Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 312 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

потому, что изменением формы границ течения, использованием электрических или магнитных неоднородностей можно создать практически любую скоростную структуру и самые различные

условия течения.		Магнитная	гидродинамика		резко неоднород
ных	течений представляет		интерес еще и	потому, что		именно
здесь	существует	наибольшая вероятность			обнаружения	явле

ний, которые позволят внести принципиальные изменения в существующую в настоящее время технологию (если, разуме ется, в этом возникнет необходимость).

Первой работой, в которой было продемонстрировано, что магнитное поле может приводить к образованию неоднородной скоростной структуры и к дестабилизации течения, является, повидимому, работа Ленерта [20]. Ленерт показал, что если маг нитное поле ориентировать перпендикулярно дну цилиндричес

кой емкости, заполненной ртутью, а	вблизи дна поместить вра
щ а ю щ е е с я медное кольцо, то из всей	жидкости будет	вращаться
л и ш ь та часть, которая расположена	непосредственно	над коль

цом . При больших значениях напряженности поля движущийся слой ртути сворачивается в вихревые кольца, т. е. течение в маг нитном поле дестабилизируется .

К этому ж е классу явлений относится и	течение Ханта [21],
где наличие хорошо проводящих стенок,	перпендикулярных

нолю, приводит к образованию М-образной скоростной струк туры, и вообще все случаи, когда имеются неоднородности в про

водимости	границ области течения. Д л я этого	класса явлений
характерно	образование вблизи электрической	неоднородности

«следа» с резкими поперечными изменениями параметров тече

ния,	распространяющегося вдоль направления магнитного		поля.
Д р у г и м и примерами могут		служить возникновение неоднород
ных	структур при изменении	формы границ течения [22], а	т а к ж е

при входе или выходе потока из магнитного поля [23], воз никновение вихревого течения при прохождении через среду

электрического тока с пространственно неоднородной	плотно
стью [24—27], известное еще из теории конического	р а з р я д а
[28, 29], и т. д.

Таких примеров можно привести множество, все они отно сятся к тому типу неоднородных течений в магнитной гидроди намике, для которого характерно образование неоднородностей самим магнитным полем. В настоящей книге приводятся наибо лее типичные ситуации, когда магнитное поле способствует орга низации неоднородных течений. Подчеркнем, однако, что опи санными в книге методами и упомянутыми видами течений да леко не исчерпываются возможности изучения и создания спе цифических скоростных структур с помощью магнитного поля. С а м а ж е возможность их создания составляет одну из важней -

ших особенностей магнитной гидродинамики, открывающую но вые перспективы для МГД - исследований .

Некоторые сферы применения явлений, связанных с возник

новением неоднородных	структур, можно указать у ж е	сейчас.
Так, возбуждение движения жидкости при прохождении		через
нее электрического тока	может лечь в основу создания	эффек

тивных и простых по конструкции перемешивателей, в основу

построения	моделей	явлений, возникающих при дуговой плавке
и сварке	металлов,	при	появлении	неустойчивости линейного
пинча (подробнее об		этом	см. в главе	I I ) . Д а л е е , возникновение

потенциальных ям при внезапном изменении формы "границ те чения в сильном магнитном поле может послужить основой по

строения МГД - сепараторов или устройств для очистки	жидких
металлов от примесей (глава V I I I ) ; те ж е внезапные	расшире

ния или трубы с частично проводящими стенками можно исполь


зовать для смыва загрязнений с		поверхности	(электродов,		на
пример) путем	включения магнитного поля и т. д.-
С другой	стороны, магнитная	гидродинамика		неоднородных
течений включает в себя проблему		поведения	в магнитном		поле
неоднородностей, у ж е имевших место в отсутствие				поля, напри

мер задачи о развитии струйных течений в магнитном поле. Ре

шение этой проблемы не только позволит сформулировать

об

щие

принципы

поведения

возмущений

в магнитных

полях,

но

у ж е

сейчас находит непосредственный

выход в

практику.

Так,

рассмотренные

в главах

I I I — V

плоские

струйные МГД - течения

имеют

прямое

отношение

струйным

М Г Д - п р е о б р а з о в а т е л я м ,

анализ развития пространственной струи (глава

V I )

— к

воз

действию магнитного поля на гидродинамику кристаллизатора

условиях непрерывной разливки металла .

