Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Геллер Б. Импульсные процессы в электрических машинах

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
14.87 Mб
Скачать

Ci емкость

первичной

обмоткгі

относительно

земли;

С2— емкость

вторичной

обмотки

относительно

земли;

Кі — междувитковая емкость первичной обмотки;

К2

междувитковая емкость вторичной обмотки (все емкости относятся к единице осевой длины).

Градиент напряжения в первичной обмотке равен:

<3 -'2 0 >

и аналогично для вторичной обмотки:

где Фі магнитный поток, сцепленный в точке х с одним витком первичной обмотки; Фгмагнитный поток, сцеп­

ленный

в точке x с одним

витком

вторичной

обмотки;

Ni и N2— число

витков на

единицу

осевой длины пер­

вичной

и вторичной обмоток.

 

 

 

В дальнейших

расчетах

будем

принимать

длину

/

в обеих

обмотках

равной единице. Магнитный

поток

Фі

в точке x первичной обмотки может быть выражен сле­ дующим образом:

Ф, = J ' NlMi (х, 6) /, (6) dl + £ N2M,2 {х, Щ it (5) dl.

(3 122)

Первое слагаемое уравнения (3-122) является частью магнитного потока в точке х первичной обмотки, создан­

ной током іі, второе слагаемое

— частью магнитного по­

тока, созданной током і2 ; Мі(х,

| ) и Мі2(х,

I)—взаим­

ные индуктивности между витками первичной и вторич­

ной

обмоток.

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичное выражение получим для магнитного по­

тока

Фг вторичной обмотки:

 

 

 

 

 

Ф 2 =

V N2M,(x,%)iA?)dl+

VN.M^x,

 

 

 

(3-123)

 

JO

 

 

jo

 

 

 

 

 

Рассмотрим

вначале

случай

расположения

обмоток

в воздухе. Зависимость

М12, Мь

М2

от расстояния

(х—£)

в воздухе

имеет экспоненциальный

характер.

Поэтому

(3-122) можно

записать

в следующем

виде:

 

 

 

= NMia[\x

e~x(х-%

(Щdl +

^ е - 1

^ х ) і , (I)dl]

+

 

ВД,

[ f

e-xlx~X®di

+ £ е - х « - * > і а ( 6 ) Л ] .

 

(3-124)

120

Из (3-118) после дифференцирования дважды по х следует:

дЩдх2 1 =

А2Ф, -

2X{N1MJ1

+

NtMJi)

(3-125)

и аналогично

 

 

 

 

 

2Ф:

2 Ф2 -

2l{NiMJa

+

NlMji).

(3-126)

дх2

 

 

 

 

 

Уравнения

(3-118)

—(3-121),

(3-125), (3-126)

образу­

ют систему дифференциальных уравнений с зависимыми

переменными ии

иг, іі,

і% Фь Фг-

 

преобразова­

Путем

исключения

и

соответствующих

ний получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

Г M д2ф'Л-Г

0 2

^'Ф'

-

^Ф*)

К M

()4ф'

ülA/> ~dt2~^~L^

 

W2

 

A i « i

-дШ*~

 

дЩ2

 

д4 Ф,

 

/

д2Ф2

д2Ф.

м°

-д^ -

м20

^~Х20

 

- ^ - м 2

0

i_t (3-127)

=

 

 

 

 

 

і

_

 

 

 

2NtX (ММго

-Ml)

 

 

м0

04Ф,

 

дг

i 2

(

д2Ф,

д2Ф.

- ^ - M l o

J ^ ~

і^м0

-^~M„

Ж

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-128)

 

 

2N2X (М10М20 -

Ml)

 

 

Решение

этих

уравнений

запишем в форме

 

 

 

Ф1

= Ѵ'"Ѵ<0';"

 

(3-129)

 

 

 

Ф2

=

Р / ' а Ѵ ш ' ,

 

(3-130)

которая характеризует совокупность стоячих волн в обе­ их обмотках с пространственной круговой частотой а и

временной частотой со.

