книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

шее отклонение поверхности в сторону отрицательного

угла ве­

дет к возникновению отрыва. Этот вывод

имеет

в а ж н о е

значение

д л я экспериментальной

практики .

Несмотря на то что р а с с м а т р и в а е м а я

здесь

з а д а ч а

связыва ­

лась выше с анализом

диффузорных течений, обнаруженные при

скорости,

могут

возникнуть

и в других

аналогичных

ситуациях

в

гидродинамике .

В самом

деле,

з а д а ч а

о линейном

источнике

у

плоской

поверхности является

цилиндрическим

варианто м

нове

этого явления

л е ж а т те ж е причины, о

которых

говорится

выше .

2.3.7. МГД - течение у плоской поверхности

при наличии линей­

ного

источника. Здесь мы рассмотрим

магнитогидродинамичес -

кие

аспекты задачи,

поставленной в п.

2.3.6. И м е я в

виду кон­

чимся

случаем

а = 0, т. е. когда полуограннченный

линейный ис­

точник ортогонален плоской поверхности.

Пусть

имеется

чисто

радиально е

внешнее магнитное

поле,

т. е. в

решении

(2.90)

положим Л = 1, 5 = 0. Тогда з а д а ч а

описы­

вается

уравнением

(2.84), в котором

следует

положить

l = L = 0

и пренебречь членом,

пропорциональным

5, и уравнением

(2.87).

Граничные

условия для

скоростного поля

остаются

теми

же, что

в п. 2.3.6,

т. е.

(2.124) — (2.126). Что

касается

условий

для

поля

х¥и

то, поскольку

потенциальное течение

(на

большом

удалении

от

поверхности)

не

взаимодействует

с

внешним

р а д и а л ь н ы м

магнитным полем, индуцированное там поле д о л ж н о

равняться

нулю.

Будем

считать

далее, что в полуплоскости

2 < 0

имеется

система азимутальных электрических

токов,

которая компенси­

рует 2- составляющую магнитного поля на границе

р а з д е л а

г| = 0

(это м о ж н о осуществить, например, организацией

в

простран­

стве z < 0 течения

с линейным стоком

в радиальном

поле) . Тогда

условиями

д л я

4х

і

будут

служить

4^(0)

= 0

и Ч г , і ( о о ) = 0 .

При м а л ы х

числах Re

(положим д л я определенности R e = l ,

т. е. ар'(оо) = 1)

нелинейное уравнение (2.84) м о ж н о линеаризо ­

вать

введением

функции

ipі = ijj — і] и последующим пренебреже ­

нием

квадратичных по i^i

членов. Решение полученной таким об-

р а з о м системы

представим в

виде

р а з л о ж е н и я

в ряд

по степе­

ням малого параметра

Н а 2 :

гР 1 = г|)1о + Н а 2 г р „ + 4 ^ ,

= ' 4 F 1 o + H a 2

T 1 1 + . . . .

Тогда д л я определения функций

ори и WH будем

иметь

систему

(1 +Г|2 )ЧЛо + 2тгфіо = 2 Ц У 1 + п 2

- ( 2 а +

- | ) г , 2

- 2 а

+ с - 1 ;

. ( 1 + Л 2 ) ^ ' п + 2 і 1 г | ) 1 1 - г і ^ 1 о = 0 ;

(2.135)

<1 + T 1 2 ) ^ " 1 0 + ^ , I O - 1 F 1 O = ^ ' . O - ^ I O

с условиями

ір ! 0 (0) = 0 ,

г р , ю ( о о ) = 0 ,

гри(0) = 0 ,

¥ , 0 ( 0 ) = 0 ,

Ч " 1 0

( ° о ) = 0 .

(2.136)

Первое

уравнение

системы

(2.135)

является

лишь

линеари­

зованной

формой уравнения (2.123)

из п. 2.3.6,

поэтому

для вы­

числения постоянных а, і и с можно воспользоваться

соотноше­

ниями (2.129),

(2.130). Это дает

а=—

Ь = 1, с = —

а реше­

ние для тріо записывается

в виде (36]

1

2(1 + л 2

) э / 2 — З л - 2 —2т!3

іріо= -г-

1+Т| 2

П о д с т а в л я я

найденное

грю в уравнение

д л я ^ ю , получаем

ре­

шение

^ • 0 = ^

{

(5 + 4 In 2 - 2 я ) л - -

j f

^

+

^

+ 1/Т+^)[\п

(1 + г , 2 )

-

14

1

- 2 Arshr|] + 4ri a r c t g n - — У і + т ) 2

+ 4

f .

