книги из ГПНТБ / Геллер Б. Импульсные процессы в электрических машинах

Следовательно,

получим

следующее

условие для

M (х, s) •

(РМ/(1х*=Ш,

(2-97)

из которого следует:

M

=

Ae~llx~sl

+ Bellx~s].

(2-98)

Гак как M должна быть убывающей

функцией, по­

лучим:

М1==М0е-Цк-*К

(2-99)

Таким образом, доказано, что если функция взаим­

ной

индуктивности

является

экспонентой,

убывающей

с расстоянием, то уравнение

обмотки

(2-93)

может быть

решено

на базе

теории

обыкновенных дифференциаль­

ных

уравнений.

Анализ, проведенный в § 2-4, показал, что для всех

случаев

M(x,s)

можно

представить

экспоненциальной

функцией с показателем X, имеющим

определенные зна­

чения для каждого

случая.

Далее поэтому примем для M(x—s)

экспоненциаль­

ное

приближение

согласно (2-99). Такое

же приближе­

ное уравнение для функции F(x),

описывающей

прост­

ранственное распределение магнитного потока в

обмот­

ке в переходном

процессе:

1

d*F

Х

y

d 2

F

'

2^МЖ

^ d

4 1

, -

2^MaXCF =

0.

Ny

dx*

j N

d

x

?

~ ^ " l

x

*

*

ч

\

ч

(2-100)

Подставляя

в это уравнение

в качестве решения

получаем:

F=^Fueiax,

(2-101)

(2-102)

2 ( -

М0(С

+

К**)

N

2

М0ыШ

\* — 2 ( y

j

2

-12

- 2

[у]

М0ыШ

2Х(Т'УМУС\

+

вания обозначены как ai, а2 , 6і и Ь2.

при ю2—>-оо. Таким

Из (2-102)

следует,

что а 2 —> - оо

образом, критической

частоты по Вагнеру

в этом случае

не существует.

Более обстоятельный

анализ

показывает,

что при

определенных

значениях

% выражение

для

частоты

(2-102)

будет

сходно

с (2-61) по Блюму

и

Бояджану и

с (2-9) по Вагнеру. Теория Блюма и Бояджана

предпо­

лагает,

что

между

удаленными

витками

существует

сильная

индуктивная

связь. Это

соответствует

условию

Я2 <СІ, для которого

уравнение

(2-102) можно

предста­

вить в форме

0 ) 2 = =

2 Х » {N/IY Мй{С + Ко-Г

(2-105)

Функциональная

зависимость

между сс и со по (2-105)

аналогична функциональной зависимости

между а и <о

по Блюму и Бояджану

(2-61).

Вагнер и Рюденберг

(см. ниже)

в противоположность

При а 2 Я > а 4 Д (2-102) принимает вид:

Х "в "

(2-106)

Йз

кривых

видно,

что д л я Л / = І

изменение

частоты

по (2-102) почти

идентично изменению частоты по Блюму

и Бояджану,

а для ХІ = 20 лучшее

совпадение дает фор­

мула

Вагнера.

200

70 w

--\а

1<у

1

2, .

/ з

m

// S/s.

^г 7

/

1/

2

п-

п

01

2

г

*

5

Рис. 2-17.

Зависимость

Рис. 2-18. Зависимость

времен­

переменной частоты

сво­

ной

частоты свободных коле­

бодных

колебаний

от

баний

от

пространственной ча­

пространственной

часто­

стоты

при

слабой

индуктивной

ты

при

сильной

индук­

связи

между

витками

обмот­

тивной

связи

между

вит­

ки;

пространственная

частота

ками

обмотки;

про­

дана

в

квадратичном

мас­

странственная

частота

штабе.

дана

в

квадратичном

/ — по

Блюму и

Бояджану; 2 — по

масштабе.

Вагнеру;

3 — п о

(2-102).

/ — по

Блюму

и

Бояджану;

2 — по

Вагнеру;

3 — по

(2-102).

Уравнение (2-102) позволяет более полно анализиро­

вать частотную

зависимость. При

сильной

индуктивной

условие:

lira -2- = 7j.