FJFz

 

 

Тогда

отношение амплитуд

будет:

 

F, _

М0а2 (*2+

Х2) —

2(MU)M20-M^XN.N^C^

 

~~ ЛГІ 0 а« 2 +

X2) -

2(М10М20 -

Ml)

ХЩ<*2 ( C t + C + ^ o * ) '

 

 

 

 

 

 

 

(3-131)

/7,

Л41 0 а2 ( g 2 + À 2

) - 2

(Л4 1 0 Л4 2 0 - . /И 2 ) А2УѴ|«2 ( С 2 + С 1 2

+ ^ 2 а 2 )

Р% ~~

Л19 а2 2 +

X2) — 2 ( / W 1 0 M 2 Q — А ф XNxN%<s?C^

'

 

 

 

 

 

 

 

(3-132)

121

 

Вводя коэффициенты

рассеяния vi и ѵ2 , получаем:

 

F

 

^ ( а

2 + Л 2 ) - 2 ( ѵ Л 2 - 1 ) ^ Л Ѵ о 2 С 1 2

 

 

 

 

2

Ж а" ^ + х г ) - 2 (Ѵ >Ѵ 2 - ')lNïw* <с' + с ' 2 + ^'а2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-133)

 

F

Ж aS ( а 2 +

Х2)

_ 2 (ѵ'Ѵг _

, } Ш

^

( С г +

С'2

+

 

 

 

 

 

^

 

^

(а» +

X») — 2 (vt v, — 1) Xeo'JV^jC,,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-134)

Приравняв

правые части '(3-133) и (3-134), получим:

 

 

[ ж ( а 2

+ я 2 ) - 2

( ѵ 'ѵ * - l

)

 

 

^^yci2J=

 

 

 

 

 

=

^ _ а

4 ( а 2

+ я Т _ 2 ( Ѵ і ѵ 2 - 1 ) Х

 

 

 

 

 

Х Яа>8 2

+

Яг) а2 [(С2 +

С І 2 + Л > 2 )

^

+

 

 

+

(С, + С 1 2

+

К^)

N 2 ] + 4

( v , v 2

-

l ) 2

tfVV*'

+

 

 

+

C1 2

+ Л> 2 ) (С, -4- C1 2 +

Л> 2 ) .

 

 

(3-135)

Так как для обычных

обмоток КІ(С + Сіг) <С 1, то для

не слишком больших значений а имеем Ка?І(Сі

+ Сіг)

<СІ. Поэтому в (3-135) можно пренебречь

членом (/(а2 ).

Из рис. 3-16 видно, что коэффициенты

рассеяния

vi

и Ѵ2 мало отличаются

друг от друга. Подставив

в

(3-135)

их среднее геометрическое значение, получим:

 

 

 

 

 

0 ^ + я2) - 2 (ѵ 3

- 0 я а д 0 , 2 с 1 2 ] 2 =

 

 

 

 

 

* 4 ( А 2 + Х У

- 2

( Ѵ ' ' ~ 1 ) Я А ) 2 ( А 2 + Я 2 ) А 2

І [ (

С З

+

 

+

 

С J Ni +

(С, • + С1 2 ) /V2 ] +

4 (V2 -

 

I ) 2 Л^ІѴѴЯ2

(Cj

+

 

 

 

 

 

+

С1 2 )(С2

+

С1 2 )

 

 

 

(3-136)

или

сокращенно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 +

X2 )]2

а2 2

+

К) ~

С

'

 

(3-137)

122

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 4{v>-\yN2Ny[C1Ci

 

+

(Cl +

Cl)C1ù

(3-138)

В = 2 (V2 - 1 )

12С12УѴ,ІѴ8

- V ( ( С , + С „ ) ^

+

 

 

+

1 +

С1 2 )Лф];

 

 

(3-139)

 

 

 

С =

 

(1 -

ѵ2 )/ЛГ\

 

(3-140)

Решив

предыдущие уравнения

 

относительно ша, находим:

 

* = *>'

+ Ѵ[£±У

 

 

(3-141)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-142)

 

 

 

2

( а а + Я 2 ) ф 2 )

 

(3-143)

где

 

 

^ /

/ i

L

с

N.