Е щ е

одно

немаловажное обстоятельство, которое

говорит

пользу расширения исследований по магнитной

гидродинамике

неоднородных

течений,

связано

вопросами

регулирования,

управления интегральными

характеристиками потоков

(расхода,

сопротивления

и т. д . ) .

Рассмотрим для примера задачу регулирования расхода в гидравлической системе. Д л я эффективности процесса необхо димо соблюсти по крайней мере два условия: 1) сопротивление регулируемого участка д о л ж н о быть сравнимым с общим сопро тивлением гидравлической системы и 2) влияние поля на сопро тивление регулируемого участка д о л ж н о быть достаточно ощу тимым . Кроме того, регулируемый участок (соответственно и магнитная система) д о л ж е н быть как можно компактнее, чтобы помимо задачи регулирования расхода гидравлическая система могла выполнять свою основную функцию. Все эти условия вы полняются, как показывает опыт, если структура течения на ре-

гулируемом участке достаточно сложна . Примером может слу жить регулируемый участок в виде внезапного расширения или сужения (см. п р и л о ж е н и е ) .

К сказанному следует добавить, что однородностержневая гидравлическая модель принципиально непригодна для опреде

ленного	круга	МГД - устройств (например,	для	перемешивате -
л е й ) , так	как	расчет таких устройств д о л ж е н	быть	прежде всего

гидродинамическим. С другой стороны, при таком расчете необ

ходимо	располагать		турбулентными		характеристиками		течения,
а между	тем	исследование их не		завершено		д а ж е для	простей
ших МГД - течений . Р а з н о о б р а з и е скоростных						структур,	осущест
вляющихся в		магнитном поле, конечно, затрудняет					получение
обобщающих		сведений о МГД - турбулентности . Тем не менее эта
з а д а ч а т а к ж е		входит	в круг вопросов		магнитной гидродинамики
неоднородных		течений.
К а к	показывают		приведенные	в	книге	экспериментальные

данные, в некоторых случаях интенсивность турбулентности в магнитном поле может достигать 40%, т а к что естественно воз никает вопрос и о влиянии столь высокотурбулизированного по тока на процессы тепло- и массопереноса.

Таким образом, круг вопросов магнитной гидродинамики не однородных течений достаточно обширен. Поэтому в р а м к а х од ной книги не было возможности детально рассмотреть все затро нутые выше проблемы, тем более что д а л е к о не все из них к на стоящему времени достаточно хорошо изучены. Так, сюда не вошло рассмотрение вопросов, связанных с турбулентными магнитогидродинамическими струйными течениями, поскольку боль ш а я часть работ по турбулентным процессам в струях связыва ется с продольным магнитным полем [30—37], а эта тема выходит за рамки книги. Что ж е касается поперечного магнитного поля, то в тех случаях, когда определяющими являются градиенты скоростей вдоль направления поля, исследование турбулентной струи представляет лишь отвлеченный интерес [36—40], так к а к экспериментальная проверка выводов теории весьма затрудни тельна. Как показывают опыты (см. главу V I I I ) , в условиях эксперимента струи с градиентом скоростей вдоль поля преоб разуются в струи с градиентом скоростей поперек поля: теоре тический ж е анализ не учитывает такой радикальной перестройки осредненной структуры течения. Некоторые экспериментальные сведения о турбулентных пульсациях в потоках с градиентом скорости поперек поля приводятся в главе. V I I .

Д л я того чтобы отделить понятие неоднородности скоростной структуры от характеризующих неоднородности других видов (электрических, магнитных и т. п.), в книге вместо этого термина употребляется термин «струя», или «струйное течение». П р и

этом	казалось	целесообразным		включить	в понятие «струи» и
такие	течения,	которые,	по сути,	являются	неразвивающимися,
равномерными		по длине	течениями, но с резко выраженной не

однородной скоростной структурой вне пристеночного погранич ного слоя. Такие течения имеют много общего (например, в ин тенсивности генерируемой профилем турбулентности) с класси ческими неравномерными струйными течениями.

