Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

III. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ МГД-ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.

ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

В этой главе будут рассмотрены струйные течения проводя щей жидкости методами теории пограничного слоя, причем рас смотрение ограничим безындукционным приближением, когда

наведенным магнитным

полем

по

сравнению

полем,

прило

ж е н н ы м

извне, м о ж н о

пренебречь. П о д

точным

решением

будем

понимать такое

решение, которое

дает

локальное

соответствие

поля

скоростей

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

уравнениям

пограничного

слоя,

то время

к а к от приближенного решения

(см. главу

I V )

обычно требуется л и ш ь интегральное соответствие.

Ограничимся

т а к ж е

плоской

осесимметричной

схемами

ис

течения

струй в

покоящуюся жидкость, причем во всех з а д а ч а х ,

за исключением

рассмотренных

§ 6,

физические

свойства

среды (плотность,

вязкость,

электропроводность)

будем

считать

однородными к а к в области

смешения,

т а к

и вне

этой

области.

П р и а н а л и з е

плоских струй примем, что внешнее магнитное

поле

расположено

плоскости

течения

(в

конкретных

зада

чах

—

ортогонально

основному

направлению

распространения

с т р у и ) . В таком

случае

при

отсутствии

внешнего

электрического

поля

наведенное

электрическое

поле

Е = 0,

если схема

работает

в р е ж и м е холостого хода генератора. Действительно, если маг

нитное

поле

имеет

составляющие

Вх,

Ву,

а течение

плоское

—

V = V (Vx ,

Vy,

0),

то

д л я

любых значений

чисел R e m

из

j = r o t B

следует, что

вектор

имеет

л и ш ь

2 - составляющую, как и вектор

V x B .

И з

закона

О м а

(1.4)

тогда

заключаем, что и Е = Е ( 0 , 0 ,

Ех).

дЕ

Д а л е е ,

в стационарных

процессах

rot Е = 0

или

= 0 ,

Отсюда

Ez=const.

Р е ж и м

холостого

хода

генератора

означает, что

сопротивле

ние внешней

нагрузки

R^=oo,

а индуцируемые токи

з а м ы к а -

ются	через о к р у ж а ю щ у ю		струю жидкость . Тогда			суммарный ток
в жидкости д о л ж е н быть равен нулю:
	Ь	a	b	а
lim /	[	jzdxdy = o\\m	f	f {Ez+\Vxb\)dxdy	=	0.
0	0	Q ^ ° ° 0		0

Т а к как расход Q=$udy через поперечное сечение струи коне-

чем, то из последнего равенства следует, что £2 -*-0, как — при

а—УОО.

§1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

ВТЕОРИИ СТРУЙ

Ка к и в теории струй непроводящей жидкости, д л я полной определенности постановки з а д а ч и о развитии магнитогидроди-

намической струи необходимо з а д а т ь		некоторое интегральное
. условие «сохранения»,	связывающее параметры струи с заданной
характеристикой . К а к	мы увидим ниже,	эта необходимость дик

туется наличием чисто нулевых граничных условий и, следова тельно, получение нетривиального решения возможно л и ш ь при привлечении к анализу дополнительного соотношения, допус каемого д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и уравнениями движения . Естест

венно, к а ж д а я	конкретная з а д а ч а	будет характеризоваться
своим условием сохранения.
Интегральные	соотношения могут	оказаться полезными и

в тех случаях, когда получение точного решения уравнений по

граничного слоя связано с большими		з а т р а т а м и времени или
попросту	невозможно без применения	вычислительных	машин
и когда	приближенные методы расчета	представляются	более

предпочтительными в смысле быстрого получения информации (может быть, за счет потери точности). Конечно, в последнем случае необходимо отказаться от требования локального соот ветствия решения дифференциальным уравнениям и ограни читься интегральным соответствием, средним по толщине по граничного слоя. Единственным условием, н а к л а д ы в а е м ы м на решение при приближенном методе расчета, является его соот ветствие граничным условиям и некоторым контурным связям, которые и именуются интегральными соотношениями или усло виями.