 

 

 

(3-144)

 

 

 

 

 

 

 

VC

с

 

(3-145)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т 2

 

^

\ j L 4 2

 

Из (3-142), (3-143)

следует,

 

что

 

 

 

 

2

— Л 2

 

 

 

 

 

 

(3-146)

 

 

'

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— X 2

 

 

 

 

 

 

(3-147)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В (3-146) и (3-147) знак плюс перед корнем соответ­

ствует

положительному

 

значению

a2,

a знак

минус —

отрицательному значению. Для одного значения со2 полу­ чим четыре различных значения а2 , из которых два будут больше нуля и два меньше нуля. Первые значения со­ ответствуют гармоническим, а последние — гиперболиче­ ским функциям X.

Из (3-142) и (3-143) следует также, что каждому значению а2 соответствуют два различных значения ш2.

Для однослойной обмотки каждому значению ш2 со­ ответствуют два значения a2, a каждому значению а 2 со­ ответствует только одно значение о>2. Связь со вторич­ ной обмоткой дает, следовательно, удвоение частот.

123

Если между обеими обмотками существует только индуктивная связь (Сі2 = 0), то

4 2

 

 

 

 

— 1)

N1N2\MltCiCî

 

(3-148)

 

 

 

 

 

 

 

При

одинаковых

емкостях

 

(С, =

С2

= С ] 2 =

С)

 

 

 

 

 

V (

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2

 

 

 

 

 

 

± К { К М ) -

 

1

Г - * • • - • > }

(3-149)

 

 

 

 

— 1) УѴ,ІѴ2 Ш0 С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особый случай представляет собой симметричное рас­

положение

двух

обмоток.

 

Здесь

Nl

= N2=N,

Сі = С2

=

= С12=

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом

случае

из

(3-136)

получаем:

 

 

 

 

 

 

а 2 ( а 2

+ ^ 2 )

 

( 3 1 5

0 )

 

 

 

 

2Af0

(ѵ +

1) №\С

"

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* =

2 А Г 0 ( ѵ + 1 ) Л ^ С '

 

( 3 " 1 5 1 )

Если принять в (3-150) значение M 0 = M1 0 /vi~Mio/v, то

(3-152)

Следовательно, при симметричном расположении об­ моток

 

 

2 _ а2 2 +

X2)

 

 

 

œ

— 2N*Mi0kC '

 

 

В случае

сильной

индуктивной связи

(/"і/г2 ~1)

коэф­

фициент рассеяния:

ѵ = 1 + е,

(е - СІ) .

Тогда ѵ 2

^ 1 + 2 е ,

( ѵ 2 — 1 ) 2 ^ 4 е

2 ~ 0 . В данном случае, кроме того, Сі2^> Ci, С2 .

124

Уравнение (3-136) тогда преобразуется в

[ж. (*'+я?)

- 4 е Я Л ' №с»]

=

*4 2+я2)2

-

-

4вАш*

1С„Л/; +

С , ^ ] .

(3-153)

Отсюда

 

 

 

 

 

<•• +

**)

 

( 3 . 1 5 4 )

В случае сильной индуктивной связи между обмотка­ ми одному значению со2 соответствуют не четыре, а толь­ ко два значения а2 . Система вырождена. Выражение і|з имеет значение

 

* =

Г д А н ѵ

-,

(3-155)

 

 

~N„

N.

2 Pu

 

 

2MaKN1Ns

А

 

В

дальнейшем случаи

длинных

и коротких

обмоток

будут

рассматриваться отдельно.

 

 

Для двух находящихся в воздухе обмоток зависи­ мость взаимной индуктивности от расстояния между об­

мотками определяется уравнением (3-108).

 

Если для первых

значений

пространственной

собст­

венной частоты

ау

справедливо

условие

 

~

)

>

<

(ѵ=1 . 2 ... ) .

(3-156)

то оібмотку надо рассматривать как длинную. Если

то обмотка должна рассматриваться как короткая. Для коротких обмоток можно принять:

*a +ltf«Kz2 ,

(3-158)

и тогда (3-142), (3-143) могут быть записаны как

Cu2 = a4pi = ß4|>2.

(3-159)

125

откуда

aff

±

со/1/'<!>,;

(3-160)

В2 2

= н =

- £ _ . .

(3-161)

Для коротких обмоток каждому значению со2 соответ­ ствуют четыре значения а2 , причем два значения равны друг другу по абсолютной величине.

