книги из ГПНТБ / Геллер Б. Импульсные процессы в электрических машинах
.pdfПостоянную ß, можно определить, если подставить частный интеграл В,е~р * в (3-25):
|
B ^ U ^ - ^ - . |
(3-28) |
||
Вторую |
постоянную |
В2 |
получаем |
из условия |
(dU2/dx)х=о |
= 0 для изолированного конца |
обмотки: |
||
|
в. = |
- в , 4 - |
(3-29) |
|
Напряжение на изолированном конце В обмотки низ |
||||
шего напряжения |
|
|
|
|
U, |
|
С |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
CU. |
|
(3-30) |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
и,я= |
|
|
(3-31) |
|
С.»[і + Р |
|
||
Формула (3-31) хорошо согласуется с выражением,
которое было дано |
в работе Абетти [Л. 12-7]: |
||
и,а = - |
|
си0 |
(3-32) |
Cos -Ь |
(CtC02 |
+ CSC) |
|
Расчет напряжения на изолированном конце обмотки низшего напряжения (точка В) проводится, таким обра зом, по (3-32) или (3-31). Приводимое в литературе вы ражение для напряжения
и » |
= ио-сТс7 |
( 3 " 3 3 ) |
можно рассматривать |
лишь как приближенное, |
которое |
в отдельных случаях, как показал Абетти [Л. 3-5], приво дит к ошибкам до 100%.
100
П р и м е р . |
|
|
|
|
|
|
|
/Сі = 40 пФ, К2=20 |
|
пФ, С = 3 0 0 0 |
пФ, d = 2000 пФ, С 2 = 6000 пФ. |
||||
Согласно (3-33) |
имеем: |
|
|
|
|
||
|
|
|
_ |
3 000 |
|
|
|
|
^ 2 |
0 |
3 ООО + 6 ООО 0 • 3 3 • |
|
(3-34а) |
||
Используя (3-31), |
получаем: |
/ 5 |
ООО |
|
|
||
|
|
|
С Р І |
|
|
||
|
/ |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 000 |
15; |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2lt |
=• |
|
|
3 000 |
|
= 0,163. |
(3-346) |
|
|
/ |
15 8 |
||||
|
— |
|
|
|
|
||
|
(3 000 + |
6 000)^1 + ^ t " J |
|
|
|||
3-3. Приближенная теория свободных колебаний
в двух магнитно-связанных обмотках
Рассмотрим переходные явления, исходя из упро щенной схемы замещения обмотки, показанной на рис. 3-5. Будем принимать во внимание взаимное индуктивное
влияние |
только |
двух витков обеих обмоток, лежащих |
|
в одной |
плоскости. |
||
На |
рис. 3-5 |
изображены |
|
также |
емкости |
обмоток от |
|
носительно земли.
Взаимным емкостным влиянием и взаимным ин дуктивным влиянием витков обеих обмоток, находящихся в различных плоскостях, а также между витковыми ем костями обеих обмоток пре небрегаем. Полученные ре зультаты имеют значение главным образом для основ ной пространственной гар моники.
Введем следующие обо значения:
Рис. 3-5. Упрощенная схема для расчета свободных коле баний в двух магнитно-связан ных обмотках.
Ci, Ci — емкости обмоток 1 и 2 относительно земли на единицу осевой длины; L b L 2 — собственные индуктивно сти обмотки на единицу длины; M — взаимная индуктив-
101
ность между обмотками на единицу длины; L 0 , М0 — соб ственная индуктивность и взаимная индуктивность обеих обмоток, связанных общим (главным) магнитным по током через стальной сердечник.