Включение в		уравнение движения электромагнитной силы,
величина	которой	в принципе зависит от «воли»	исследователя,
позволяет,	кроме	того, по-новому взглянуть на	моделирование

тех или иных течений. Так, если для описания струйных течений,

течений в пристеночных областях в гидродинамике		пользуются
представлениями теории пограничного слоя,	согласно которым,
в частности, порядки вязких и инерционных	сил в	слое одина

ковы, то в магнитной гидродинамике появляется возможность упорядочить величины, например, вязких и электромагнитных сил. Тем самым при больших магнитных полях струйные и при стеночные слои могут рассматриваться в линейной постановке, а исследование проводиться на базе значительно более совершен

ных методов, разработанных	д л я приближений Озеена и
Стокса [18].
К настоящему времени накоплен достаточно обширный и ин
тересный материал в области	магнитной гидродинамики резко

неоднородных течений, рассеянный, однако, по периодическим из даниям . Не претендуя на полное и систематическое изложение вопроса, автор лишь надеется, что эта книга в совокупности с ма териалом, приведенным в монографиях [18, 19], поможет чита


телю составить	определенное представление о содержании и ме
тодах исследования		неоднородных течений в магнитных полях
и о некоторых	возможностях использования описываемых эф
фектов в устройствах		различного назначения.

I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

§ 1. О С Н О В Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я М А Г Н И Т Н О Й Г И Д Р О Д И Н А М И К И


Уравнения,	описывающие	движение	электропроводящей
среды (плазмы,	жидкого металла, электролита)			в электромаг
нитном поле, были предметом обсуждения			во многих		работах .
Вывод уравнений магнитной гидродинамики			с анализом		краевых
и начальных условий, критериев		подобия можно		найти	в книгах

[1—6]. В этом разделе приводится лишь та часть сведений, кото рая понадобится д л я дальнейшего изложения .

Будем считать физические свойства среды однородными, от носительную диэлектрическую постоянную є и относительную магнитную проницаемость (.і близкими к единице, а движение среды достаточно медленным, чтобы м о ж н о было пренебречь ре

лятивистскими э ф ф е к т а м и . Кроме того, проводимость	среды по
л о ж и м достаточно большой, чтобы электромагнитное	воздейст

вие на поле течения свести к взаимодействию токов проводимости с магнитным полем. В таком случае уравнениями магнитной гид

родинамики являются уравнения		Н а в ь е — С т о к с а	в	форме
- — + (V g r a d ) V =	g r a d p + v V 2 V + — j x B			(1.1)
dt	p	p
и уравнения М а к с в е л л а
				.(1.2)
rot H = j ,
которые д о л ж н ы быть дополнены		законом О м а д л я		д в и ж у щ и х с я
сред:
j = a( E + V x B ) ,				(1.4)
и уравнениями
d i v j = 0, d i v H = 0,	d i v V = 0 , В = ц о Н ,			(1.5)
где \|іо = 4 я - Ю - 7 Г/м	— магнитная	проницаемость	вакуума .

С в я зь

уравнений Навье — Стокса и

уравнений

М а к с в е л л а

состоит в

том, что в первые входит объемная

электромагнитная

сила

(последний

член

уравнения

(1.1)),

во

вторые

—

скорость

д в и ж у щ е й с я среды. В

последнем

легко

убедиться,

если

подста

вить

j из

закона

О м а . (1.4) в (1.3),

применить

операцию

rot и

воспользоваться уравнением (1.2):

EL=

rot

( V X B ) +

— V 2 B .

(1.6)

Уравнения

(1.1)

(1.6) совместно с

(1.4)

и (1.5)

обычно

и рас

сматриваются в магнитной гидродинамике несжимаемой ж и д кости.

/д

стационарном

случае

= 0 j

уравнения (1.1), (1.6)

упро

щаются .

Если

теперь

ввести

характерные

масштабы

длины

L Q , скорости ВоU0,

магнитной

индукции Во, давления

pU02 и

плот

ности

тока

—і г -

то

в безразмерном

виде уравнения

(1.1)

и (1.6)

примут вид

(V g r a d ) V = -

g r a d p +

V 2 V + A1 rot

B x B

;

(1.7)

V 2 B = - R e m r o t ( V x B ) ,

где

—

динамическое число

Реинольдса;

Re,n

U0LoiioO

—

магнитное число

Реинольдса;

В02

А1

гг-т- — число Альфвена .

Кроме

того,

стационарном

случае

r o t E = 0, т. е. электричес

кое поле

потенциально

( Е = —gradcp),

так

что закон О м а

в без

размерной форме можно записать к а к

j = R e m ( - g r a d c p + V x B ) .