Для длинных обмоток, у которых первые значения пространственной собственной частоты аѵ соответствуют (3-156), можно записать:

 

 

 

а* + Я я « і » ,

 

(3-162)

и вместо

(3-136) получаем:

 

 

 

 

 

Г

/

ЛГ2

,

Л?, \

ш4 1

2

2 (v= — 1)

[С\Сг +

(С\ +

С 2 ) С 1 2 ]

 

М 0

 

а*К«

 

( 1 — V2 )

 

(3-163)

 

Ml

4 (V2 -

I ) 2 N\N'p

 

(С, +

 

 

С,) С„ ]

из которого

следует:

 

 

 

 

 

 

cu2=a2A24pi = ß2A2\l)2.

(3-164)

Здесь

каждому

значению CD2 соответствуют только два

значения а2 . Итак, система двух длинных обмоток вы­ рождается.

Отношение амплитуд r\ = FijF2

соответствующих гар­

моник

в обеих

обмотках

получим

путем исключения

a 2 (a 2 2 )/cû 2

из

(3-131)

и

(3-132):

 

 

 

где

 

Л=УѴ1 1

+ С1 2 )-ѵ Л^2 С1 2 ;

(3-166)

 

 

 

ß =

v ^

^ . ( C . +

C ^ - ^ -

^

+ C j ] ;

(3-167)

 

 

C =

N

N,ЧС*

+ С і г ) - ѵ С ^ .

(3-168)

 

 

 

 

Ni

 

 

 

 

 

Из

(3-165) видно, что отношение

амплитуд не зависит

от пространственной

частоты.

 

 

 

126

Рассмотрим

некоторые

специальные случаи.

Пренебрегая

взаимной

емкостью і2=0),

получаем:

 

 

 

 

±

 

112 ~~

2N1Cl

 

 

 

+

 

 

 

 

 

1

 

• (3-169)

При

одинаковых

числах витков

Nt

= N2 имеем:

 

^ - у (с« -

d ) ± та*' (с» -

d ) 2

+ 4 с , с , ] ^

Подставив в (3-134) вместо а 2

2

+ Я2 )/со2 выражения

1/г|)і и

І/грг из уравнений (3-144) и

(3-145), получим сле­

дующую зависимость между т| и гЬ:

 

7 , 1

7 , 3

_

 

ѵ _ ф , м а 2 ( ѵ » - і ) ^ Х ( С , + С„)

 

 

~

1 - Ф , / И 0 2 ( ^ - 1 ) В Д А С 1 2

Ѵ - 1 , ч

_

ѵ - Ф г М 0 2 ( ѵ З - 1 ) ф ( С 2 + С 1 2 ) и

 

 

і - Ф г ѵ и 0 2 ( ѵ = - і ) ^ ^ с 1 2

[à-иг)

3. Расчет собственной частоты

Если система не вырождена, одному значению вре­ менной частоты со соответствуют четыре различных зна­ чения пространственной частоты а2 . Из четырех значе­

ний

cd2 два

значения больше

нуля,

а два

меньше нуля.

Это

означает, что

выражения

для

тока

и

напряжения

в обмотке

будут

включать 8

постоянных.

Таким обра­

зом, при анализе данной схемы мы должны рассчитать 16 постоянных, что практически без ЦВМ невозможно. Далее поэтому будем рассматривать только положительные значения а2 ( а < > 0 ) . Этим величинам соответствуют

пространственные гармонические функции от х . Гиперболическими функциями, соответствующими от­

рицательным значениям а2 , будем пренебрегать. Этот метод позволяет нам удовлетворить граничным условиям задачи. Однако решение не удовлетворяет полностью интегральным уравнениям (3-122) и (3-123).

