книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

< l + T i 2 ) 4 f / / o + ' n 1 F o - 4 ' o = 0;

(2.86)

< 1 + г)2 ) ЧГ'І + nW't - Wi = Т о ф ' - W'oty;

(2.87)

( 1 + Л 2

) ^ /

/ о + З л ^ , о = 0;

(2.88)

( l + T ] 2

) L " i + 3r|L / 1

= 2W0l

-

2o|/L0 + Ч У ' -

*L'o

(2.89)

К а к

следует

из уравнений

(2.86) и

(2.88), поля Wo и L 0 в

разло ­

ж е н и и

(2.83) не связаны

с движением

жидкости

и могут

интер­

претироваться

ка к з а д а н н ы е

внешние

магнитные

поля. Соответ­

ственно

Wi

и

Li

( t = l ,

2 , . . . ) представляют собой возмущения

магнитного

поля,

вызванные

движением

жидкости

(уравнения

(2.87), (2.89)).

Р е ш е н и я м и

(2.86) и

(2.88)

я в л я ю т с я в ы р а ж е н и я

гр-0 =Лг| + £ У і + Г | 2 ;

(2.90)

LQ=A

, 4

+В,

(2.91)

У і + г , 2

где

А

и В — постоянные

интегрирования. Нетрудно

убедиться,

что решение

(2.90) при произвольных

А и В удовлетворяет

у р а в ­

нениям div Н 0 = 0,

r o t H 0

= 0 и, таким

образом,

в исходном

урав ­

нении

д в и ж е н и я

(1.13)

электромагнитная

сила

r o t H 0 X H 0 = 0.

<J4Jf 2

Этой силе в

(2.84) соответствует член — - — , не равный

нулю. Ис ­

пользуя

решение

(2.90),

м о ж н о

показать,

однако,

что

член

C W

2

Г

1

А2

1

легко

ком­

- ~

=

S

[ЛВтіУі

+ т ) 2 + - ( Л 2

+ 5 2 ) ( 1 + Г ) 2 )

-

— J

п е н с и р у е т с я

с о о т в е т с т в у ю щ и м подборо м

п р о и з в о л ь н ы х п о с т о я н ­

н ы х

а, Ъ и

с .

Влияние

магнитного

поля

W0

н а

п о л е с к о р о с т е й

в т а к о м

с л у ч а е

б у д е т

с к а з ы в а т ь с я

через

п р о и з в е д е н и е

^ V F i .

Аналогично

о б с т о и т дело

и с полем LQ,

если

в (2.91)

п о л о ж и т ь

Л = 0.

Если

ж е

А =7^=0,

т о п о л е

L 0

создается

с и с т е м о й

э л е к -

А

I

ТрИЧеСКИХ

ТОКОВ

С СОСТаВЛЯЮЩИМИ

7Г =

5- -тт—

nTjT

Ї

]z =

г2

(I +ц2) '•

=

тг ~п—Чгзт

. т е к у щ и х п о ж и д к о с т и

и с х о д я щ и х с я к н а ч а л у

Г 2 ( 1 + Т ) 2 ) ' 2

к о о р д и н а т

(рис. 2.9, д). В этом с л у ч а е

э л е к т р о м а г н и т н а я с и л а

j X H 0 = r o t

Н 0 Х Н 0 у ж е не б у д е т

р а в н а нулю; ч л е н ы , п р о п о р ц и о ­

нальные

S

в

(2.84),

н е м о г у т

б ы т ь

с к о м п е н с и р о в а н ы в ы б о р о м

п о с т о я н н ы х

a,

b

и с и , т а к и м образом ,

они б у д у т в ы п о л н я т ь р о л ь

в ы н у ж д а ю щ е й

силы.

Влияние

п о л я

и н д у ц и р о в а н н ы х токов п о -

п р е ж н е м у

б у д е т

у ч и т ы в а т ь с я членами , п р о п о р ц и о н а л ь н ы м и Н а 2 .