При принятых обозначениях запишем выражения для мгновенных значений напряжения и и тока і:
(3-35)
-де=с>ж> (3-36)
*) О |
JO |
(3-37)
Дальнейший расчет проводится с помощью преобра зований Лапласа, связывающих изображение X и ори гинал х:
Из (3-35) - |
(3-38) |
следует: |
|
||
-™i-=pLlIl |
+ |
pMI!t |
+ pLll> |
\ l IJx+pM^114х\ |
(3-39) |
|
|
— dIJdx |
= pClUl; |
(3-40) |
|
-M±=pLJ2 |
+ pMI1 |
+ pL20 |
£ I2dx + pM0 £ Ixdx; |
(3-41) |
|
|
|
|
—аШх=рС2и2. |
(3-42) |
|
Продифференцировав |
(3-39) — (3-41) по x, используя |
||||
соответствующие подстановки и преобразования, |
полу |
||||
чим выражения для Ui и Uz. |
|
||||
|
|
-p^MM'-L^U^O; |
(3-43) |
||
^ - - ^ ( і ^ + l a ) ^ - p 4 c , c 2 (Ж2 - 1 , 1 . ) г / , = о . (3-44)
102
Представляя решение уравнений в |
форме |
|
|
|||||||
|
£/, = |
const е"'*; Ѵг~ |
const |
|
|
|||||
получаем |
характеристическое уравнение |
|
|
|||||||
а 4 |
- р 2 (LiCi + L2 C2 ) а 2 — р 4 С 4 С 2 ( M 2 — L i L 2 ) = О, |
(3-45) |
||||||||
решение |
которого |
будет: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
+ J/ [ ЛчС. + ^ . Ч .+ |
С |
і С г |
L i L s ) J J= ± |
p R i = ± pf |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ / [ (L'Cl ?LsCa J+C.C, ( ^ 2 - |
] } ; |
(3-47) |
||||||||
- | / [ ( : ' C l f î C i ) ' + C , C 2 ( t f - |
L , L 0 ] } = ± ^ . = ± Y |
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
f |
|
|-f- І2С2 |
|
|
|
|
|
|
|
К |
і |
2 |
|
|
|
|
|
- V [ { L l C |
l i |
І |
г С г |
) + С A |
( ^ 8 |
- |
} • |
(3-49) |
||
Поскольку |
имеет |
место |
неравенство M 2 < L i L 2 , |
то і?і |
||||||
и Р 2 — вещественные |
положительные |
числа, |
причем |
|||||||
После |
преобразований |
получаем: |
|
|
|
|||||
|
Ѵх = |
К . е * + |
|
|
+ /С,вт * + |
К,е-"х; |
|
(3-50) |
||
или |
[/, = |
V |
+ |
К%е-*+/С,ет*+К^* |
|
|
(3-51 ) |
|||
|
|
ß x + 4 2 s h |
|
^x+A3chyx+AiShух; |
|
|||||
І / І = Л І С Ь |
|
(3-52) |
||||||||
|
=A s ch |
+ A g sh ß x + А 7 |
ch у* + А8 sh ух. |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-53) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЮЗ |
Коэффициенты |
Ai—Л8 |
являются |
постоянными, |
кото |
|
рые определяются из граничных условий. |
|
||||
Аналогично получим для токов h |
и / 2 согласно |
(3-40) |
|||
и (3-42): |
|
|
|
|
|
h : - pCt |
{ài. S h |
ch ß* + ^ - sh ЧХ + |
|
||
|
4 - ^ c h Y . ^ + ß . ; |
|
(3-54) |
||
- pC2 (é±sh |
?x + |
ch ß.x + |
sh 4x + |
|
|
|
+ 4f |
c h T ^ ) + ß 2 . |
|
(3-55) |
|
Постоянные интегрирования J5i и B2 определяются путем подстановки (3-52) —(3-55) в (3-39) и (3-41).
