Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Геллер Б. Импульсные процессы в электрических машинах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 453 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

лю. При движении по обмотке волна будет затухать и деформироваться.

Теперь рассмотрим переходный процесс. Переходные процессы в обмотке возникают потому, что начальное и конечное состояние ' физического процесса различны. Вначале исследуем условия при единичном импульсе в обмотке с заземленным концом. В первый момент вре мени напряжение распределяется по емкостям. Однако для этого требуется определенное, хотя и очень малое, время вследствие образования токами смещения магнит


ного потока. Согласно расчету Фациоли					(Faccioli) 1 это
время составляет		лишь несколько		сотых	микросекунды,
т. е. очень	мало	по сравнению с		продолжительностью
переходного	процесса		от начального емкостного распре
деления напряжения			до установившегося		состояния. По
этому им можно		пренебречь.

Дифференциальное уравнение начального распреде ления напряжения

ыо = «(х, 0)

может быть получено, если в схеме (рис. 2-2) учитывать только емкости. Тогда для узловой точки Р действитель но уравнение

(u.+£dx)	C	é x	+ ( - £ d x 4 +
	1	dx	dx
Отсюда

Граничные условия будут следующими: для начала обмотки х = 0, «о=1;

для заземленного конца х—1, и0 = 0 (/ — осевая длина обмотки).

При этих начальных условиях решение (2-6а) полу чается в виде

» . = ^ і т 7 ^

<2 -'5 >

где

ч=ѵсік.

1 Gen. Electr. Rev., 1914, p. 749.

Рис. 2-3. Начальное распределение напряжения П Р ? импульсе в однослойнои обмотке с заземленным

Тогда градиент	Y ch Y (/ — x)
du»	Y ch Y (/ — x)
& ' дх	sh Y/

Максимальный градиент соответствует точке % = 0:

£макс = Ѵ c ^h	yl.
Принимая во внимание, что на	практике yl>3, мож
но принять cth yt=\, поэтому

е'макс = Y -

Значение градиента при единичном импульсе и равно мерном распределении напряжения по длине обмотки

Из этих выражений получаем:

Обозначив через Cg — Cl полную емкость обмотки на землю, через К& = КІІ — полную междувитковую емкость, можем переписать выражение (2-16) в следующем виде:

емакс = <7 1/1^7"= 0 а ' г д е a = VCg/A%.


Распределение напряжения							щ
ний	(уі)	представлено				на	„
рис. 2-3.		емкость			обмотки		і0о\
Входную
Сэ , соответствующую					началь
ному	распределению			напряже
ния,	можно	получить,			учиты
вая, что зарядный ток всех
элементарных			конденсаторов
равен	зарядному		току		конден
сатора Сэ . Зарядный ток пер
вого	последовательно					вклю
ченного конденсатора					с	емко
стью	(K/dx)	равен		зарядному
току	всей конденсаторной					цепи
обмотки. Напряжение					на	этом
конденсаторе		равно		(dufdx)dx.

для различных значе

Таким образом, можно написать уравнение для заряд-

к о н ц о м

д л я

р а з л и ч н ы х

з н а .

чений a=yl.

ного тока

(«*)*=. = -

dx ^ = СЭ (ßf)x_:

С9 = -К

(2-17)

Принимая во внимание (2-15), получаем:

Са = КY cth у/ = /(CA*) cth у/.

Учитывая, что обычно у / > 3 , cth -у*= 1, получаем зна чение входной емкости

			СЭ = Ѵ(СК).					(2-18)
По окончании переходного процесса наступает конеч
ное или квазистационарное				распределение напряжения
и тока вдоль обмотки. Свободные						колебания	затухают
благодаря	наличию		различных			сопротивлений.		Такое
квазистационарное			распределение			напряжения	uPf	мож
но получить		из (2-6), приравняв в нем нулю					производ
ные напряжения по			времени.
Таким	образом,		для конечного			распределения		напря
жения получаем:
			d2upf/dx2		= 0,
решением	которого		будет:
			Upf=Ax		+ B.			(2-19)
Принимая		во внимание граничные условия
получаем:		х = 0 ; « = 1		и	х — 1; ы=0,
			Upf=l—x/l.				(2-20)

Подставив		это	выражение в			(2-5), найдем		конеч
ное значение тока в обмотке:
Ток в	обмотке растет пропорционально времени. Одна

ко эти результаты справедливы только в случае прене брежения активным сопротивлением обмотки и внутрен ним сопротивлением источника тока.

Переход от начального	распределения напряжения
«о по уравнению (2-15) к	конечному распределению по

(2-20) сопровождается свободными колебаниями.