гая

в (2.90)

£ = 0,

получаем

„

ЛР'о

IA

„

IWQ

/

Я Г =

— ^

=

—

, Я Г

= — ^ -

— (T]X F О — ТО) = 0 ,

т.

е.

чисто

/Яті

Я 2

=

радиальное

поле

(см. рис. 2.9, а ) . Пр и / 4 = 0

Я г

= ryi+rv 2 '

IB

ЛУ1+Г|2 ' из чего

следует, что силовые линии

располагаютс я

6)

на

поверхностях

/"2 + z 2 = const.

Этот

случай

соответствует

по­

л ю

магнита,

одним

из

полю­

сов которого является ось сим­

метрии, а вторым — некото­

рая

коническая

поверхность

т] = const

(см. рис. 2.9,6).

Слу­

чай

А ——В

соответствует

полю,

создаваемому

полю­

сами магнита, одним из кото­

рых является коническая по­

верхность

ц = const,

а

второй

удален

в

бесконечность

(см.

рис. 2 . 9,б) . Если в

(2.91)

по­

л о ж и т ь

А —0, то

азимутальное

поле

L 0

= B

м о ж н о

т р а к т о в а т ь

либо

ка к

поле

проводника

с

током,

расположенного

на оси

симметрии

г = 0, либо

к а к

поле

Рис.

2.9. Виды

внешнего

магнитного

р а з р я д а

по

оси

симметрии

(см. рис. 2 . 9,г) . В случае

А —

поля,

которые

могут

рассматриваться

= —В

азимутальное

поле со­

в рамках исследуемого класса точных

решений.

здается,

ка к показывает

реше­

ние

r = constz

уравнения

д л я

струи отсутствует ( / = 0 ) , а

магнитное поле

не имеет

азимуталь ­

ной

составляющей

( L = 0 ) .

В безындукционном приближении

система

уравнений

(2.75) — (2.78) при этих

условиях

примет вид

*/

1 к

І ы і тл

2 р в

2 a - 2 6 c o s 6

с;

(2.92)

/ ' - T / 2 - c t g , 9 / + H a 2 W =

(F'l

+ ctgQFJ^F'af-For;

(2.93)

A cos

0 + 5

^ о =

г

~

,

Ф о = 1 -

(2.94)

sin

0

Следуя

Л а н д а у

[11],

положим

все

составляющие

тензора

плотности

переноса

импульса,

за

исключением

П Д н ,

равными

нулю. Тогда

из

v 2 p / „

1 „

, п , , 1 е _ ,

\

2 v 2 p / 6 c o s 6 - a

\

П Ф

Ф = ^ - (

/ ' -

y / 2

- c t g

0 / + - I <>Я + С )

=

2v2 p

a— b cos,0

=~p72

sin2 .0

'

Ш е = ^ - [ (

f'-±F-ctgQf+±SF2)'

+

+ 2 c t g 0 ( / ' - ^ / 2 - c t g 0 / + i - S F 2 ) ] =

2

_

2v2 p

b — c cos 0

(2.95)

/?*

і ї п 0

П е ф

= Пдф = 0;

следует, что а = й = с = 0.

Решение (2.92), (2.93) будем искать

в виде

р а з л о ж е н и я

ис­

комых функций в р я д по параметру

Н а 2 :

/ = f o + H a 2 / , +

Fl=Fl0

+ m*Fu+

. . . .