Между постоянными интегрирования существуют сле дующие соотношения:
AS=XAT;
л 6 = х л 2 <
где |
|
|
|
|
|
X |
р*МСг |
|
|
|
мс2 |
|
|
|
|
||
|
А1 = КЛ3 ; |
|
|
||
|
Л8 |
= |
КЛ4 , |
|
|
где |
|
|
|
|
|
, |
Ч2 — p2LlC\ |
_ |
Rl |
— |
LiCi |
|
р2МС2 |
|
|
мс2 |
|
Заметим, что X и Y не зависят |
от р. |
||||
Постоянная интегрирования В2 |
определяется |
||||
жением |
|
|
|
|
|
B, = dt |
| " ^ - ( c h ß / _ l ) + ^ | - s h ß 1 ] + |
||||
+ i 2 ^ ( c h T / - l ) + ^ s h T / " .
где
Xbx + b2
(7}a3 — a2a^
(3-56)
(3-57)
(3-58) (3-59)
выра
(3-60)
(3-61)
104
6 1 = = C 2 ( a a L 2 0 - а,Мй)\
a i |
= |
Ct (M-\-MJ)\ |
|
a2 |
= |
C, (L. + |
L^/); |
a3 = C 2 ( M + |
M 0 / ) ; |
||
Используем полученные соотношения для случая, ко гда обмотка /, к которой приложен импульс, заземлена, а обмотка 2 имеет заземленный конец и разомкнута.
Для прямоугольного импульса напряжения с ампли
тудой Uo граничными |
условиями будут |
следующие: для |
|||||||||
х = 0 |
(начало |
обмотки) |
Ux=Uo и тогда |
из (3-52) |
сле |
||||||
дует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Л = Л , + Аз; |
|
|
(3-63) |
|||
для |
х=1 |
напряжение |
U2=0 |
и согласно |
(3-52) |
|
|
||||
|
|
Ai ch ß / - M 2 s h |
ß/ + /43 chY/+^4shv/ = 0. |
|
(3-64) |
||||||
Решив |
(3-53), (3-56) —(3-59), получим: |
|
|
||||||||
|
XAich |
ßl + XAzsh |
|
|
$l+YABchyl+YAtshyl=0; |
(3-65) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
х = 0 ток h — 0. |
Из |
уравнения (3-55) получим: |
||||||||
|
АА \ |
(ch ß/ - |
|
1 ) + |
А, (Х і + |
dx \ |
sh ß/ ) |
+ |
|
||
+ |
A2d2 -L |
(ch у/ - |
1 ) + Л4 ( Fß + rf2 |
±- |
sh Y / ) = |
0. |
(3-66) |
||||
Решив эти уравнения, определим постоянные интегри |
|||||||||||
рования Ai, А2, As, Л4 : |
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
= - |
£/0 |
— — |
; |
(3-67) |
|
в |
|
|
|
|
|
— |
d2 cth |
В / + ßF cth р/ cth |
Y ' |
|
л2 = |
t/0 |
|
д |
. |
(3-68) |
105
|
|
— dx |
+ |
YA' cth \\l |
|
|
|
|
A = Ua~ |
|
д |
|
; |
|
(3-69) |
|
-y- |
dt cth Y |
' + ïA' cth §1 cth |
Y / |
|
||
A, = |
~Ua • |
|
|
~ д |
|
. |
(3-70) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
rf,-Ï—d2 |
- L - f |
YXcth |
M-pYcUitf. |
|
||
Выражения для постоянных A получились достаточно громоздкими. Для анализируемого случая вдоль обмот ки 1. укладываются примерно полуволны гармоник про странственных колебаний. В этом случае, однако, можно пренебречь результирующим током (J^ hdx j для об мотки 1.
Обмотке 2 соответствуют примерно четверти волн
гармоник пространственных колебаний, для |
которых ре |
|
зультирующий ток |
(JÔ^*) н е Р а в е н Н У |
Л Ю - Однако |
образующиеся в разомкнутой обмотке 2 токи незначи тельны, так как они замыкаются через емкости обмотки на землю. Отсюда следует, что в первом приближении можно пренебречь общим для обеих обмоток магнитным потоком в сердечнике.