Значения свободных составляющих напряжения и и тока і, а также начальные значения тока и напряжения іо и «о для времени / = 0 связаны выражениями:

		Ир/(х , 0 )+и(х , 0 )=ио(*);			(2-2 2 )
		iPf(x,	0) +і(х,	0) =іо(дс).	(2-23)
Граничные		условия для обмотки с заземленным				кон
цом	при единичном		импульсе	будут следующими:
у	начала	обмотки х = 0		напряжение	всегда	равно
единице;			,

у конца обмотки х=1 напряжение всегда равно нулю. Принимая во внимание граничные условия, согласно

которым у начала обмотки			(х — 0) как начальное				«о (0),
так и конечное напряжения			ыР /(0) равны единице,				полу
чаем, что свободные колебания в начале					обмотки		(х = 0)
в любой момент времени		отсутствуют:
	и ( 0 , 0 = 0 .					(2-24)
Также будут отсутствовать в любой момент времени
свободные колебания	на заземленном				конце	обмотки:
	и(1,		/ ) = 0 .			(2-25)
Общее решение для свободных колебаний напряже
ния по уравнению (2-12)		запишем в форме
" = S (ап cos <хпх -\-[bn sin апх) cos <ont.							(2-26)
n
Из граничных условий (2-24) и (2-25) получим:
	а„ = 0;					(2-27)
а» =	/ і р	« = 1 , 2 , 3 . . .				(2-28)
Составляющая свободных колебаний					напряжения
и (х, 0 =		bn	sin —t	X cos wnt.		(2-26a)
	n
Результирующее	напряжение			e при единичном им
пульсе
е (х, t) = upf (х, t) - f и (х, t);
e (X, t) = 1 -	y	- f	bn sin ~ X cos <s>nt.				(2-29)
			n

Остается еще определить амплитуду Ьп. К ее расчету можно подойти,подставляяf== 0 в (2-29) и используя (2-15) для начального распределения напряжения. Тогда

J J ^ A - ^		J Î I	^	- W	. (2.30)
причем
Умножим обе части		уравнения		(2-30)	на sin	(kn/l)x
(где k — целое	число),	проинтегрируем			от нуля	до / и,
используя соотношения
			О при пфк.;
sin -у- х sin -г хах =			' !	при n = k,
I	"""" /		^2" I	при n = k,
I о
получим:
			гт
		f {х) sin — xdx
		j		.		(2-32)

Если подставить (2-31) в (2-32) и провести интегри рование, то можно найти значение амплитуды Ьп:

Окончательное выражение для напряжения е будет следующим:

sin — X

е (X, t) = 1 - *- -	2 J] fïSôMhïÔ 8 —		c o s	< 2 " 3 4 )
где n= 1, 2, 3 . . .
Используя (2-5),	запишем	выражение	для тока:
			пп
i(X, , = ±^Щ/[(Ѵ+І(т/)')		-иг-sin

(2-35)

Из (2-33) следует, что амплитуда колебаний быстро уменьшается с ростом п; для практических вычислений

достаточно принять во внимание первые шесть — восемь членов.

Проанализируем теперь поведение обмотки с изоли рованным концом при единичном импульсе.

Для начального распределения действительно диф ференциальное уравнение (2-6) с граничными усло виями:

( àu0	\	1	при х = 0;
		=	0 при х — І.

Решением, при котором эти условия выполняются, будет:

	Изменение		напряжения
«о	для	различных значений			Рис. 2-4. Начальное		распреде
уі	наглядно		показано	на	ление	напряжения	при им
рис. 2-4.					пульсе	в однослойной	обмотке
рис. 2-4.					с изолированным концом для
	Для входной емкости Сэ				с изолированным концом для
	Для входной емкости Сэ				различных значений		a = yl.
обмотки		с изолированным
концом		можно	написать	выражение,		аналогичное (2-18):
			C3	=	f(CK).		(2-37)

Для распределения напряжения и тока в любой мо мент времени будут действительны следующие гранич ные условия:

е = 1 при х — 0;

г —I— == 0 при х = 1.

Это означает, что напряжение на входе катушки по стоянно и равно единичному напряжению, в то время как

полный	ток	на	изолированном			конце обмотки	равен
нулю.							полного
Из	(2-4)	и	(2-5)	получим	выражение для		полного
тока:
		1 + 1к =		~ г \ ш а	1	~ К дх dt'
Полный ток для конца обмотки
						да	(2-38)
	< < - + У < = - г К £ ) ,					Л - ^ т ( дх	(2-38)
	< < - + У < = - г К £ ) ,					Л - ^ т ( дх

Д ля выполнения условия	(і + ік)х=і = 0	в	уравнении
(2-38) необходимо, чтобы
(du/dx)*=i=0.			(2-39)
Подставив это условие в (2-19), получим			постоянное
конечное распределение напряжения вдоль		обмотки
ы Р / = 1 .			(2-40)
Для тока имеем:
і Р / = 0.			(2-41)
Свободным колебаниям	напряжения	для обмотки

с изолированным концом будут соответствовать следую

щие граничные	условия:
у начала обмотки в любой момент времени
			и ( 0 , 0 = 0 ;			(2-42)
у конца обмотки		в любой момент времени
		(ди/дх)х=1		= 0.		(2-43)
Условия для свободных колебаний в начале обмотки
с изолированным концом будут				такими же, как и в на
чале обмотки с заземленным концом.
Уравнение	для	свободных			колебаний	напряжения
запишем в форме
и (х, t) =			5J 6n sin anx		cos wnt.	(2-44)
			n
Принимая	во	внимание		-	граничное	условие
(ди/дх)х=і = 0,	получаем:
	а п = ля/2/, л = 1 , 3, 5 . . .					(2-45)
Определение амплитуды bn производится						так же, как
это было сделано выше:
	Ьп =	-	± 7 ^	^	- .	(2-46)

Результирующее распределение напряжения при импульсе в обмотке с изолированным концом определит ся выражением

nr. sin -gT X

(л-, 0 = 1 - 4 J] ХШІЩгйг	— и г " C 0 S
где n = 1, 3, 5 ...