Тогда д л я последовательных приближений будем иметь

сис­

тему уравнений

/ ' o - - | f o 2 -

c t g 0 / o = O;

(2.96)

/ ' i - ( / o + ctgQ)h

=-F0Fl0;

(2.97)

(F'^+ctgQF^'-F'ofo-Fof'o;

Т а б л и ц а

2.1

4=1,1

8, °

ґо

/о

| фо

/МО

f,

Фі

/о

Фо

0

0

0

40

0

0

0

О

О

10

0,087

-3,03

29,80

0,35

-0,002

0,051

-0,67

7,13

20

0,175

-4,28

14,40

0,76

-0,020

0,159

-1,22

5,96

30

0,268

-4,27

5,68

1.11

-0,042

0,267

-1,57

4.17

40

0,364

-3,85

1,78

1,40

-0,081

0,391

-1,75

2,62

50

0,467

-3,35

0

1,64

-0,143

0,557

-1,79

1,41

60

0,577

-2,89

-0,83

1,85

-0,228

0,664

-1,73

0,50

70

0,700

-2,48

-0,12

2,00

-0,335

0,814

-1,62

-0,13

80

0,340

-2,13

-1,51

2,14

-0,478

0,959

-1,48

-0,58

90

1,00

-1,82

-1,65

2,39

-0,665

1,18

-1,33

-0,89

100

1,19

-1,54

-1,74

2 24

-0,877

1,08

•1,18

-1,11

ПО

1,43

-1,30

-1,80

2^24

-1,08

1,01

-1,02

-1,26

120

1,73

-1,08

-1,84

2,20

-1,33

0,84

-0,86

-1,37

130

2,15

-0,88

-1,86

2,10

-1,63

0,34

-0,71

-1,45

140

2,75

-0,69

-1,88

1,98

-1,93

0,48

-0,56

-1,51

150

3,74

-0,50

-1,89

1,80

-2,27

-2,26

-0,42

-1,55

160

5,67

-0,33

-1,90

1,45

-2,48

-6,21

-0,28

-1,58

170

11.4

-0,16

-1,90

0,93

-2,31

-16,0

-0,14

-1,59

служит решение, найденное

Л а н д а у :

/о =

2 sin 9

(2.99)

cos Q — k

Здесь k — постоянная интегрирования,

параметр

задачи . П о ­

требуем еще, чтобы F0 было

регулярным

при 6 = 0. Тогда в

(2.94)

необходимо

положить Л = — В,

а та к ка к магнитное

поле

опре­

деляется, согласно (2.9), с точностью д о произвольного

постоян­

ного множителя / , то можно

считать А = 1. И м е я теперь

решения

(2.94) и (2.99), легко получить из (2.98)

F,o = 2 (sin Є)-'[(l —^) In (k-

cos %)~2{k+\)-l{k-

cos©) In (k-

-

c o s 9 ) - 2 ( f c +l)~ 1 ( l + cos 9) In ( 1 + cos0)

+

+

Є1 cos 8 + e2 ] •

Постоянные

єі и Є2 найдем,

подчинив

функцию

Fi0

условиям

10

= 0. Это дает

9=0

k+l

Єі,2 =

k+l

In (k+l)

,

= 2itv2 p N 1 + 3 ( £ 2

k-

k + \ \

+

- 1 )

Т І П

/ Г Т /

+ Н а 2 / ( З ф , + 2 ф о ф і - У і + а д 0 - 2 Ф о Ф і о ) X

о

X cos 6 sin.ede] .

(2.100)

Первое слагаемое в квадратных скобках

есть найденное Л а н ­

дау

в ы р а ж е н и е потока импульса через параметр

k.

Обозначим

его

через QoВторое слагаемое

определяет

в первом

приближе ­

поле. Обозначим его через

Qt. Таким

образом,

(2.1Q0) запишется

как

2nv2 p

= Q 0 + H a 2 Q i .

(2.101)

Значения

Q 0

и Qi д л я некоторых

k приведены

в табл . 2.2.

К а к

видно

из

(2.101)

и табл .

2.2,

полный поток импульса в струе умень­

Т а б л и ц а

2.2

шается

с увеличением

Н а 2 ,

что объяс­

няется

т о р м о з я щ и м

влиянием

элек­

k

1,1

1,5

2

тромагнитных

сил.

