Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 313 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

условие равенства порядков электромагнитной силы и сил инер

ции

в вязком

слое можно сформулировать ка к H a 2 « R e

/ д

В частном

случае

плоского пограничного слоя

І ^ ^ О * ш о =

магнитного

поля,

ориентированного

по

оси у,

электри

ческое п о л е = c o n s t = BY

и уравнения

(1.25) запишутся в

сле

дующем

виде:

ди0

др0

д2ііо

ду

дх

ду>

дх

ду

Иную

форму

уравнениям слоя

можно

придать

при N » l , т. е.

' при Н а 2 » R e . Тогда инерционными

членами в

(1.22) можно

пре

небречь,

а электромагнитный

и вязкий члены

д о л ж н ы

быть

од-

ного порядка:

^ - r ^

= N =

. Отсюда

имеем [9]

Re б 2

4 --RT

( H a * , ) -

( 1 ' 2 7 >

При этом оказывается, что в (1.23) и (1.24)

электромагнитный,

член на порядок выше вязкого (первый имеет

порядок

N - H a „

второй — N ) . Таким образом, электромагнитные силы

этих

уравнениях могут быть уравновешены лишь

силами

д а в л е н и я .

Это

определяет

масштаб

давления

следующим

образом:

Р =

На

= p J 7 2 — . Н о тогда продольный градиент

давлення в (1.22)

ста-

новится

пропорциональным

-j-

и им

можно

пренебречь.

Р а з л а г а я

искомые

функции

в р я д по малому параметру Н а ~ ' „

получаем уравнения МГД - пограничного слоя

в сильных

магнит

ных

полях в

форме:

д*цр

дЬ0

дщ

д(р0

° = ^ + - d ¥ - + ^ B * - J y - B z - U < > B * - U o B * "

Q = - l P ду± + U O B X B V - ^ - dzB X - ,

(1.28)

0 = - 1 EdzL + U Q B X B Z +ду^ B X ,

а уравнение	д л я потенциала	и уравнение	неразрывности оста
ются такими же, что и в предыдущем случае			(1.25). Возникнове
ние при N » l	существенного	поперечного	градиента давления

означает, что для пограничного слоя на пластине, например, при лродольном ее обтекании возникает подъемная сила, с р а в н и м а я с силой трения [9]. Разумеется, для этого необходимо, чтобы по

крайней мере две составляющие магнитного поля, включая

ВХ,

были отличны от нуля.

Своеобразная

ситуация

возникает,

если

в уравнениях

(1.23)

и (1.24)

электромагнитные

и вязкие члены

имеют один

и тот

ж е

порядок

L 2

L \

ус-

—

- , - = N —

. Тогда - . - =

-т -т — п единственным

\Re

б2

б /

Н а 2

ловпем

существования

такого

слоя

является

условие

Н а 2

» 1 .

Если при этом Ha2 ;ssRe,

то

вязкий член порядка N - H a 2 в урав

нении

(1.22)

может

уравновеситься

лишь градиентом д а в л е

ния (электромагнитный член в этом

уравнении —• 0 ( N ) ) .

От

сюда P = pU2N-Ha2.

Но

в таком случае поперечные

градиенты

1дР

I 1

давления

становятся

пренеорежимо

м а л ы м и

ду

1 \ Н а 1

\ ~ ~ 0

= 0

\ Н г й ) ) ' 3

Р а з л о ж е

н п е

ФУ н к Шій в

ряд

по малому

пара

метру Н а - 2

приводит

к одному

уравнению:

вкоторое электромагнитная сила непосредственно не входит.

Влияние

последней сказывается

на

величине 4^

создаваемой

на

границе

слоя.

Обратимся теперь ко

второму

случаю, когда

из

всех состав

л я ю щ и х

внешнего

магнитного

поля

присутствует

лишь

продоль

ная .

И з системы уравнений д л я

этого

случая

ди

L 2 І ^_дЧі_

d2u

| д2и

U l

^ + V l

y + W l t

e ~ ~

l t

e +

^ l

? \ l J l № +

ду2+д~&

(1.30)

L 2

dp_

U l I + V ^ + W J F ~ ~ ^ U 2 ~ ~ ¥ ' d y ' + R ^ ' 8 T ^

L 2

dy2 +

и	dw	dw	\-w	dw	Р L 2	dp	1 L 2	/ б 2	d2w	b
и		1-0	\-w	=			[-•—	I		b
	dx	dy		dz	PU2 б2	dz	'Re б 2	V L 2	dx2

d ± ( d w _ _ d v _ \ B

( 1 . 3 3 )

dy2

dz*

/ б

следует, что

в вязком пограничном слое

у~£ =

у^Г]

влияние

продольного

поля

неощутимо,

если N » l . Если

ж е

N ~ R e ,

т. е.