(1.8)

Д а л ь н е й ш е е

упрощение

системы

(1.7)

связано с

предположе

нием малости магнитного числа Реинольдса . В этом случае маг нитным полем индуцированных токов можно пренебречь и счи

тать	полное поле равным	приложенному внешнему	магнитному
полю	В0 . О п р е д е л я ю щ у ю	систему уравнений д л я	этого случая

можно получить, представляя индукцию магнитного поля в виде следующего ряда [7]:

B = B 0 + R e m B 1 + . . . ( R e m < e l ) .

П о д с т а в л я я этот ряд

в ы р а ж е н и я (1.7)

и (1.8), а т а к ж е

учиты

вая, что j = rot В,

получаем

так

называемое

безындукционное

приближение:

r o t B o = 0 ;

(1.9)

(V g r a d ) V = - g r a d p +

V 2 V + N ( - g r a d cp +

+ V X B 0

) X B 0 ,

(1.10)

где потенциал электрического

поля

определяется из

уравнения

V2 cp =

div ( V x B 0 )

= B 0 r o t V ,

(1.11)

полученного после

подстановки (1.8)

в первое уравнение

(1.5), а

oB02L0

— параметр

М Г Д - в з а и м о д е й с т в и я 1 .

N = A 1 - R e , „ = — - —

ри0

(1.10) и

(1.11)

имеют вид

В размерном виде

( V

grad) V = — — grad / j + v V 2

V +

— ( -

grad ф + V x В 0

) X В 0 ;

(1.12)

V 2

ф =

div ( V X B 0 )

а уравнения (1.7) при замене

В = ц 0 Н примут

вид

<V grad) V = - — g r a d p + v V 2

V +

^ - r o t

H x H

;

(1.13)

V 2 H = - 0 r o t

V x H .

(1.14)

Остановимся еще на уравнениях МГД - пограничного

слоя,

причем

ограничимся

безындукционным

приближением .

Анализ

в о з м о ж н ы х форм

этих

уравнений

проведем на примере системы

(1.12), записанной в проекциях на оси декартовой системы ко

ординат:
V d V * ми	d V * мУ		d V *		1	дРм	( d 2 V * м dV			м
	дЧ^	\	а_ /		*р	Лр	V z B	x B z _	V x	B , _
	dz2	I	p	\	dz	dy
	-vxBy*+vvBxBv)				•						( 1 1 5 )
1 Пренебрежение		магнитным			полем	индуцированных		токов	следует		пони
мать в том смысле, что в выражении						для электромагнитной			силы в		(1.10)
учитывается	лишь	внешнее		магнитное		поле,	удовлетворяющее			уравнениям
•div В 0 = 0 и rot В 0 = 0 .		Следует,		однако,		иметь в виду, что само			существование
электромагнитной силы обязано именно магнитному полю индуцированных											токов
ji = Re m rot B, = R e m ( - g r a d			cp+VxB 0 ).				Г О С . П У Б Л И Ч Н А Я
2274							Г О С . П У Б Л И Ч Н А Я
2274							НАУЧНО-ТЕ'-. -^ЧГ.				К А Я
							Б И Б Л И О Т Е К А О С С Р

V,	І У;		I V.			~	1	д Р	I V (		1 d 2 V V 1
"г ^д;	"	ду	г	dz			р	ду	\	дх2	ду2
	+	J ^ ) + ^ B			T	_ Q B		X +	V J 3	J 3
		dz2	I	р	\	дх		dz
	-VyBx2-VyBz2+VzByBz);										(1.16)
dvz	„	а і / г	т /	а і / 2			і	дР	і dwz
ax		ду		dz			p	dz	x	дх2
		dwz		d2vz \			о / а Ф			а Ф
	+ VVBVBZ-			VZBX2+			VXBXBZ-		VzBy2	) ;	(1.17)
а з ф	a y	а^ ф	/ а у г				a v y \
ax2	a y 2	az2	* a y				а г / •

к которой еще д о л ж н о быть присоединено уравнение неразрыв ности

9V.		*	1	+ W		„_					(
ах		ду			dz
Введем характерные м а с ш т а б ы величин, входящих в уравне
ния	(1.15) — (1.19), за которые							примем скорость U внешнего по
отношению			к	пограничному			слою потока (ось х направим				в д о л ь
этой	скорости),				некоторый		характерный размер L по оси х
(вдоль		пограничного				с л о я ) ,	давление Р, потенциал Ф и индук
цию	магнитного				поля В. З а		масштаб		длины поперек погранич
ного	слоя		примем величину				б	— условную толщину погранич
ного	слоя,		причем			если в	направлениях у и г толщины				слоя
будут различны, то под б будемпонимать большую										из них. М а с
штабы поперечных скоростей Vy								и Vz определяются в таком слу
чае величинами					U-^-,	как это следует			из уравнения	(1.19).
					о
К а к		обычно,			пограничный			слой	определим	соотношением
м е ж д у м а с ш т а б а м и						поперечных		и продольных координат в			слое:
											(1.20)

