книги из ГПНТБ / Геллер Б. Импульсные процессы в электрических машинах

д*а

N

дгФ _

fN\2

2nRm

61

дх'~~

l dx*dt

\l )

h

dt'

Если

L '

= н

,2-57)

и = £ / Л / з и с .

то из

(2-59) получим:

a4 —L'KaSù2 —L'C<B2 =0;

(2-60)

Ш = - 7 Т

Г д- м -

(2 - 6 1 )

K [ L ' C ( 1 + H ]

Из

сравнения (2-9)

и (2-61) следует, что

согласно

тичная зависимость, в то время

как согласно

Вагнеру

они связаны линейно.

Кроме того, по теории Блюма и

Бояджана

отсутствует

граничная

(критическая)

частота

(Окр (при

а —>-оо получим со—»-оо).

Дальнейший

ход

решения для обмотки с заземлен­

ным концом у Блюма

и Бояджана точно такой же, как и

у Вагнера. Вдоль

обмотки с заземленным концом укла-

Таким

образом,

каждой

пространственной

гармони­

ке

соответствует своя индук­

тивность.

Для

определения

этой

индуктивности

U [урав­

нение (2-57)] нужно разде­

лить обмотку в осевом на­

правлении

на участки, длина

которых

составляет четверть

Рис. 2-10.

Схематическое

изо­

длины волны п-й

гармони­

бражение

магнитного

потока

ки. На рис. 2-10 представ­

в

обмотке

от

второй гармони­

лено

такое разделение об­

ки

тока.

мотки на четыре части для

второй

гармоники.

Количество участков в общем случае будет:

Если

h—амплитуда

п-й

пространственной

гармони­

ки тока

и N—полное

число

витков, то число ампер-вит­

ков элемента

длины

dx составит:

/„N

cos

дпх

dx.

(2-64)

d (af) =•--—-

2 г

Магнитная

индукция в

радиальном

направлении

в точке

X

В\х)'=

ft,

X т f* c

o s Ч г

d x = Ъ Ж-

f r s !

n

' (2-6 5 )

где h— средняя длина магнитной линии.

Магнитный поток в элементе dx при средней длине

витка 2nRm

равен:

dd> =

B(x)2nRmdx

и сцеплен с числом витков

(N/l)x.

Полное

потокосцепление XY

всего

участка

(2-66)

Тогда из (2-67) получим:

(2-68)

Из сравнения (2-57) и (2-68)

следует:

L " = Z / / 3 .

(2-69)

+

с[~

/ { i " c « [ 1 +

§ W ' ] }

( л =

1,2,3...)-

(2-6 la)

Здесь

Cg — полная

емкость

обмотки относительно

земли

и

Ks — полная

междувитковая

(продольная)

ем­

кость

обмотки.

Аналогично можно записать для обмотки с изолиро­

ванным

концом

(«л)2

(л = 1,3, 5 ... ).

(2-616)

Y\L"c,

Хотя величина L " не имеет непосредственного физи­

ческого

смысла,

она

может

быть

найдена

эксперимен­

тально из (2-68).

Если пропустить переменный ток по участку, которо­

му соответствует

четверть

пространственной

волны,

а со­

седний

отрезок

замкнуть

накоротко,

то

измеренная

в этом случае индуктивность L K

равна

двойному

значе­

нию индуктивности

рассеяния L ' q :

Z/K — 2Z,'q.

(2-70)

Для

L ' q можем

записать

L'ç=

t/q_ Nx 2nRmNx

.

N*2nRJ*

. „ .

fi,0

111

l

ax— [ a

0

— й ; 8 Я

/ І ,

—

i,oLq.

(г-/1)

Jo

f~0

й/239

3

Из

уравнений

(2-68)

и

(2-71)

получаем

(2-72)

Таким образом, значение

L " может

быть определено

с помощью (2-72) из опыта короткого замыкания,

а зна­

чение U определяется из (2-69).

Отношения, полученные Блюмом и Бояджаном,

могут

быть уточнены с помощью

расчета

магнитного

поля

(тУ

(2-73)

+ с

где

1

(2-74)

1 _

е-(п*Ь)/1

у -

nnb

М(х,

s)=M\x—s\.

(2-75)

На рис. 2-11 показано отношение

[М(х, s)]/M0

для

двух одинаковых витков в воздухе в зависимости

от от­

ношения а/г

\x—s\/r=a/r,

где Mo — коэффициент

самоиндукции

витка; г — радиус

витка.

\ M

" I

I M

a.

. —

И

ijv

0,8

\

1.« Jк

О,В

Щ

7

0,2

a.

го

b

1,<Б

О

Рис.

2-11.

Зависимость

Рис.

2-12.

Зависимость

взаимной

индуктивности

взаимной

индуктивности

двух

витков

в воздухе от

двух витков, размещенных на

расстояния

между

ними.

магнитно-экранированном

стальном

сердечнике,

от

расстояния

между ними.

Если

железный

сердечник

экранирован

сплошным

металлическим цилиндром,

то

зависимость

[М(х,

s)]fMo

от (а]Ь)

показана

на рис. 2-12,

где b — радиальное

рас­

стояние между обмоткой и экраном.

В этом случае Ма определяется формулой

М0 = 4*г In j /

[

+

1 ] 10-

(2-77)

Если сплошной

металлический

экран на

сердечнике

висимость

[М(х,

s)]/M0

от (а/1)

будет иметь

вид,

пока­

занный на рис. 2-13, где / — аксиальная

длина обмотки.

В этом случае выше определенного расстояния

между

витками зависимость

М(х,

s)

становится

отрицательной.