Следовательно,

если поставить

условие

сохраняемости

іР-о

61,5

10,3

5,52

полного потока импульса при из­

менении

напряженности

магнитного

Qi

-6,55

-3,8

-2,72

поля,

то

необходимо

соответственно

изменить

начальный

поток

импульса

Qo.

Например,

если

в

отсутствие

магнитного

поля

(Н а = 0)

2т2р

=5,52

(6 = 2), то

при

Н а 2 = 1 , 2 6

д л я

сохранения

импульса

необходимо

увеличить

Q

до 10,3

( £ = 1 , 5 ) .

Линии

тока

в

струе,

const

определяемые

выражением

Н=

^ s j n g '

д л

я этого

случая

пока­

заны на рис. 2.10.

Если

ж е з а д а н начальный импульс

Q0 , чем определяется зна­

чение

k,

то

из

(2.101)

следует, что в этом случае полный им­

пульс

струи

будет

уменьшаться .

Линии

тока

дл я

£ = 1 , 1 при

Н а 2

—0 и 0,'5 показаны

на рис. 2.11.

К а к

видно из рис. 2.10

и 2.11, магнитное

поле

деформирует

линии

тока

в струе

таким

образом,

чтобы

жидкость

пересекала

Рис. 2.12. Линии тока в струе Ландау,

Рис. 2.13. Силовые линии электриче-

распространяющейся

в азимутальном

ского поля в струе Ландау,

магнитном

поле:

—

На5 =0;

— На; =0,1;

- • - -

На! =0,5.

Семейство силовых линий

электрического

поля Е

показано

на

рис. 2.13.

В упоминавшейся у ж е

работе [28]

была

рассмотрена

з а д а ч а

о круглой

струе,

вытекающей

из

отверстия

в стенке

(задача

Я ц е е в а — С к в а й р а

[12—15]).

Отличительной

особенностью

этой

з а д а ч и является

условие,

н а к л а д ы в а е м о е

на

постоянные: а = Ь =

= с=т^=0;

кроме того,

стенка

принимается

непроницаемой,

а

ус­

ловие прилипания на ней невыполнимо. Эта

з а д а ч а является

частным

случаем

задачи

К а ш к а р о в а

в

гидродинамике

непрово­

дящей

жидкости

о

течении

в круговом

конусе,

стенки

которого

д о л ж н ы

быть приняты за линию тока [16].

2.3.4.

Струи

Ландау

и

Яцеева—Сквайра

при

больших

р.

В случае очень большой проводимости жидкости

(|3»1)

реше­

ние можно

получить,

р а з л а г а я

функции

в

ряд

по обратным

сте­

пеням

(3:

f=fo +

p - ' / i + - - - ,

F=F0

+ fi^F1

+ . . . .

(2.102)

Тогда

из

(2.81),

(2.82)

имеем

f o - y f o 2 -

c t g 6 f 0 +

4 - 5 j

F ° 2 =

(2.103)

F'ofo — F Qf'о = 0;

(2.104)

f i - ( f o + c t g e ) f i + S F o F ,

=

0 ;

(2.105)

F'oh + F'jo-Fbf'y-F^

( F ' 0 +

ctg

0 F 0 ) ' .

(2.106)

В

отличие от

разложений

(2.83) здесь

/ 0

и F0 — скорость и

магнитное

поле

при

бесконечной

проводимости жидкости, a f,- и

Fi д а ю т

поправки

на конечность проводимости. Будем,

как и

раньше,

искать

решение, д л я которого все составляющие тен­

зора П, за исключением Пдд, равны нулю,

т. е. при а = 6 = с = 0.

Решения

для нулевого

приближения

могут

быть легко

найдены:

п

,

2 sin ft

F0

=

fo=

( 1 - 5 ) (cos

6 - А ) .

(коэффициент пропорциональности между F0

и f0 принят равным

единице,

т а к

как

F0 определяется с точностью до произвольного

постоянного

м н о ж и т е л я ) .