Н а й д е м	интегральные соотношения,	в ы р а ж а ю щ и е теорему
импульсов	и теорему энергии, д л я двух	наиболее характерных

типов струйного течения — свободной затопленной и пристеноч

ной

струй.

В безындукционном приближении система уравнений струй

ного пограничного

слоя

с л е д у ю щ а я :

ди

д2и

аВ2

(3-1)

u—+v—=v-—

ду2

дх

ду

ди

(3.2)

дх

ду

помощью

второго уравнения

первое

можно

переписать

к а к

ди2

duv

-V

д2и

аВ2

.(3.3)

дх

ду

ду2

Интегрируя

(3.3)

по

поперечному

сечению

струи

(рис.

3.1)

пределах от

г/= —со до

у=

+ оо;

получаем

д л я свободной

за

топленной

струи

[

u2dy=

^—

udy

(3.4)

ах

З д е с ь использованы

граничные

условия

и=

-ИЗ при у-+±оо.

П р и

= 0

соотношение (3.4) переходит в получен

ное

Шлихтингом :[1] условие

постоянства

импульса

поперечных

сечениях струи:

u2dy =

JQ.

(3.5)

Рис.

3.1.

Схема

свобод

ной затопленной

струи в

поперечном

магнитном

Так ка к интеграл в правой части

поле.

равенства

(3.4)

представляет

собой

расход

жидкости

через

поперечное

сечение

струи

является,

как

мы

увидим

далее,

величиной

положительной,

то

из

(3.4)

следует,

что

импульс

струи

присутствии

магнитного

поля не сохраняется

постоянным,

а уменьшается

от сечения к се-

чению при удалении			от источника струи. Физический смысл у р а в
нения	(3.4)	состоит	в	том, что оно показывает, к а к а я д о л я				им
пульса, п р и х о д я щ а я с я				на	единицу длины в направлении х,			тра
тится	на	преодоление			электромагнитных	сил	т о р м о ж е н и я .
Строго говоря, и соотношение (3.5) справедливо							лишь в	при
ближении пограничного слоя. Если в вязком члене в (3.1)								оста-
вить	2 , которым		мы пренебрегли согласно			требованиям		тео
рии пограничного слоя, то можно получить
- /	" 2 ^ = V ^ T			1и(іУ				(3-6)
dx


П р а в а я		часть
тельно,	импульс в
вязкого	трения.
и-о		і

Рис. 3.2. Схема при стеночной струи.

(3.6) необходимо отрицательна, и, следова - реальной струе тратится на преодоление сил


В о з в р а щ а я с ь				к	теории		МГД - погранич -
ного	слоя,		заметим,			что соотношение				(3.4)
(а д л я непроводящей						жидкости		—	(3.5)) и
является		условием,				з а м ы к а ю щ и м			з а д а ч у .
Аналогично,				дл я		пристеночной'				струи
(рис.	3.2)	после		интегрирования				(3.1)		по у
в пределах			от 0 до оо с учетом					граничных
		и 1^=0=0,				ди	-0	при		у^-оо
условий					и — ду
можно получить				соотношение

показывающее, что в пристеночной струе помимо потерь им пульса на преодоление электромагнитных сил имеются дополни-, тельные потери импульса на преодоление сопротивления трения о поверхность стенки.

Вгидродинамике непроводящей жидкости это обстоятель

ство в ы н у ж д а е т ставить более	жесткое условие	сохранения, а
именно: в различных поперечных сечениях струи		д о л ж н о сохра
няться произведение импульса струи / и расхода		Q:
U = const JQ.		(3.8)
В этом случае удается замкнуть	задачу .

Условие (3.8)		впервые было получено Акатновым [2]. Мы по
вторим	его выкладки в применении к уравнению			(3.1).	У м н о ж а я
(3.3) на	v	интегрируя	поперек слоя от 0	до оо,	получаем
	Judy и
	о
оо	у	со .	у

I	( ^ 7		/ u d y	) d y +	I	("^Г	$ u d y	) d	y =
о			о		о	&	о
			оо			у			оо	у
			=v/	(l&	Iudy)dy~^~I				("J	»dy)dy.
П е р в ы й			интеграл после			перестановки		порядка		интегрирования
по у		и дифференцирования по х					запишется		как
			у
~т~-		I ( " 2 1 u d y		) d y +		jи2исіУ>
d x		о	о			о
а	второй после интегрирования по частям								— как
		оо
—	J	u2vdy.
	о

Интегрируя по частям правую часть равенства, получаем окон чательно:

оо у оо у

(и2

u d y ) d y = - ^ -

(и

udy)dy.