127

В

этом случае

свободные колебания

напряжения

и

и тока

і

определяются

следующими

уравнениями:

 

 

«, == S іп sin апх

+

В

cos апх

- f Р 1 П sin ß„x

+

 

 

 

 

 

+

Rin

cos p„x] cos (Bnf;;

 

 

 

(3-173)

 

 

 

 

 

 

sin a„x - ) - В

cos a„x - j -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Р

sin ß n x - j -

R2n cos ргад;] cos w„f;]

(3-174)

 

 

ii

—~^f

Ci Г "і^ - * H~ ^12

j* ("i

 

X

 

 

 

 

"г) ^

 

 

 

 

 

 

 

 

COS CL.nX

B,

•smanx-

 

 

 

 

 

+ ^

COS ßn X -

^

s

i n pn X J (C, +

c „ )

+

 

 

 

- \ - ( — ^ 5

- cos an x -4-

 

sin жп х

cos S. л: +

 

 

 

 

- 4 - ^ s i n ß „ x )

C „ ] « « „ s ' n ^ ;

 

 

(3-175)

 

^ = 5 ] [ ( ^ ? c o s a n * _

^ S " s i n a"-x

 

i f c

o

s

~~

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ^ s i n ß n x ) ( C , + C,2) + ( - ^ c o s a n x +

 

 

- j

-

^

sin a„x

 

cos ߄x +

sin $nx\

С

CÜ„ sm iont.

-

 

an

 

 

Yn

 

 

vn

 

)

 

 

 

(3-176)

Далее

имеем:

 

 

А12

= ц1;

 

 

 

 

 

(3-177)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-178)

 

 

 

 

 

 

РіІРг

= Цг\

 

 

 

 

 

(3-179)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-180)

Для напряжений m и и% получим:

 

 

 

 

 

 

 

« і = Л і sin ax + 5 i cos ax + Яі sin ßx + Pt cos ßx;

(3-181)

u2 =

— sinax4-— c o s a x + — sinßx-f-

cosßx.

(3-182)

 

Т)і

 

f\\

 

 

~Цг

 

f\i

 

 

 

 

 

128

Отношение двух

напряжений составит:

 

и,

Л, sin ах +

ß , cos ах - j - Я, sin ßx +

 

i?, cos ßx

(3-183)

 

Ai .

ß,

 

 

 

 

 

 

 

— sm щ; +

cos а х + v T - sin ßx

+

- — cos ßx

 

 

 

7І2

 

42

 

Отсюда видно, что это отношение зависит как от ве­ личин т]і и г|2, так и от координаты х и может быть боль­ ше или меньше отношения числа витков [см. также урав­ нение (3 - 85)] .

Итак, для свободных колебаний не существует постоянного отношения, определяемого отношением числа вит­ ков.

Теперь

определим

пространствен­

 

 

 

 

ную собственную частоту для случая,

 

 

 

 

когда

нейтраль

обмотки,

на

которую

 

 

T

 

воздействует

импульс,

заземлена

(/),

 

 

 

 

 

 

 

а другая обмотка закорочена и зазем­

 

 

 

 

лена

(2)

(рис. 3 - 18) . Граничные

усло­

Рис.

3-18.

Паде­

вия при

этом для

случая

единичного

ние

 

единичного

импульса

имеют

вид:

 

 

 

 

импульса на

пер­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вичную

обмотку

 

 

г л ( 0 ) = 0 ,

« і ( 1 ) = 0 ;

(3-184)

с

заземленным

 

 

а 2 ( 0 ) = 0 ,

« 2 ( 1 ) = 0 .

(3 - 185)

концом

при

ко­

 

 

роткозамкнутой и

Тогда

из

(3-174)

следует:

 

 

заземленной

вто- ,

 

 

ричной

сбмотке.

 

 

 

 

B2+R2=0.

 

 

(3-186)

 

 

 

 

Будут

справедливы

также

уравнения

 

 

 

 

 

Л2 8іп a + ß 2 c o s a + P2 sin ß + i?2eos ß = 0;

 

(3 - 187)

 

 

 

 

 

 

Я І +

/?І =

0;

 

 

 

(3-188)

 

 

/lisin a + ß i c o s a + PiSin ß + ^icos ß = 0 .

(3 - 189)

Кроме

 

того,

из

(3-186)

с

учетом (3 - 178) и

(3 - 180) :

 

 

 

 

 

Ві/тц+/?і/л2=0.

 

 

(3-190)

Уравнения (3-190) и (3-188) одновременно справед­

ливы лишь

в случае, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ві = 0, /?і= 0

 

 

( 3 - 1 9 1 )

 

 

 

 

 

 

02=0, #2 = 0.

 

 

 

(3 - 192)

9 - 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

129

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