стали в затылок друг другу, получится как бы живая диаграмма распределения, более или менее симметрич­ ная.

На рис. 5 изображена гистограмма распределения 117 муж­ чин по росту, хорошо иллюстрирующая эту закономерность. Отмеченная черта варьирования обнаруживается не только в рас­ пределения людей по росту, но и по другим признакам, в част­ ности по размерам обуви. На рис. 6 изображена гистограмма рас-

25

пределения мужского населения Москвы и центральных областей Российской Федерации поэтому признаку.

Впервые на это явление обратил внимание А. Кетле (1835), исследовавший распределение нескольких тысяч солдат амери­ канской армии по росту (длине тела). «... Человеческий рост,— писал он, — изменяющийся, по-видимому, самым случайным об­ разом, тем не менее подчиняется самым точным законам; и эта особенность свойственна не только росту; она проявляется также и в весе, силе, быстроте передвижений человека, во всех его фи­ зических... и нравственных способностях. Этот івеликий прин-

25

Рис. 6. Процентные соотношения в распределении мужской обу­ ви среди населения центральных областей Российской Феде­ рации:

на оси абсцисс — номера обуви, на оси ординат — частоты в процентах от общего числа наблюдений

цип,... разнообразящий проявление человеческих способностей,...

кажется нам одним из самых удивительных законов мира» Описанная закономерность относится не только к человеку,

она проявляется во всей живой природе. Более того, не только биологические признаки, но и случайные ошибки, допускаемые при измерении физических предметов, следуют в общей массе указанной закономерности. Иллюстрацией могут служить резуль­ таты опыта, описанного Р. Шульце (1926), с многократным изме­ рением металлического стержня, приведенные в табл. 5.

Из этой таблицы видно, что погрешности, случайно допущен­ ные при 80-кратном измерении одного и того же предмета, рас­ пределяются строго закономерно, образуя правильный (симмет­ ричный) ряд. «Не удивительно ли, — писал Кетле, — что слу­ чайные ошибки располагаются в таком совершенном порядке и наши бессознательные промахи проявляются с такой симметрией,

' К е т л е А. Социальная физика. Т. I. Киев, 1911, стр. 38—39.

26

какая кажется могла бы быть результатом тщательно обдуман­ ных расчетов» 1.

Не во всяком случае при измерении тех или иных предметов получаются столь отчетливые результаты, как это описано Шульце. Но главное не в этом; важно, что в самых различных слу­ чаях проявляется одна и та же закономерность: в массе относи­ тельно однородных единиц (вариант) подавляющее большинство составляют варианты среднего размера, и чем дальше они откло­ няются от среднего уровня признака, тем реже встречаются в данной совокупности. Иными словами, между различными зна­ чениями признака и частотой их встречаемости в любой сово­ купности существует определенная связь. Наглядным выраже­ нием этой связи и служит вариационный ряд и его график — вариационная кривая. Чтобы глубже понять содержание отме­ ченной закономерности и ту роль, которую она играет в области статистического анализа массовых явлений, следует рассмотреть ее более подробно.

ВЕРОЯТНОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА

Предположим, что в роддоме приняты 208 мальчиков и 200 девочек — всего 408 детей. Число 208 — это абсолютная частота родившихся мальчиков, а число 200 абсолютная частота ро­ дившихся девочек. Если число мальчиков и девочек, родившихся в этом роддоме, отнести к общему числу новорожденных детей, получаются относительные частоты, или частости этих событий:

1 К е т л е А. Социальная физика. Т. I. Киев, 1911, стр. 330.

2 7

Само собой разумеется, что в разных случаях частость или доля рождающихся особей мужского и женского пола может быть раз­ личной. Теоретически, однако, можно ожидать, что в большей массе случаев доля родившихся девочек окажется равной доле новорожденных мальчиков. Теоретическое значение относитель­ ной частоты ожидаемого события называется его в е р о я т н о ­ стью. Причем событием принято называть тот результат, кото­ рый получается при каждом испытании. Под испытанием же понимается процесс осуществления какого-либо комплекса усло­ вий, который может быть повторен неограниченное число раз. Например, метание монет, игральных кубиков, розыгрыш лоте­ рейных билетов, проведение опытов и т. п. действия — все это на языке теории вероятностей обозначается термином и с п ы т а н и я .

Если при каждом испытании событие неизбежно наступает,

Когда же событие в каждом отдельном испытании может про­ изойти, но может и не произойти, его называют возможным, или с л у ч а й н ы м , событием. События, которые при испытании в постоянных условиях повторяются многократно, получили назва­ ние м а с с о в ы х . Примером массовых событий случайного ха­ рактера может служить рождаемость особей мужского и жен­ ского пола — явление, которое в отдельных случаях точно пред­ сказать нельзя, но в общей массе новорожденных можно ожидать

для наших целей, вероятностью называется отношение числа слу­ чаев или исходов т, благоприятствующих наступлению ожидае­ мого события А, к числу всех возможных и несовместимых в дан­

события А. Например, в урне помещается 5 белых и 10 черных шаров. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым? Так как из общего числа 15 шаров в урне 5 белых, то из 15 возможных исходов всего лишь 5 «благоприятствуют» ожидаемому событию — появлению белого

априорной. Например, при метании монеты заранее, т. е. до ис­ пытания, известно, что она может лечь либо гербом вверх, либо

28

решкой. Здесь только две возможности, и вероятность каждой одна и та же, равная ѴгАприорной является вероятность любой цифры игрального кубика, любой фигуры в колоде карт, появле­ ние в потомстве мужского или женского пола и других подобных событий. Другое дело, например, действие на организм различ­ ных доз лекарственных или токсических веществ. В этом случае заранее, т. е. до опыта, указать вероятность результата нельзя; она может быть установлена лишь после многократных испыта­ ний, т. е. после опыта. Такие вероятности называются эмпириче­ скими, или апостериорными.

Из формулы 3 следует, во-первых, что вероятность любого события есть число, заключенное между нулем и единицей, т. е. она выражается в долях единицы, но может быть выражена и в процентах. Во-вторых, вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равняется нулю. Из этих аксиоматических свойств вероятности следует, что веро­ ятность противоположного события Ä дополняет вероятность прямого события А до единицы, т. е. Р(А )+Р(А ) = 1. Для удоб­ ства вероятность ожидаемого события принято обозначать через р, а вероятность противоположного события через q, т. е.

Р (А) =р и Р(А) =q. Так как p + q= 1, то р= 1—q.

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Выше приводились примеры определения вероятности появ­ ления ожидаемого события при однократных испытаниях. Теперь поставим вопрос так: какой результат можно ожидать, если в отношении одного и того же случайного события А и при одних и тех же условиях провести не единичное, а целый ряд повтор­ ных испытаний? Как распределятся результаты серии испыта­ ний, что равнозначно распределению частоты случаев при аль­ тернативной изменчивости признака? Чтобы получить ответ на этот вопрос, примем следующие условия: 1) вероятность ожида­ емого события Р(А)=р остается постоянной в каждом испыта­ нии; 2) будем учитывать только два исхода: появление собы­ тия А или его альтернативы А, т. е. появление противоположного

по схеме «возвращаемых шаров», т. е. по схеме независимых друг от друга испытаний, когда первый результат никак не отражает­ ся на результате последующего испытания, а значит и не изме­ няет вероятность ожидаемого результата.

При двух независимых испытаниях возможны следующие ис­ ходы с их вероятностями:

При трех независимых испытаниях возможны 23= 8 исходов:

29