Поэтому в уравнениях (3-35) |
и (3-37) |
опускаем |
члены, |
||||||
соответствующие |
Jo |
I.âx |
и [' Ldx, |
а |
коэффициенты |
dx |
|||
и d2 |
|
|
Jo |
|
|
|
|
|
|
согласно (3-61) |
и (3-62) приравниваем нулю. При |
||||||||
этих |
допущениях |
(3-67) — (3-70) |
для |
постоянных |
Ai, |
Л2 , |
|||
Аз и А і значительно |
упрощаются. |
|
|
|
|
||||
Уравнение для |
£/2 можно записать |
в виде |
|
|
|||||
|
|
|
U2=UaXYX |
|
|
|
|
|
|
[cth "jl (cth р/ sh ßx — ch §x) + |
'y cth |
(ch yx — cth fl sh Y*)] |
/о |
ji\ |
|||||
X |
YA'cthß/ — [SKcthY/ |
|
|
\Ö~'4 |
|||||
или |
после преобразования |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
U2 = U0 |
|
|
thp/ —ïjth V |
' |
(3"72) |
|||
106
где
^ — /?, |
< о . |
(3-73) |
R2 L4C |
|
Для определения распределения напряжения в об мотке 2 непосредственно после падения импульса на пряжения следует принять согласно правилам преобра зования Лапласа в (3-72) р — оо.
Тогда получаем:
lim і |
^ |
1 |
= 0. (3-74) |
Начальное распределение напряжения в обмотке 2 равно нулю. Этот вывод объясняется тем, что не учиты валась взаимная емкость между обмотками.
Квазистационарное распределение напряжения полу чим, если в (3-72) подставим р — 0.
Для малых значений р
sh ß (/—х) ~ ß ( / — x ) , |
sin y (l—x) |
~y(l—x) |
|
; |
|
||
|
|
t h ß / ~ ß / , |
thyl~yl; |
|
|
|
|
при этом |
|
• c h ß / « l , с Ь у / ~ 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(^) Р =о |
= |
i/o m i - |
; ? I Y J ( |
l - X ) |
• |
|
(3-75) |
Это выражение |
с учетом |
(3-46), (3-48) и (3-73) мож |
|||||
но, записать в следующем виде: |
|
|
|
|
|||
XRi |
|
- x) - X |
Я 2 |
- |
|
|
„ |
(t |
-гг2- (/ - х) |
|
ч |
||||
(и^=и. |
|
|
=и. ( 1 - |
- |
f ) |
f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-76) |
Квазистационарное (конечное) распределение напря жения во вторичной обмотке 2 является лишь линейной функцией расстояния от начала обмотки. Этот результат не является неожиданным, так как конечное распределе ние в обмотке 2 определяется только передачей напря жения магнитным путем от первичной обмотки.
407
Общее выражение для свободных колебаний в любой момент времени может быть получено с помощью обрат
ного |
преобразования (3-72) по Хевисайду |
(Heaviside). |
|
С |
этой |
целью необходимо определить |
условия, при |
которых |
знаменатель выражения (3-72) |
обращается |
|
в нуль. Отсюда |
|
||
|
|
thß/ — г|Шу/ = 0 |
(3-77) |
или после подстановки соответствующих выражений для
ß, |
Y и |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
th pRJ—ц |
th pR 2 l=0 . |
|
|
|
(3-78) |
||||
|
Пренебрегая' активными сопротивлениями, мы долж |
|||||||||||||
ны |
получить незатухающие свободные |
|
колебания, |
что |
||||||||||
ведет |
к чисто мнимым корням уравнения |
(3-78). |
|
|
|
|||||||||
|
Подставив |
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
р = /со |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