Из полученных уравнений	видно,	что	вдоль обмотки
с заземленным концом укладываются полуволны прост
ранственных колебаний, а в	обмотке	с	изолированным

концом — четверти волн.

Пространственное распределение первых трех гармо ник при заземленном и изолированном концах обмотки

изображены	на рис. 2-5 и	2-6.	и
Теория Вагнера,несмотря
			wo
на большие	упрощения	и


Рис. 2-5. Пространствен							Рис. 2-6. Пространствен
ное	распределение					на	ное	распределение			на
пряжения		первых			трех		пряжения		первых		трех
гармоник		в	обмотке			с	гармоник		в обмотке с
заземленным			концом			в	изолированным			концом
момент времени				/ = 0 .			R	момент	времени		?=0.
/ — начальное			распределе				/ —• начальное			распределе
ние	напряжения;			2 — конеч			ние	напряжения;		2 — конеч
ное	распределение				напря		ное	распределение			напря
жения.							жения.

приближения, в целом дает правильную качественную картину явлений в обмотке при импульсе, хотя следует иметь в виду, что она пригодна только для основной гар моники.

2-3. Влияние взаимной индукции между витками

на свободные колебания в обмотке (приближенное решение)

Теория Вагнера пренебрегает общим потоком, охва тывающим все витки обмотки. В противоположность ему Вильгейм (Willheim) [Л. 2-3] предполагает, что все вит-


				ки обмотки сцеплены с од
				ним и тем же магнитным по
				током.		С	помощью			этого
				упрощения			ему удалось			эле
				ментарным			способом			опре
				делить		основную			частоту
				свободных			колебаний			при
				импульсе в обмотке с изоли
				рованным			концом. При этом
				предположении				пространст
Рис. 2-7.	Пространственное			венное		распределение				на
распределение	напряжения		ы*	пряжения			Ui вдоль		обмот
и тока і в обмотке с изолиро				ки	получается			линейным
ванным концом		при сильной		(рис. 2-7).
магнитной связи		между	вит					этой	схеме
ками.					Поскольку в
				не	учитывается			емкость

между витками, цепь тока замыкается через емкости на

землю.
Подставляя в (2-3)	(2-48)
Ыг = ах	(2-48)

и принимая во внимание граничное условие для конца обмотки

х = 1, і = 0 , получаем для тока і в обмотке при і к = 0 :

і = 1

(2-49)

где / — ток в начале обмотки.

Пространственное распределение тока имеет парабо

лический	характер. Среднее					значение тока	'составляет
2 /з тока в	начале		обмотки. Этот емкостный				ток создает
в обмотке	падение		напряжения
			U=mL0.~I,				(2-50)
где L0—полная		индуктивность				обмотки.
Поскольку емкостный ток в начале обмотки обуслов
лен средним		напряжением		(7/2, он равен:
			т	и	г		(2-51)

где Cg — полная емкость обмотки на землю.

Подставив выражение V из (2-50) в (2-51), получим:

(2-52)

L0Lg

Уже в 1919 г. в своей работе Блюм и Бояджан [Л. 2-2] принимали во внимание взаимное действие друг

на друга

пространственно удаленных витков.

Обозначив Ф(х) —магнитный поток в точке х обмот

ки, N — общее

числов

витков

и / — осевая длина

обмот

ки, получим

градиент

напряжения в точке х:

да

(2-53)

dt"

Полный поток Ф может быть представлен как сумма

потока Фп, пронизывающего все витки

обмотки,

и пото

ка

рассеяния

Фі.

Полагая, что линии

магнит

XXX о о о х х х х о о о

ной

индукции

потока

рассея

ния

замыкаются, как

показано

на рис. 2-10, причем

эффек

тивные

радиальные

длины

всех магнитных линий

равны

Рис. 2-8. Направление маг

друг другу и ток распределен

нитных

силовых линий

по

равномерно по сечению

обмот

тока

рассеяния

для

л-й

ки, получаем

согласно

первому

(2-й) гармоники.

уравнению -

Максвелла

для

магнитной индукции в точке х

(рис. 2-8):

В(х)=^

f * W j c + ß ( 0 ) ,

(2-54)

где ß(0 ) —магнитная индукция в радиальном

направле

нии в точке х = 0,

|і0

= 4я10 - 7

Г/м.

Тогда

магнитный

поток,

сцепленный

с витками в точ

ке

x, равен:

<P(x) =

2%Rm^

Bdx

2тс/?т

j£

Pa 1

rfxj

idx-\-

27t#mj

Я(0)Ас +

Ф(0),

(2-55)

где 2nRm — средняя длина одного витка.

<<< < Предыдущая 1 23 / 453 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