В свою очередь, решением второго уравнения

системы

(2.135)

будет функция

8

т]3

4

т)2

5

т]

1

arctgr)

^ п = 2І~

1 + т ) 2 +

~9 1 + т ] 2 +

Т

1 + т ) 2

~

У

1+Т12

+

4

т)3

А

1

In

(1+т) 2 )

, 1

г ,

3 ,

9 1 + т )

a r c t g r , + -

, \ _ '

;

+ -

—

2

ь

'

3

1 + т)2

9 1 + г , 2

ХІП

(1+Т]2) +

— У1+Г| 2 І П

( 1 + Г ] 2 ) - —

X

X У і + т ] 2

ArshT]-

• Arsh т) —

1

y i + r i 2 +

9

1+т):

9

/ 1 4

4

, «

2

\ ті3

14 ,-

и равна

С 3

=

-^у.

Н а

рис.

2.31

приведен

график

функции

t | / = 1 + г | / ю +

На 2 о|) /

1 ь

вычисленной

согласно

(2.137).

К а к

видно

из

приведенного

рас­

чета и рис. 2.31, радиальное

маг­

нитное поле оказывает сущест­

венное

влияние

на

течение

у

по­

верхности,

в

отличие

от

плос­

кого течения в диффузоре, рас­

смотренного в п. 2.2. Таким об­

разом,

пространственные

эф ­

фекты

в

реальном

д и ф ф у з о р е

с

Рис.

2.31.

Влияние радиального

ограничивающими

течение

па­

магнитного поля на течение в

р а л л е л ь н ы м и плоскими

стенками

круговом

конусе

с а = 0 :

могут

в

определенных

случаях

1 _

Наг =0;

2 — На! =0,1; 3 — Наг =0,2;

усиливаться

р а д и а л ь н ы м

магнит­

4 — На2 =0,5.

ным

полем.

Пусть

теперь

та

ж е

з а д а ч а

рассматривается в

азимутальном

магнитном

поле,

вызванном

протеканием

электрического

тока

по оси

симметрии (оси

z).

Строго

говоря, т а к а я

з а д а ч а не

опи­

сывается

исследуемым

классом точных решений, что легко по­

к а з а т ь

из

поведения

искомых функций в области потенциаль­

ного потока, т. е. вдали от твердой

поверхности.

Действительно,

полагая, что в потенциальном потоке Vz=0,

из

d i v V = 0

полу­

чаем

Vr=

-у-, и

л и

' согласно

(2.125),

Vr=

.

П о д с т а в л я я

теперь

это

решение

в уравнение

индукции

Vm

д*Нч

1

дНу

Я,

-

0>Г2

+

дг

Ї * Л

=

г 2

/

дг

получаем

решение д л я Я ф (при отсутствии

внешнего или наве­

денного электрического п о л я ) :

Я 0

(2.138)

где R e m =

pRe.

Решение (2.138) показывает, что поток

жидкости сущест­

области, занятой жидкостью, з а счет

появления в

ней осевого

электрического

тока

І2

Re m #o

(2.139)

r2-Re„,

Отсюда ясно, что заданные

в виде

(2.138) и (2.139)

функции не

удовлетворяют

условиям

определения

класса

точных

решений

(2.9),

но построение

приближенного

решения

возможно .

Д а н н а я з а д а ч а

представляет

интерес,

с

одной

стороны,

поле линейного тока [22, 23], с другой

стороны,

она имеет

отно­

шение

к проблеме создания

гидромагнитов

и проблеме

самовоз­

буждения .

В

обоих

случаях

реше ­

ние ее позволяет

учесть влияние ог­

раниченности

области

течения, чт о

н е м а л о в а ж н о

при анализе

экспери­

ментальных результатов.

Некоторые

особенности

течения

при

наличии

ограничивающей по­

верхности

можно

у к а з а т ь

д о полу­

-77777777777777777777777777777777777Z

чения решения. Пусть поверхность

Рис. 2.32. Схема

растекания ин­

является непроводящей. Тогда осе­

вой на бесконечном

удалении

от по­

дуцированного

электрического

верхности

ток в

жидкости

(2.139)

тока в течении

с линейным ис­

точником радиальной

скорости.