(3.9)

х о

П р и

= 0

(3.9)

переходит в условие

Акатнова:

оо

( и 2 fudy)dy=L0.

(ЗЛО)

Условием

(3.9)

мы будем

пользоваться

при

решении

з а д а ч и

магнитогидродинамической

пристеночной струе, а

условием

(3.4)

— при решении з а д а ч и о свободной

струе.

соотношениях (3.4) и

(3.9)

имеет

смысл

говорить

как об

«условиях

сохранения» л и ш ь

аВ?

когда

они

переходят

п р и - — = 0 ,

			аВ2
соответственно в	(3.5)	и (3.10). П р и	ф0	ни величина / , ни
L не сохраняются	при переходе от сечения к			сечению. По-види
мому, в этом случае		вообще нельзя	получить	условия сохране

ния какой-либо характеристики струи, не зависящей от магнит


ного поля и		в то	ж е время	совместимой с д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и
уравнениями		движения . В		противном	случае это означало		бы,
что д л я	задачи, например,			о свободной струе в отсутствие			поля
помимо	(3.5)	имело бы место еще одно условие сохранения. К а к
известно [3], вопрос о количестве таких условий						тесно связан с
существованием			подобных	решений:	последние	невозможны,
если имеются		д в а	или более условий		сохранения. Пока нет		дан
ных о том, что рассматриваемые задачи имеют какие-либо							дру
гие условия кроме (3.5) и				(3.10), как нет и доказательств			того,
что (3.5) и (3.10) являются единственно возможными .
Остается		предположить		возможность существования характе

ристики, зависящей от магнитного поля, однако до сих пор та кого условия сохранения ещ е не найдено. Д л я одного частного случая, когда индукция магнитного поля убывает по степенному

закону		Вжх~т,		в работе	[4] a posteriori	показано,	что		в з а д а ч е
						Л я ,			2 - З т
о затопленной				струе существует инвариант Ц"У, где /					г = ~ — р »
m ^ - g - ^ m = - g -				соответствует непроводящей с т р у е \| ,				но	возмож
	2	/	2
ность	его получения из уравнения (3.1)					остается	невыясненной.
К а к		будет показано ниже при решении конкретных задач, пра
вые	части		соотношений		(3.4) и (3.9) стремятся к			нулю, когда
х-э-0,	и,	таким		образом,	характеристиками течения			в	присутст

вии поля могут служить величины (3.5) или (3.10), заданные в начальном (х = 0) сечении струи. Это справедливо д л я таких магнитных полей, у которых порядок особенности в начале коор

динат не выше некоторого, определенного								д л я к а ж д о й		конкрет
ной	задачи .
Выведем			теперь	уравнение		энергии д л я		сечения струи			попе
рек	и	пограничного		слоя.	Д л я	этого у м н о ж и м уравнение					(3.1)
на		и проинтегрируем			по всему сечению. Проведя те					ж е	опе
рации, что и при выводе					уравнения импульсов, получим					для з а
топленной струи				со
\±		оо					со
		J иЧу=-,о		J (	\| І Jdy-oB2		ju4y.				(3.11)
	Первый		член	в правой		части	(3.11)	есть	не что		иное,
как		в я з к а я диссипация;			д л я	выяснения смысла			второго		члена

напомним,		что при протекании электрического тока плотности j
в	единице	объема	за	единицу	времени	выделяется	джоулево
	І і 12	. Так как	в	нашем случае закон		Ома (1.4)	имеет вид
тепло
	0	І і 12
	=аиВ,
\| j \|		то - ш - = а В 2 и 2 . Таким			ообразом, второй член в (3.11)