•и введем безразмерные

величины:

ТГ

„

г. ,

Vx=Uu,

Vy=—j—v,

Vz=—j—w,

x = Lx',

y = 8y ,

2 = 62',

p^Pp',

Ві = ВВ'і ,

ф =

ф ф ' .

Обратимся

прежде

всего

к уравнению

(1.18). Используя ус

л о в и е

(1.20)

и опуская

штрихи у

безразмерных

величин,

полу

чаем

д2д>

д2ю

UB8

I ди •

ди_

UB82

dy2+~dz*~~

\~dz

у~~ду

z ' +

cDL

\ ~ду~

~ ~dz'

(1-21)

•откуда следует, что м а с ш т а б потенциала может быть определен двояким образом в зависимости от приложенного магнитного поля: 1) если ВуФО, Bz=^=0, то Ф = иВ8 и вторым слагаемым в (1.21) можно пренебречь согласно (1.20); 2) если BY — Bz=0,

В х Ф 0 , т о Ф = ^

В первом случае имеем следующую систему уравнений:

ди

Р dp

1 L 2

І б2

д2и

д2и \

1-и

\-w

—Ч

) Ч-

дх

• ду

p t / 3

дх

б 2

V L 2

дх2

ду2

dz2 I

N ( - ^ -

V -

^ - B

- U B

- U

B V

2 )

;

(1.22)

ду

Р L 2

1 L 2

І б 2

d2v

дх

ду

pU2

б2

ду

б 2

L 2

дх2

ду2

d2v

)

^ ^ ( и В

у -

- ^ В х ) ;

(1.23)

dw _

P L 2

dp ^ 1 L 2 / б 2

d2w

U ^ + V ^ + W ^ ~ ~ ' 9

^ ~ ¥ ~ d z ~ + ^ ~ ¥ ' ^ i y

дх2

d2w

d2w \

dw „ \

ду2

dz2

б x

ду

которая допускает различные формы уравнений МГД - погранич - ного слоя в зависимости от роли электромагнитного члена.

Так, если электромагнитная сила одного порядка с инерцион ной и вязкой силами, можно получить форму уравнений, кото-

р ая	описывает		в я з к и й пограничный				слой. И з равенства			поряд
ков	вязкого и		инерционного членов следует классическое соот
ношение		между		м а с ш т а б а м и	поперечных и			продольного		р а з м е -
		б	—	1
р о в с л о я : - г - =			—	_ ( R e > > l ) .
		^	VRe
	П р и м е м величину -j- за малый параметр							и, следуя	Л о й ц я н -
скому [8], представим искомые функции в								(1.22) — (1.24)		соот
ветствующим			рядом по степеням				этого	п а р а м е т р а :		f=fo+
Ч — J = . f i + . . .			. Уравнения д л я нулевого приближения						(при д о -
полнительном			предположении		P =	pU2)
	ди0	~ди0		ди0	др0	д%и0		д2ий
	ox	ay		oz	ox	ay2		oz2

+ N ( ^ B y - ^ B z - u Q B z 2 - u 0 B y 2 ) ;

ду	]/Re	x	dz	1
0 = - ^	+ _ ^	( Ы о а д +	^ - 5 х ) ;	(1.25)

dy2

du0 dx

H — ^	n r - = — — By—-—DZ		;
dz2	dz "	dy
dvo	dwo
dy	dz

и будут

составлять

уравнения

в я з к о г о трехмерного

погранич

ного слоя. И з этих

уравнений

следует,

что

если N = 0(1),

то

при

наличии

продольного магнитного

поля

(Вхф0)

поперечные

гра-

диенты

давления

имеют порядок — = ,

отличие

от

случая

Вх = 0,

YRe

где, как и

в немагнитном

слое,

поперечный

градиент

д а в

ления

на

порядок

ниже

~ 0

( ^ ё )

^ е м

не учитываться.

Введем число

Гартмана Ha = BL

" | / ~

^ N =

~]=f£~j •

Тогда

<<< < Предыдущая 12 / 312 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