будет

растекаться

в

радиальном

направлении

вблизи

поверхности

(рис.

2.32). П р и этом

будет

осуще­

ствляться поворот вектора электромагнитной силы

] Х Я ( ) . е ф , а ее

rot будет направлен так, ка к показано

на рис. 2.32. В соответст­

вии с этим возникнет вторичное течение, характер

которого про­

тивоположен

описанному в п. 2.3.5.

Д л я

построения приближенного решения примем, что Rem <#;l.

Тогда

в (2.138)

можно провести

разложение

в

ря д по

малым

или

— - Ї

= 1 + R e m l n r +

(2.140)

откуда

видно, что если

второй

член

р а з л о ж е н и я

(2.140)

принять

з а

индуцированное

магнитное

поле,

то

последнее будет

иметь

логарифмическую

особенность

на оси z

(г = 0) . Это обстоятель­

ство учтем при постановке граничных

условий д л я индуцирован ­

ного

поля.

W = 0, ЬФО. Кроме

П о л о ж и м

в (2.84) —(2.89)

/ = 0,

того, бу­

дем

искать решение

полученной

системы уравнений в виде ряда

по возрастающим

степеням Н а 2 :

•ф = ф о + Н а 2 ф , +

L i = L,o +

H a 2 L M +

а в качестве

L 0 используем решение

L 0 = l . Тогда

система

урав ­

нений

(2.84) — (2.89)

запишется

в виде

( l + - n 2

) ^ o + T ) i i ) o + Y V = 2 ^ y i + T l 2 - 2 c ( l + T i ^ ) + c ;

(2.141)

( 1 + ї ) 2 ) я | / і

+ ч ф і + г|>оФі =

- 2 ( 1 + 2 г | 2 )

[

TiL,0 dTi +

H-2-пУІЧ-ті2

J - £ ^ L l o

d r \ ;

( 2 . 1 4 2 )

( 1 + T , 2 ) L " 1 0 + 3 T I L ' 1 O = - 2 ^ O .

( 2 . 1 4 3 )

К а к и в предыдущем п а р а г р а ф е ,

граничными

условиями д л я

т|>о будут условия

(2 . 124) — ( 2 . 1 2 6 ) .

L i 0 имеем L | 0 ( 0 )

Д л я индуцированного магнитного

поля

(что

следует из непрерывности нормальной составляющей

магнит­

ного

поля

на поверхности г) = 0

и очевидного условия

равенства

нулю

индуцированного

поля

в

области

твердого

тела

2 ^ 0 ) и,

согласно

( 2 . 1 4 0 ) ,

l i m ( L 1 0 + l n r | ) = 0 .

(2 . 144)

Относительно

граничных

условий

д л я

-фі

заметим, что_ по­

мимо

постоянной

интегрирования

определению

п о д л е ж а т

еще

две постоянные в правой части

уравнения

(2 . 142) . Эти три по­

стоянные м о ж н о найти из двух условий прилипания

і р і ( 0 ) = 0

и

ij>'i(0)=0

(2. 145)

описанного в главе V I I I .

Относительно (2.147)

заметим еще, что вследствие

наличия

логарифмической особенности (2.144) в решении

д л я индуциро­

ванного поля оно не дает регулярного решения

д л я

поля ско­

метрии

(/"=0)

имеет ту ж е логарифмическую

особенность:

l i m Vz=

V

V /

1

\

l i m —

ц (т)о|/ — ф) = l i m — I

— — In т] 1,

Г-Н)

Т]->-оо ^

11~>-оо 2 *

Л

решения при

больших

значениях

числа

Реинольдса

(или

экви­

валентного ему

п а р а м е т р а ) . Впервые

на

эту возможность

обра ­

тил

внимание

Л а н д а у

[11] в з а д а ч е

об истечении

струи

из

конца

тонкой

трубки в

неограниченное

пространство. Л а н д а у

п о к а з а л ,

что

д л я

«сильной» струи,

т. е. при

импульсе /-voo,

параметр k

в

соотношении

(2.100)

стремится

к

единице,

к а к

k='-Jr~2>

32яр

где

а = — — -

, а решение

(2.99)

приобретает вид

=

—

a 2_|_Q2

Д л

я малых углов (8 ~

а)

и

/ = ~ 2 c t g —

д л я больших углов

( 0 ~ 1).