Н а я; Re, то

в слое возникают

существенные

поперечные

гради

енты

давления:

dp0

дфо

di/

o _ - ^ + J L ( * a - e , _ . l W ) ,

(5г

в то время

к а к основное уравнение движения

(1.30)

остается та

ким ж е , ка к и д л я немагнитного

слоя

(если P = pU2):

ди0

du0

др0

д2и0

d2u0

Щ ——\-v0-—-+w0

dz2

dy2

Рассмотрим

теперь условия,

при которых

можно

пренебречь

инерционными

членами

уравнениях

д в и ж е н и я

(1.30) — (1.32).

И з (1.30)

следует,

что д л я

этой

цели

во

всяком

случае

необхо

димо,

чтобы

L 2

Ц / Г " * " * » 1 '

но тогда в (1.31) и (1.32) поперечные градиенты давления могут уравновеситься л и ш ь электромагнитными силами . Отсюда ясно,, что величина магнитного поля д о л ж н а быть выбрана такой, чтобы обеспечить следующее соотношение м е ж д у масштабами:.

1 ^ 4	_ м _	Н а 2
~Re~6*"	~	Re '	Т - Є '

б1

— = - = ^ .		(1.35>
L	]/На

Условие (1.34) тогда означает, что H a » R e .

Т а к им образом, в сильном продольном магнитном поле урав нения пограничного слоя приобретают вид:

0 =	др0	д2и0		д*и0
0 =	—1———V-			dz2
	дх	ду2		dz2
0 =	_ ^ _ ^ і В х _ щ В х				2 .	( 1 > 3 6 )
	ду	dz
	дро	d(f0 Bx-w0Bx2
	dz	ду
	Пример использования уравнений (1.36) дл я анализа струй
ного течения		приведен в работе [12].
	В заключение		отметим, что возможны е формы уравнений
МГД - пограничного			слоя		не исчерпываются приведенными	выше.

Некоторые другие формы этих уравнений, справедливые д л я •сильных магнитных полей, даются, например, в работе [13].

§ 2. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Уравнения	М а к с в е л л а справедливы, вообще говоря, л и ш ь
д л я тех точек	пространства, в окрестности которых физические

свойства среды меняются непрерывно. При переходе через гра

ницу,	отделяющую среды с различными о, е	и (і, векторы поля
т а к ж е	могут претерпевать разрывы . Вывод	условий поведения

векторов поля на поверхностях р а з р ы в а можно найти в соответ

ствующих р а з д е л а х работ	[10, 11], здесь	ж е	мы дадим лиш ь
окончательную формулировку этих условий.				с 0\,
Обозначим индексами «1» и «2» величины в			средах		є ь
Ні и аг, 82, (.12 соответственно. Пусть т а к ж е		п есть	единичный		век
тор нормал и к поверхности	раздела, т — единичный			касатель

ный вектор. Тогда при переходе через поверхность р а з р ы в а не

прерывности	среды	н о р м а л ь н а я	с о с т а в л я ю щ а я вектора		индук
ции магнитного поля		В остается непрерывной:
( В 2 - В , ) - п = 0;					(1.37)
к а с а т е л ь н а я	с о с т а в л я ю щ а я напряженности			магнитного	поля	Н
претерпевает	р а з р ы в	на величину	плотности	поверхностных		то
ков к:
п Х ( Н 2 - Н , ) = к ;					(1.38)

к а с а т е л ь н ая с о с т а в л я ю щ а я	напряженности электрического поля
Е остается непрерывной:
п Х ( Е 2 - Е 1 ) = 0 ;	(1.39)

нормальная с о с т а в л я ю щ а я индукции электрического поля D = eE претерпевает разрыв на величину поверхностной плотности за рядов р:


( D 2 - D , ) - n		= p.							(1.40)
Если проводимость обеих сред конечна,							то	поверхностные
токи невозможны			и условие		(1.38) заменяется		на
П Х ( Н 2 - Н , ) = 0 ,									(1.41)
а если	к тому ж е		магнитные проницаемости				сред	одинаковы,		т о
(1.41)	совместно		с	(1.37)	означают непрерывность вектора					Н
(или В) при переходе через					границу	раздела .
Условия		(1.37) — (1.39)			являются	основными		((1.40)	не при
меняется в магнитной гидродинамике, оно лишь служит									д л я оп
ределения плотности				з а р я д о в по найденному			Е ) , из них при не

обходимости могут быть получены дополнительные условия . Так , если поверхность разрыва представляет собой неподвижную не

проницаемую

поверхность, на которой д о л ж н ы выполняться ус

ловия

прилипания

и непроницаемости

V x = 0 ,

V n = 0,

(1.42)

то из

закона

Ома

(1.4)

и условия

(1.39)

следует

непрерывность

касательной

. Н

составляющей вектора — = r o t — :

п х (

—

— ) = 0 .