Теоретические

исследования

[Л. 2-21] показывают,

что кривая

M(x,s)/Mo

примерно

соответствует

кривой

М/Мо

для

полностью

экранированного

сердечника

(рис. 2-12), смещенной на постоянную величину

( —о т ) .

На рис. 2-14 приведены измеренные и рассчитанные

значения М/М0 как для

случая

короткозамкнутой вто­

ричной

обмотки

(кривая 1),

так и для случая

экраниро­

ванного

магнитопровода

(кривая 2) в зависимости от

а/1 [Л. 2-21]. Из

рисунка

видно, что начиная с а/1—0,25

кривые идут приблизительно

параллельно.

3*

35

ймной

индуктивности M(x,s)

сильно зависит

от частоты.

Из-за

потерь в

железе M(x,s)

становится

комплексной

величиной.

приведены значения M(x,s)

На

рис. 2-15

[Л. 2-6], из­

Щ

1,25\ M

m

В Л

1,0

0,6

0,75

0,5

\

0^25 л

л

О

\\

V

s

-0,25

sч

-m

-0,5

,

о

го

w

so

so 7öo 4

О

25 50

75

. 700%

Рис.

2-13.

Зависимость

Рис. 2-14. Измеренная

и

рас­

взаимной

индуктивности

считанная

зависимости

взаим­

двух

витков,

расположен­

ной

индуктивности

двух

вит­

ных

на

железном

сердечни­

ков, расположенных на желез­

ке,

при

короткозамкнутой

ном сердечнике, при коротко-

вторичной обмотке от рас­

замкнутой

вторичной

обмотке

стояния

между ними.

(кривая / ) и при сердечнике,

экранированном

сплошным

ци­

линдром

(кривая 2),

от

рас­

стояния

между

ними.

следующими

параметрами:

сечение

сердечника

64 см2 ,

рения были проведены на частоте 15 кГц

(кривая

/ ) и

18 кГц

(кривая 2).

На

рис.

2-16

в качестве независимой

переменной

взято

отношение

\х—s\/b

— a/b, где Ь — радиальное

рас­

стояние между обмоткой

и сердечником [Ь =(20—9,3) /2 =

= 5,8 см].

Анализ показывает,

что действительная

зависимость

М(х,

s)

для

всех

рассмотренных случаев

может

быть

представлена

простой экспоненциальной функцией.

Эти

Для воздушной катушки (рис. 2-11)

Af/Af 0 =e - 3 ' 1 5 a / r .

(2-78)

M

ИНГ M

NX

US

1,0

J, о

0,1

С^--

0,S\

О,

a

w

o,s

Ь

20

SO

40

см

2

ï

6

8

О

Рис.

2-15.

Зависимость

взаим­

Рис. 2-16. Измеренная и

ной

индуктивности

двух

вит­

рассчитанная

зависи­

ков, расположенных на желез­

мость

взаимной

индук­

ном

сердечнике,

от

расстояния

тивности

двух

витков,

между

витками

при

частоте

расположенных

на

же­

15 кГц

(1)

и 18

кГц (2).

лезном

сердечнике,

от

отношения ajb.

Для

экранированного

сердечника

(рис. 2-12)

АГ/М0=е-2.2а/ь.

(2-79)

Для

неэкранированного

сердечника

(рис. 2-16, / =

- 18 кГц)

M/Afo=e-°'2 8 a / 5 '8 .

(2-80)

Ф(л:) = р j'Af(jc,s)t(s)dsf

(2-81)

, du

d3a

(2-83)

дх

w

ôx2dt

Из этих двух

уравнений

путем

преобразований

полу­

чим

для

тока

дЧ

/N\*

Çl

^дЧ ,

I I

дх2

Полагая

(2-84)

i =

f(x)eM,

(2-85)

Получаем

[Л. 2-С]:

- g = -

»47 fJ-J^

M (x, s) f (s) ds +

+ш*к (?)2 Ѣ£Ж

^s^ (s)ds-

^

дЧ

N\2

д*Ф

С ( ? ) " £ = а

(2-87,

d x i J r ^

уі

J

dx2dt*

Кроме того, согласно (2-81) имеем:

Ф = Г J ' M(\x-s\)i(s)ds

=

— - Г Р М(х

—

s) i (s) ds +

M{s

— x)i (s) ds

. (2-88)

" r l J o

дч

1

гд*Ф

_ N

д*_ Г* <РМ (x —

s)

. ,

дх2

N

д2 Çl d2M (s —

x)

ids

(2-90)

'l

дх2)х

dx2

Подставляя

это выражение

в

(2-87),

получаем:

dM

дх*

l dx2

L

dx2

ids

-

I

[ dx

о

N д2

Cl d2M(s —

x)

N

f „

д4Ф

д2Ф

'dx2

r

dx2

•ids

+г

Г

-

Г

= 0.

Полагая

(2-91)

jwt

<£ =

(2-92)

получаем из (2-91):

F{x)e

d 4 F _ y V

rf2

Cx

d2M(x-~s) ids-)- j"' d2M

(s — x) ids

L.-'o

rfx2

:0.

(2-93)

М{\х—s\)=a

+ b\x—s\.

(2-94)

Когда

а*М/ах2 = 0, {dMjdx)0

= b

уравнение

(2-93)

имеет вид:

d*F

-2b

N\2

d2F

2Ьшъ

CF^O.

(2-95)

dx*

2K dx2

Это уравнение Блюма и Бояджана

для свободных ко­

лебаний в обмотке.

Приведение

интегродифференциального

уравнения

к дифференциальному

возможно также в случае, если

функция М(х, s)

удовлетворяет

соотношению

fх

M (x -

s) ids +

Г1 M {s ..-г x) ids]

,

(2-96)