О д н а к о приближение пограничного слоя м о ж н о получить и

непосредственно

из

уравнений

(2.70) — (2.74).

Ограничиваясь

например, что, пользуясь

ф о р м а л ь н ы м и операциями, которые

применяются

при вывод е

уравнений

пограничного слоя

[37],

м о ж н о получить хорошо

известное

решение Шлихтинга д л я

круглой струи [20].

Уравнение (2.70) в

условиях з а д а ч и Я ц е е в а — С к в а й р а

(т. е.

а=Ь = с=А)

запишется

к а к

(1 + ту2) V + т т ф + ~ Т = А

(2пУ

1 + т ) 2 - 2 г ) 2 - 1 ) .

(2.148)

-(l + m ' t + ^ + ^ = A ( l y T + T * -

(2.149)

Согласно

представлениям

теории

пограничного

слоя, мас ­

штаб ы продольной (вдоль оси

струи)

и

поперечной

координат

соотносятся

ка к

yRe,

поэтому логично

перейти к

переменной

to = У Re t. -

(2.150)

К р о м е того, функцию тока при больших Re м о ж н о

предста­

вить в

виде

i|)=VRi"i|)o + * i + - 4 r r * 2

+ . - . •

(2.151)

yRe

П о д с т а в л я я

(2.150) и (2.151)

в

(2.149)

и переходя к пределу при

lb 2

Re-voo,

получим

уравнение

^уф'о —tyo— tQ~ = 0, которое

подста-

F

иовкой

гро =

г

переходит, наконец, в уравнение Шлихтинга [20]:

шения

з а д а ч и

о

круглой

струе,

справедливого при л ю б ы х

Re.

П о л ь з у я с ь аналогичным методом, найдем решение (при боль­

ших числах Re) з а д а ч и о течении

у плоской поверхности при на­

личии

линейного

источника (см.

п. 2.3.6).

П о л а г а я в

(2.131)

Re2

Re2

а = 0 ,

получим

6 = Re, а = — ——,

с=

а уравнение

(2.123)

t

после

замены

переменной

11 = ^ Щ : > подстановки (2.151)

и

при­

следующую систему

уравнений:

* 0 + 2

Т ;

( 2

Л 5

2

)

* ' , + W

i = 2f;

( 2

1 5

3

)

Уравнение , (2.152)

при

условии

ор0

(0) = 0

дает

решение

по­

ставленной

задачи

в

приближении

пограничного

слоя,

уравне ­

ния

(2.153)

—

поправки

на

конечность

числа

Re. Різ

особен­

ностей

решения

уравнения

(2.152) отметим

отсутствие

трения

на

стенке

( i l ) " ( 0 ) = 0 ) ,

что

следует

непосредственно

из

продиффе ­

ренцированного

уравне ­

ния

(2.152)

и

согласуется

о)

с выводом,

полученным

в

п. 2.3.6 (формула (2.134)).

1.0

Н а

рис.

2.34

приве­

дены результаты

числен­

ного

расчета

уравнения

Л

(2.152)

(кривая,

соот­

1

ветствующая

Re = oo),

а

1

2

V J / "

т а к ж е

кривые

дл я

дру­

гих

чисел

Re,

полученные

"

1

2

3

4 if/Si-t

путем

решения

на

Э В М

уравнения

(2.123).

Т а м

Рис. 2.34. Профили радиальной скорости,

ж е

пунктиром

проведена

к р и в а я

д л я

R e = l 0 0 ,

рас ­

нормированной по числу Re, в течении у

плоской

поверхности

(а)

и

вид

функции

считанная

по

ф о р м у л е

первого приближения

(б):

I

,

кривые 1, 2, 3 — точные профили при Re=I,

10 и

Re

VRe• і|з и,

учи-

100

соответственно;

кривая 4

— по уравнению

(2.152); пунктирная — приближенный

профиль для

т ы в а ю щ е и лишь первое

Re=100 с

учетом первого

приближения.

приближение

по

Re

(функция

і|з'и

п о к а з а н а

на

рис.

2.34, б ) .

К а к

видно

из

данного

рисунка,

у ж е

при

Re=100

приближенное

решение достаточно хорошо

соответствует

точному,

полученному

из

полного уравнения (2.123),

особенно

на начальном участке, та к что приближение пограничного

слоя

достаточно

хорошо

работает

и

д л я

рассматриваемой

задачи .