(1.43)

И з

уравнения

div j = 0,

которое,

свою

очередь,

является

след

ствием применения операции div

к уравнению j = r o t H , по

ана

логии

с условием

(1.37) можно получить

условие

непрерывности

нормальной

составляющей плотности тока':

( j 2 - j i ) - n

= 0,

(rot H a - r o t H , ) - 1 1 = 0,

(1.44)

или, через

градиент потенциала

электрического поля,

O i — — = о 2 — ? - .

(1.45

дп

Сведения

о других

вариантах

краевых

условий

можно

найти

в работе

[6]. Здесь

ж е

мы упомянем лишь

условия

д л я электро-

магнитного	поля на бесконечности (имеется в виду		бесконечно
у д а л е н н а я	от струйного пограничного слоя область) . Если ско
рость спутного		потока есть V T C и внешнее магнитное	поле	на бес
конечности	есть	Boo, то электрическое поле в этой области		будем

определять из условия равенства нулю тока вне струйного по граничного слоя. Тогда

E 0 0 = - ( V X B )	оо	(1.46)
В частности,	д л я струи, распространяющейся	в покоящейся
среде,
Есо —0.		(1.47)

П р и анализе струйных течений помимо (1.42), (1.46), (1.47) применяются еще т а к н а з ы в а е м ы е интегральные условия сохра нения. Подробнее о них будет сказано в главе I I I .

П. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

К а к и в немагнитной гидродинамике, нелинейность					уравнении
Н а в ь е — С т о к с а — М а к с в е л л а			и вызванные этим трудности мате
матического х а р а к т е р а являются причиной				того, что	число	точ
ных	решений	в магнитной	гидродинамике	крайне	ограничено.
П о д	точным	решением будем понимать такое справедливое				в о

всем пространстве и д л я всех моментов времени решение, кото

рое получено при сохранении всех членов в определяющих			урав
нениях. Д и а п а з о н значений определяющих	параметров	(напри
мер, числа Рейнольдса) может быть как	конечным, так	и	бес

конечным. Вообще говоря, к таким решениям приводит рассмот рение течений двух типов:

а) течений, инвариантных вдоль некоторого направления в пространстве;

б) течений, для описания которых можно перейти от исход ной системы уравнений в частных производных к обыкновенным


дифференциальным			уравнениям .
К	первому	типу	относятся течения		с п а р а л л е л ь н ы м и	лини
ями	тока, где	к а ж д ы й		нелинейный член тождественно		равен
нулю.	П р и м е р а м и таких			течений могут	служить течение	Куэтта,.

одномерные течения в трубах, неустановившееся течение у бес конечной пластины, установившееся течение у бесконечной плас тины с равномерным отсосом или в поперечном магнитном поле,

продольное обтекание бесконечного цилиндра в поперечном				поле
и т. д.
Во втором типе	течений	нелинейные члены не равны		нулю.
П р и м е р а м и могут	служить	плоское и осесимметричное	течения
в окрестности критической точки, течение у бесконечного			враща
ющегося диска, струйные течения типа Л а н д а у , течение			в	плос

ком д и ф ф у з о р е (течение	Гамеля)	и т. д.
К точным решениям	иногда относят решения, в которых нели
нейные инерционные члены по		отдельности не равны нулю, но

взаимно уничтожают друг друга . Определенное из этого условия поле скоростей служит д л я точного н а х о ж д е н и я магнитного поля. Физически подобный подход предполагает м а л у ю вязкость жид -

костей и медленно меняющийся во времени процесс. Модели та ких течений привлекаются д л я объяснения в основном астрофи зических явлений [1].

В настоящей главе рассмотрение точных решений обоих типов будет ограничено з а д а ч а м и , в той или иной мере имеющими от ношение к струйным течениям. В § 1 будет приведен один из при меров решения первого типа с необычным д л я немагнитной гид родинамики эффектом возникновения равномерного (неразви вающегося по длине) струйного слоя при течении в магнитном поле; в § 2 исследован класс точных решений второго типа.