(2-107)

Тогда

из (2-102)

(2-108)

MtC

1 + £

При сильной индуктивной связи витков (А,<СІ) при­

ближенно

можно считать:

V

idx.

(2-109)

lo

Поскольку поток по (2-109) не зависит

от х и являет­

ся только

функцией времени

(2-110)

то,

подставляя

(2-109) в (2-82), (2-3)

и принимая i ' = t-t-

+ ік, получаем:

~~ ^

J 7

dt '

С dx8

~~

J

0

dt2

'

Интегрируя

эти

уравнения,

получаем:

/Ny

. .

d4>' I

и = - ( г )

^ . r f r J C + ^

где

ü , w, p — постоянные

интегрирования,

не

зависящие

от

X.

граничные условия х = 0,

и = 0; х = 1, і' = 0,

Учитывая

получаем для обмотки с изолированным

концом

/Ny

dW

.,

„ /Ny

d*4?

/х*

/2\

,

,

Решением этого

уравнения будет

W = W0ela>t, где со

найдем из равенства

<ва=-3[М0С№.

(2-112)

Подставляя полученные выражения в (2-108) и пре­

небрегая значением

(К/С) а2, получаем:

и согласно (2-107)

ті = б//3

l i m - £ = £ .

(2-113)

Отсюда вытекает,

что

(2-102)

содержит

в себе все

частные случаи частотных

зависимостей,

приведенных

в литературе.

Из вышеизложенного

следует,

что все существующие

теории отличаются

одна

от

другой различным учетом

взаимного индуктивного влияния

удаленных

витков.

теории

Вагнера — Рюденберга

они

получаются значи­

тельно

меньшими,

чем

установленные

эксперименталь­

ным путем.

Принципиально

теории

Вагнера — Рюденберга,

Блюма — Бояджана

и

Геллера — Главки — Веверки от­

личаются друг от друга тем,

что

они

дают различные

Т а б л и ц а 2-1

Автор

ü>a/(üi

а>з/">і

0)6/(0,

Рюденберг

1,8

2,4

3

Блюм и

Бояджан

3,6

7,1

19

Геллер,

Главка, Веверка

3,3

6,7

11,9

Из опыта

3,3

7,2

13

і = 2 j (Ап cos amx

+ Bn sin

+ Pn ch a2nx

- f

+

tf„sha2„.x;)e?aV

,

(2-114)

и = 0 при х = 0;

(2-115а)

и = 0 при х=1

(2-1156)

Из

(2-88) можно получить два дополнительных

урав­

нения.

Подставив

выражения

для M из (2-99)

и для

тока і

из (2-114)

в (2-88),

проведем

интегрирование

тока с

(2-104), которое содержит

только гармонические

и гиперболические

члены,

получим:

ф

22 A cos ocjX ~|- В sin ocjX

I

22 Р °hа2# + Rsh а,х i

_ _ _ ѵ„

.

,2

X«+af

+

ХЛ + ßa ,

РХ — #<*Л _ u

+

af + Х2

X2

—

+ A (— X cos a,/ -f- a, sin a,/) + В (— X sin a,/ — a, cos <Xj/)

P

(— X Ch agi — a2 sh a2i) — ( a / c h a2l -{-[\ sh'asi)*] /(*—I)

(2-116)

АХ +

Ва

РХ —

Ra2

=

0;

(2-117)

X2 +

а.

X2

—

sin а,/ (а, Л — ХВ)

— cos a. J

(ХА

+

atB)

Х*Т~4

sh aj. (a2P

-f

XR)

j_ch

a2l

(XP -f

a2R)

:0.

(2-118)

X2 - 4

\ 2

-

Таким образом, получаем уравнение для магнитного

потока:

2

Ф:

Л

м

2Ха.І

• {A cos atx

- j -

ß sin ctjX) -(-

I

°

х*+°-]

2Л

(P ch a,x

- j -

sh a2;c)

(2-119)

\ * - 4

Напряжение и определим, путем интегрирования (2-82);

V )

° { аі

X2 + а\

'

1

•

2À Ps h к2л; 4-

Ясіі

ссг-^Х

/«>*•

(2-120)

~Т

X2-

5

I е

/ ш •

«2

Я

'

Далее из граничных условий (2-115) следует:

— В

,

R

, - = 0;

(2-121)

«і

+ »і)

<х (X

г

2

Л sin

— В COS aj/

Р sh <х2/ -\-

Ch а2 /

= 0.