(3-78), |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-79) |
||
|
Графическое решение этого трансцендентного уравне |
|||||||||||||
ния приведено |
на |
рис. 3-6, где представлены как функ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ция |
tg (ùRil, |
так и функция |
tg |
(äR2l, |
|||||
|
|
|
|
|
причем |
согласно |
|
предыдущему |
||||||
|
|
|
|
|
г|<Г0. Корни уравнения (3-78) |
опре |
||||||||
|
|
|
|
|
деляются точками пересечения |
кри |
||||||||
|
|
|
|
|
вых. |
|
|
tg&RJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|
обращается |
в |
||||||
|
|
|
|
|
нуль |
или бесконечность |
при |
х = |
||||||
|
|
|
|
|
= coi?i/ = njt |
(п = 1, 2, 3...) |
или |
при |
||||||
|
|
|
|
|
x = oïRil=nn/2 |
(п=\, |
|
3, 5 ... ), |
в |
то |
||||
|
|
|
|
|
время |
как |
функция |
tg aR2l |
будет |
|||||
|
|
|
|
|
равна |
нулю |
или бесконечности |
при |
||||||
|
|
|
|
|
x' = csR2t = nn |
( f t = l , |
2, 3...) |
|
или при |
|||||
|
|
|
|
|
x'='wR2l |
= nji/2 (п=\, |
|
3, 5 ... ) . |
|
|
||||
Рис. |
3-6 |
Графическое |
Заметим, что при расчете |
учиты |
||||||||||
решение |
|
уравнения |
ваются |
только первые точки |
пересе |
|||||||||
tg a>,Ril=r] tg |
(ùRzl. |
|
чения кривых, так как последующие |
|||||||||||
|
|
|
|
|
точки |
пересечения |
кривых |
|
соответ |
|||||
ствуют высшим гармоникам, для которых нельзя прене брегать междувитковой емкостью.
Если произвести обратное преобразование для основ ной гармоники, то получим соответствующее значение 108
напряжения в зависимости от времени:
",(*, 0 = ^ o ( l - - f ) - f +
X |
Y |
œs^RJ |
s i n <°*Ь С - *) - cos |
7 1 s i n W l / ? 2 ( Z _ ; c )
|
|
|
|
R,l |
|
tiRsl |
X |
|
|
|
1 I(cos2 «,/?,/ |
cos2 (o,^2 ; |
|
||
|
|
Xcosœ^ = |
f/0 ^l - |
J L ^ + F ^ c o s o ) ^ |
(3-80) |
||
Временная круговая частота a>i (основная гармони |
|||||||
ка) |
будет равна согласно |
(3 - 45) |
|
||||
ш = |
|
|
|
|
*.« |
|
|
|
/ Ѵ{^Сг + ЦСг |
+ |
Y[{LlCx |
+ і г |
С 2 ) 2 + 4Сг Сг (Af* - /:,!,)]}' |
||
причем |
0 , 5 < І & І < 1 . |
|
|
|
(3 - 81) |
||
|
|
|
|
||||
При |
симметричном |
расположении обмоток |
(Li = L 2 = |
||||
= L , |
Сі = С2 = С) |
имеем: |
|
|
|
||
Для первичной обмотки /, на которую падает им пульс напряжения, имеем в операторной форме:
•["5Tprs h p ( / — х ) — c h f s h U l ~ x ) } .
У* ~ Uо - |
th р/ — у) th чі |
' |
(3"83) |
Оригинал "этого выражения имеет вид:
cos
s i n ю Л |
( * - * ) - c o s « , « , / ^s i n W l / ? 2 ( г |
- X ) |
|||
W l |
\^cos2 (äjRJ |
cos2 w,fl/J2 |
* |
||
|
/ |
Rii |
null |
\ |
|
|
Xcosm,* = [/, |
— - 7 - )+^, cos <•>,*. |
(3-84) |
||
|
Отношение |
амплитуд |
соответствующих |
колебаний |
|
в |
обмотках 1 и 2 получим |
из (3-80) и |
(3-84) : |
|
|
^ |
_ co s «,/?./ |
- X) -cosJi/?)|f sin <»,/?, ( < - x ) |
|||
p t |
— |
|
у |
' |
(3"85) |
|
cose,/?,/ s i n |
( ' - * ) - |
cos a,/?,/ ^s i n |
w >*» |
|
109