§ 1. ТЕЧЕНИЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРУБЕ СО СТЕНКАМИ Р А З Л И Ч Н О Й Э Л Е К Т Р О П Р О В О Д Н О С Т И В НАКЛОННОМ ПОПЕРЕЧНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассмотрим равномерное течение электропроводной ж и д кости с постоянными физическими свойствами в трубе, ось ко торой совпадает с осью х, в магнитном поле с составляющими

индукции		By	= B0cosa		и B z = 5 0 s i n a		(рис. 2.1). Такое		течение
описывается			следующей системой			уравнений:
0 =	дР			(	дНх	дНх	\		(2.1)
0 =	дХ	+ В0		( c o s a — - ^ - + s i n a — - р -				)+pvVWx;	(2.1)
	дХ	+ В0		( c o s a — - ^ - + s i n a — - р -				)+pvVWx;
	z			0 = У 2 Я : С і - \| - а В о		^cos	а - ^ у - + sma~gz~/		;
			І	Q =	42HX„

©V

2а

Рис. 2.1. Схема те чения в трубе в наклонном магнит ном поле.

где индекс «1» относится к области течения, индекс «2» — к области твердых стенок.

	Введем	безразмерные переменные х= —,
			а
У	а '	а '	а'

Т о г да система (2.1)

запишется

виде:

д2и

тт

dhx

d2h.

д21ц

т т

ди

ди \

(2.2)

ду2

+ ^ + H

a i c

^ +

n a ^ r ;

= ° ;

o s

d2h2

dzh2

т т

і /

£Л/2

022

Пусть

стенки

трубы,

п а р а л л е л ь н ы е

оси г,

электропроводны,

а две

остальные

—

из

непроводящего

м а т е р и а л а . Тогда гранич

ные условия

в безразмерных

переменных запишутся следующим

о б р а з о м :

и = 0

при

у = ±1

z =

±l\

Лі = 0

при

z=±l;

hx = h2

при

y=±l;

= 0

при

y = ± ( l + D ) ;

(2.3)

(З/і!

ai <3/z2 при

г / = ± 1 .

Условия

(2.3),

записанные

в первой

строке,

соответствуют

обычному условию прилипания жидкости к твердой стенке; за писанные во второй строке — непрерывности касательной со ставляющей напряженности магнитного поля при отсутствии

поверхностных			токов		на	границе р а з д е л а ; условия,		записанные
в третьей строке,				—	непрерывности касательной		составляющей
электрического			поля		Ez	на проводящих стенках,	п а р а л л е л ь н ы х
оси	z.	К р о м е (2.3)		д о л ж н о быть выполнено е щ е одно условие —
з а д а н и е расхода в				трубе:
а\ Ь
J	J	VxdYdZ=Q		= 4abV				(2.4)
—a — Ь
(V — с р е д н е р а с х о д н а я						скорость в т р у б е ) , которое	в	безразмер
ной форме примет				вид
I	I
f	Judydz=JL							( 2 . 5 )

если	определить		коэффициент сопротивления X и					число	Re	к а к
/	дР \	2а	п	Va
l=(-lor>W			R e = V -							( 2 ' 6 >
Аналитическое			решение		задач	(2.2), (2.3)	и	(2.5)	известно
пока лишь д л я некоторых частных случаев. Так, д л я									непрово
дящих стенок		трубы		(02 = 0)	при	произвольном	угле а. решение
было	получено	авторами работ [2, 3], однако их					результаты			м а л о

чем отличаются от решения [4] для случая магнитного поля, пер пендикулярного одной из стенок. Наиболее интересные резуль

таты	были получены Хаитом [5] для случая,							когда магнитное
поле	перпендикулярно проводящим стенкам						( а = 0) при допуще
нии,	что	эти	стенки,		имея	произвольную	электропроводность,
достаточно тонки, чтобы последнее условие из								(2.3) можно		было
записать		как
dhi		hi	при	у=±\,
ду		о*
т. е.	распределение			поля в		стенке считается		линейным		(здесь
*	Old	—	относительная			проводимость	стенки			ч
а =	— ^								и ж и д к о с т и ) .
Д л я		удовлетворения			граничным условиям			на	стенках	z=±l

Хаит представил решения и и h в виде ряда Фурье с коэффици ентами ряда, зависящими от у:

	СО				ОО
«=	^	ик(у) cosaftZ,		/г= ^		hh(y) cos ahz	,
	ft=0 ft=0
		oo
, =	т 2 ' - ' ) ' — '				—	W - s h -
После подстановки этих выражений в (2.2)							получаем следующие
уравнения д л я определения					коэффициентов		ряда:
u"k-ak2uk+		Н а	ft'fc=	^ — - ! •		;
h"k	— ah2hh+ Н а ы'Л = 0,
решение		которых	приводит		к	следующему	распределению ско

рости:

	ОО
« = —	А -	'—	— (1 -A ch rihy-B	ch r2hy) ,	(2.7)
1	ні		а3"

<<< < Предыдущая 1 23 / 313 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