В ы р а ж е н и я д л я F0

и f0 после подстановки

в уравнение

(2.106)

д а ю т следующее

уравнение д л я

определения

функции T =

Fj—fi-.

.

,

1-А: cos

9

_

2 ( 1 - A 2 )

sin 0

sin

QT -\—

ll-

cos

—

Ti­

(k-

cos.9)2

9

решение которого

есть

7 =

s i n '

9

[ ( f e - 1 )

In

( 1 + c o s 9 ) - ( £ + l )

In

( 1 - cos9)

+

k — cos 9

+

21n

( A - c o s 9 ) + C , ] .

Решение для fi, согласно (2.105),

будет теперь д а в а т ь с я

в ы р а ж е ­

нием

ОС cjri

fl

/ ' —

( 1

- S ) ( t

- c o s 8 ) ' t ( * - ,

) " + C

° S e

>

' " < ' + c o s e )

+

+

(k+l)(l

-

cos 9)

In

( 1 - c o s 0 ) -

-2{k-

cos 9) In (k-

cos 9)

- C i

cos

8 + C2 ].

Постоянные

интегрирования

можно

определить из

условий

=

0.

Это

д а е т

6 = я

Ci =

- 2 1 n 2 - ( f e - l )

In

(k-l)

+ (k + l)

In

(k+l)

;

C2 = -2k\n2+(k+\)

In

(k+l)

+

(k-l)

In

(fe-1) .

В

уравнении

(2.103)

постоянные

a, b, с, вообще говоря, зависят

от

параметра 5,

однако

м о ж н о

показать,

что условие

регуляр-

мости решения во всей области приводит к

а = Ь = с = 0. Дейст ­

вительно,

р а з л а г а я f0

и

эти

постоянные

в

ряд

по S

/о=/оо +

+ S/01 +

• • •,

a = a0

+ Sa\

+

. . .

и т.

д.,

можно

получить

следую­

щую систему уравнений для foi:

t,

1

t

9

,

a f

0

/

« о - b o c o s G

-

с0

\

;

f о о -

- 2

foo2 -

ctg

Є/оо =

2 (

s i

n 2 9

у

)

/ W o o +

c t g 0 ) / o l

= 2 ( ^ ± ^ 1 - ^ . ) - ^

и т. д.

В

рассматриваемой

задаче

гидродинамический

случай х а р а к -

теризуется значениями

постоянных

,

= с 0

.

,

2 sin

8

ао = о 0

= 0 и /оо=

COS U

а—v

/2

,

sin Э

Г

.,

, . „ cos

,6(1+

cos

Є)

(cos

8 - Й ) 2 L

sin2

0

+

2al(k+\)

In

( l + c o s 0 )

-

( 2 - f l , ) c o s . 0 + £ > ] .

И з

решения

следует, что

для

регулярности

производной

В ТОЧКе 0 =

lt Следует ПОЛОЖИТЬ

О ] = 0 .

Аналогично

доказывается

ui = bi —

Ci = Q

(i = 2,

3 . . . ) , и, таким

образом, при всех значениях

S а = £ = с = 0.

Чтобы

найти

связь

м е ж д у

п а р а м е т р а м и

k

и

S,

вычислим,

пользуясь

(2.95),

полный

поток

импульса в струе в проекции на

ось симметрии в нулевом

приближении:

/ -

/

/

Г Ь ,

cos

М -

I6*v*p -Л^-

[

I +

-f ln£f] ,

(2.107)

или

/ =

Т

~

- •

(2.108)

/ 0

в

(2.108)

можно

рассматривать

как

начальный

поток им­

пульса

струи, имеющий место при

5 = 0. Если

поставить условие

ражение

(2.107) дает необходимую

связь м е ж д у k и S.

П р и этом

условие

регулярности решения

во всей области

определяет