представляет собой энергию поперек слоя, приходящуюся на

единицу длины в направлении х,	которая	преобразуется	в тепло
за счет джоулевой диссипации, а	уравнение (3.11) можно сфор
мулировать следующим образом:	потери	кинетической	энергии

в струйном пограничном слое происходят за счет вязкой и джоу

левой диссипаций.
Д л я пристеночной	струи уравнение энергии будет отличаться
от (3.11) л и ш ь пределами		интегрирования:
оо	оо	оо

В заключение отметим, что при приближенном методе рас

чета	часто пользуются представлением теории пограничного
слоя	конечной толщины . В этом случае в уравнениях (3.4), (3.7),

(3.9), (3.11), (3.12) следует заменить бесконечный предел конеч

ным,	например б (если под б подразумевать толщину погранич
ного	с л о я ) .

§ 2. А В Т О М О Д Е Л Ь Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я

Существование подобного, или автомодельного, решения фор


м а л ь н о	предусматривает, что			н а д л е ж а щ и м	образом		обезразме -
репная	продольная		с о с т а в л я ю щ а я скорости		—	(где	ит	—	мак-
с и м а л ь н а я		скорость	в струе) является функцией			лишь		одной	пе
ременной		т), скомбинированной		из физических		переменных			X и

у.Мы попытаемся здесь проанализировать условия, позволяю

щие получить автомодельные решения, на некоторых	конкрет
ных примерах МГД - струйных течений.
Пользуясь уравнением неразрывности (3.2), введем	функцию
тока -ф, определяемую следующими в ы р а ж е н и я м и :

П р е д с т а в л е н ие функции тока в виде
4> = vq>W/(il)					(3.14)
позволяет записать			безразмерную продольную		с о с т а в л я ю щ у ю
СКОРОСТИ —	—f	ка к фуНКЦИЮ ОДНОЙ		ПеремеШЮЙ Т]= ^
Um	'		ч ^ — —	—	б ( х )
Здесь ит=		, а	б (л:) обозначает «ширину»		зоны переме

шивания . Вычислив и, v и соответствующие производные по (3.13) и подставив результаты вычислений в (3.1), получим уравнение движения в виде

r ' + c t / / " - p / ' 2 - N 6 2 f ' = 0,							(3.15)
где
а = 6<р',		Р = б 2 ( ^ ) ,		аВ2			(3.16)
				N = -
				pv
(штрихи		у f означают		дифференцирование	по т], штрихи		у ос
тальных функций — дифференцирование по х).
Первые попытки решения уравнения (3.15) (5—8],							естест
венно,	следовали		методам, р а з р а б о т а н н ы м		в теории	струй		не
проводящей жидкости,				а именно: д л я получения подобного				ре
шения	коэффициенты			уравнения (3.15) принимались постоян
ными	величинами		(для пристеночного пограничного			слоя		э т о
положение д о к а з а н о Гейсом [9]), а величины <р(х) и 6(х)							пред
ставлялись степенными				функциями:

<р(х)=хт,

И з

— п)хп+т-1 т и п:

8(x)=kxn.		(3.17)
требования	постоянства a = kmxn+m~l	и p =fe(m—
вытекает	условие, с в я з ы в а ю щ е е показатели степени

га + т - 1 = 0	(3.18)
и физически означающее равенство по х порядков величин	инер

ционных и вязких сил. Кроме того, коэффициент при магнитном

члене	в (3.15) т а к ж е д о л ж е н быть величиной		постоянной:
N 6 2 =	аВъ	k2x2n=y = const.
	pv
Последнее возможно в двух случаях: п = 0 или
В = В0х-п.			(3.19)

В первом случае, ка к будет показано ниже, решения уравнения (3.15) при соответствующих граничных условиях не существует.

Второе	условие показывает, что д л я получения подобного	реше
ния в	магнитной гидродинамике (при предположениях	(3.17))

необходимо иметь особым образом организованное внешнее маг

нитное поле Ву = Ву(х).	Физически		условие (3.19) (при л > 0 ) оз
начает, что во всех сечениях		струи х = const		инерционные,	вяз
кие и электромагнитные	силы	в	(3.1) имеют	одинаковый	поря

док. Естественно, профиль скорости перестает быть подобным (при условиях (3.17)), если порядки этих сил отличаются или, другими словами, если скорости убывания этих сил с увеличе нием расстояния от источника х различны .