(2-122)

a, (k2 -f- a'

a2 (X2

Уравнения

(2-117),

(2-118),

(2-121) и (2-122)

обра­

зуют систему

из четырех

однородных

уравнений

с че­

тырьмя неизвестными: А, В,

Р

и R. Чтобы

система

урав­

~2

+

Х2

(2-123)

2

К

о

корней

(си/)

от

параметра

осil

\

№.

\

что отличие

про­

л

XI

Видно,

ч

U-1

странственной

основной

ча­

> ч

стоты,

от

значения

л/1 во

> ' s к .

всей

области

незначительно.

/

Следовательно,

гиперболи­

I

1,0 г

ческими

членами

уравнений

О

10

можно

пренебречь.

В

пер­

Рис. 2-19. Зависимость про­

вом

приближении

можно

предположить,

что

колеба­

странственной частоты

первой

гармоники

напряжения

от

па­

ния в обмотке с заземлен­

раметра XI для

обмотки с

за­

ной

нейтралью

происходят

земленной

нейтралью.

с пространственной

часто­

той,

кратной я//.

Граничные

условия для обмотки с изолированной ней­

тралью

для первых

гармоник низшего

порядка,

где

можно пренебречь

током

будут: «(0) =0;

і (/)=().

Из этих условий

получим

зависимости:

• В

,

= 0;

(2-124)

A cos <хіі

+

В sin ad + P ch a2i'+R

sh a2l

= 0.

(2-125)

Из (2-113)

следует, что для малых к

- ^ =

0 , 9 9 f (XI),

(2-126)

в то же время для больших значений

К можем

записать

(см. § 13-2):

аЛ

п

2X1

(2-127)

2

2X1 —

Изменение al в зависимости от XI по (2-126)

и (2-127)

представлено

кривой на рис. 2-20. Как видно из рисунка,

действительная

кривая ai//%t лежит

между

кривыми

^

=

0,99f(A/)

2X1

и

—

= 2X1 — Г

2

2

Из рис. 2-20

также следует,

что для

значений

У > 1

приближенно

можно считать

а і / = я / 2 . В этом

случае на

длине

обмотки

укладывает­

ся четверть

волны

простран­

ственной

гармоники,

а

ги­

перболическая

составляю­

щая

оказывает

лишь

незна­

чительное

влияние.

При

малых

значениях

XI

для

пространственной

основной

частоты

можно

записать

Рис. 2-20. Зависимость

про­

я / 2 > « і / > 0 ,

т. е. нельзя

при­

нять

приближенно,

что дли­

странственной

частоты

первой

не

обмотки

соответствует

гармоники

напряжения

от

па­

раметра Od для

обмотки

с

изо­

четверть

волны

и

гипербо­

лированной

нейтралью.

лическими

членами

прене­

брегать

нельзя.

Для определения

квазистационарного распределения

du/dt = 0.

Тогда получим:

(2-128)

ді/дх = 0

(2-129)

i(x) = i' = const;

(2-130)

дх

-ô^(j-J^M{x,s)ds.

(2-131)

u{x)=l

-dJf(rJ^dx

j ' M(x,s)ds.

(2-133)

ді

fNYï-Ciri

n

dx

M (x, s) ds;

Jo

Jo

d L

1

(2-134)

dt

(j-^j J' dx

J' M(x, s) ds

[Х

dx

V M

{x,

s) ds

upf(x)=l

-

-j?

jf

.

(2-135)

J

dx

\ M

(x,

s) ds

Подставляя в (2-135)

M (x, s) =

M0e~llx~sl,

получаем:

j * d j ' M (x, s) ds =

[2lx

-

1 +

e~Xx

+ e~xl

-

е-Ц1~х)]

(2-136)

и

^ldx^M(x,

s)ds=^[Xl-l-\-e-11}.

(2-137)

4 - 8

49