Электромагнитная сила в (3.1) является величиной «управ ляемой», т. е. ее порядок в отличие от инерционных и вязких сил не определяется внутренними условиями течения (на языке тео рии подобия это означает, что в магнитной гидродинамике появ ляется дополнительный размерный параметр аВ2). Таким обра зом, первая особенность получения подобного решения в маг нитной гидродинамике состоит в том, что' электромагнитную силу необходимо привести (в указанном выше смысле) в соот ветствие с остальными силами .

П р о ф и л и р о в а н и е

магнитного

поля, однако,

не может

быть

полностью

произвольным . Т а к к а к в безындукционном

прибли

жении предполагается, что магнитное поле

создается внешними

источниками и не возмущается течением,

т. е.

индуцируемые

движением

жидкости

токи

не вносят в к л а д

в его создание

и де

формацию, то приложенное

поле в зоне течения д о л ж н о

отвечать

уравнениям

div В = 0 и rot В = 0, или

дВх

дВу

дВх

дВу

(3.20)

— — + — ^ = 0

—

= 0.

дх

ду

дх

нашем

анализе магнитное поле д о л ж н о иметь

вид

Вх

= 0,

Ву = В0х~п.

Такое

поле

допускается

уравнением

неразрывности

(первое

из

(3.20)). Ч т о касается второго

уравнения

(3.20),

то,

строго говоря, ему отвечает л и ш ь однородное поле

( л = 0 ) .

Од

нако нетрудно убедиться, что при достаточно больших

вто

рой

член

(3.20)

будет сколь угодно м а л ( п > 0 ) , та к

что

ра

венство

(3.20)

приближенно имеет

место

д л я указанного

поля .

Тем

не

менее

следует

помнить, что вид

поля

(3.19) является

все

ж е

не

более

чем

формальностью, облегчающей

получение

подобных решений.

т и п

Мы

получили

пока

л и ш ь одно

условие связи м е ж д у

(3.18).

Второе

условие,

к а к это принято в

теории

струй,

следует

из некоторого интегрального соотношения, соответствующего конкретно рассматриваемой задаче . Если рассматривается

а)

плоская затопленная струя,

в ы т е к а ю щ а я

из бесконечно

тон

кой

щели

(см. рис. 3.1), то искомым

соотношением

может

слу

жит ь уравнение

(3.4).

П о д с т а в л я я

(3.4) вместо и ее в ы р а ж е

ние через функцию тока, получим

/ Ф* V

2Nf(oo)

2у/(оо)

ф =

( 3 " 2 1 )

где

а-

Введем

(3.21)

соотношения

(3.17).

Воспользовавшись

(3.18), м о ж н о

получить

затем

второе

соотношение, связывающее

и п:

2 m - n =

2vf(oo)

(3.22

Величины

у. а и k в

(3.22), по определению,

положительны . Если

теперь п о к а з а т ь 1 , что f{°°) > 0 , то из (3.22) следует

2т — п<0,

т<—,

п>—

д л я

у > 0 ;

(3-2 3 >

2т

— п = 0,

т——,

п=—

д л я

у = 0.

Действительно,

та к ка к / ' ( 0 ) > 0

и f(0) = 0 , то из предположения

f(oo ) < 0

следовало

бы, что существует по

крайней

мере

одно

значение

r| = rii, где f

(гц) = 0 . В точке r|i имеем

/ ( ч . ) > 0 ;

Г ( л . ) = 0 ;

Г ( ч . ) < 0 .

(3.24)

С другой

стороны,

интегрируя

(3.15)

от 0 до г\\ и от 0 до оо и

имея в виду (3.24),

получаем

•л

Г ( ч . ) - ( «

+ Р)

Ґсіц-Y/(MI)=0;

(3.25)

со

- ( а Ч - р )

fr2dy]-yf(оо)=0.

(3.26)

1 Это доказательство принадлежит Юнгклаусу [7].

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