Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

т ак что завихренность

	На
(01,2' (—У	-(г±х)
(01,2' (—У

\Н а г /

ок а ж е т с я у б ы в а ю щ е й экспоненциально везде, за исключением областей

rdrA'=const = C1 > 2	,
где она убывает	лишь, к а к г~1,\ Таким образом, завихренность,

к а к и возмущения прочих величин, ощутима лишь в двух пара

болических следах у2	= С\,22Ч12Сі,2Х, открытых в положительную
и отрицательную стороны оси х, т. е. вдоль направления		магнит
ного поля (рис. 5.1).
Экспоненциальное	убывание возмущений вне следа	приводит

к возможности построения решения, соответствующего на беско


нечности однородному потоку, что сви
детельствует об отсутствии в магнит
ной гидродинамике				парадокса		Стокса.
Физической основой этого формального
математического вывода служит при
сутствие		дополнительного			механизма
передачи возмущений волнами Альф -
вена, суть которого состоит в том, что
возмущение,			появившееся		в	какой -
либо	точке		пространства,		порождает		Рис.	5.1. Схема образования
возмущения			в соседних точках,			л е ж а	двух	следов при стоксовом
щих	на	силовой		линии	магнитного		МГД-обтекании тел.
поля,	а	скорость		распространения

возмущений вдоль силовой линии совпадает со скоростью волны Альфвена V a .

М о ж н о провести следующую аналогию м е ж д у классическим течением Озеена и МГД - течением Стокса: если в первом случае возмущения, п о р о ж д а е м ы е телом, сносятся конвективным пото ком, образуя след, то во втором с л у ч а е след образуется к а к ре зультат передачи возмущений механизмом волн Альфвена, при этом, однако, частицы жидкости могут и не перемещаться вдоль

следа.		П о п а д а я в М Г Д - с л е д ,			частица			жидкости возмущается, пе
редает		возмущение		соседним		частицам			и покидает	пределы
следа		(если	конвективная		скорость			V	направлена	под углом
к магнитному			полю	Н ) . Имеется			т а к ж е		аналогия в	структуре
следов.
В	классическом ж е стоксовом						течении		возмущения	рассеива
ются	л и ш ь б л а г о д а р я			вязкости		и слабо сносятся основным пото-

11 — 2274

ком. Магнитное поле, таким образом, к а к бы выполняет в стоксовом течении роль конвективного переноса возмущений в клас сическом течении Озеена, причем гораздо эффективнее (экспо ненциальное убывание возмущений вне следа в МГД - стоксовом

течении		и алгебраическое —	в гидродинамическом течении			Озе
е н а ) . К		этому еще следует добавить, что при наличии			магнит
ного поля помимо вязкой присутствует еще				и д ж о у л е в а	дисси
пация .
	З а м е т и м , что к уравнению		(5.6) можно прийти и иным		путем,
не	предполагая малости U. Д л я этого следует положить				в	(5.4)
evV	= 0.	Последнее означает,	что градиенты	всех величин		вдоль
направления невозмущенной			скорости равны	нулю. Такой		слу-

•чай м о ж е т иметь место, например, при продольном обтекании тела неизменного поперечного сечения в произвольно ориентиро ванном магнитном поле [7, 8].

2.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО НЕВОЗМУЩЕННОИ СКОРОСТИ

В	этом случае		e „ V = e H V		и	оператор		четвертого			порядка
м о ж н о представить			произведением операторов						второго порядка:
[ V 2 + f e i ( e „ V ) ] [ V 2 + M e u V ) ] ( o ( j ) = 0 .											( 5 - 8 )
где
2Ai.2= -		(Re + Re m ) ± У ( R e + R e m ) 2				- 4 Re R e m ( l - A l ) ,
a R e = — и R e m = —				числа	Рейнольдса,			вычисленные			по еди-
	V	V m
ничному		размеру .
Уравнение (5.8) отличается от (5.6)							л и ш ь		тем, что в		первом
вместо		п а р а м е т р а	± Н а	присутствует			& i \| 2 . Поэтому			и	выводы,
следующие из а н а л и з а решения,						в целом		аналогичны		приведен
ным ранее, т. е., вообще говоря,						и здесь образуются дв а следа,
причем один из них располагается						вниз, а второй — вверх по по
току,	вдоль направления магнитного						поля.		Отличие		м е ж д у
следами		состоит в следующем . П о сравнению со стоксовым тече

нием, где возмущения передаются посредством вязкости и вол нами Альфвена, в течении Озеена в переносе возмущений участ вует и конвективный механизм . Т а к к а к е„ = ен-, то в следе за те лом конвективный и альфвеновский переносы действуют в одном направлении, в переднем ж е следе — во встречном направлении .

В связи с этим приобретает значение соотношение м е ж д у кон вективной U и альфвеновской UA скоростями .


Если U>UA(A\<1),				то передний след вообще не развивается
(имеется лиш ь			один	обычный след з а			т е л о м ) ; при		U<UA{AI>1)
образуется второй след, в котором							возмущения		распространя
ются	вверх	по	потоку. Если		ж е	U=UA		(А1 = 1),	то оба	меха
низма	компенсируют			друг друга		и д л я		переднего следа		имеет
место	ситуация		классического стоксова течения [5]: возмущения
в этой	области		рассеиваются л и ш ь вязкостью, что в плоском							слу
чае приводит		к	невозможности		соблюсти			условие	однородности
набегающего		потока,		т. е. к парадокс у			Стокса.

2.3.РАВЕНСТВО МАГНИТНОГО ЧИСЛА ПРАНДТЛЯ ЕДИНИЦЕ

Пр и равенстве обычного и магнитного чисел Реинольдса опе ратор (5.4) може т быть представлен в виде

[V2-Re(e1JV)+Ha(eHV)][V2-Re(el,V)-Ha(eHV)],							'	(5.9)
тогда	направлени я		следов будут		определяться		векторами
( R e e „ ± H a e H ) .		В частном		случае	параллельности		магнитного
и скоростного полей			коммутативные операторы (5.9)				и (5.8)	сов
падают .
2.4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛЕД ЗА ТЕЛОМ
След за телом в пространственном случае принципиально								не
отличается от плоского следа и описывается' тем						ж е	уравнением
(5.4)	[9], где под V 2		следует	понимать	трехмерный	оператор Л а п
л а с а .	Особенностью		пространственного случая являетс я возмож
ность	построения	удовлетворительного решения и д л я А1 = 1						при

параллельности невозмущенной скорости и невозмущенного

магнитного поля		[10]. В		этом	случае д л я переднего		следа		имеет
место ситуация,		аналогичная			стоксовому	обтеканию	пространст
венного тела, т. е. отсутствие п а р а д о к с а						Стокса.
Следы на больших расстояниях от тела в пространственном
случае имеют вид параболоидо в f/2 +;z2						= Ci,22 : : F2Ci,2X.		Исследо
вание структуры следа, основанное на						а н а л и з е фундаменталь
ных	решений, приведено			в р а б о т а х [ 1 , I I , 12]. Подробные					сведе
ния	о влиянии	поля	на	сопротивление		м о ж н о найти в		работах
[1, 3] и в цитированной			там литературе .

її*

§ 3. П Р И Б Л И Ж Е Н И Е ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

В целом	результаты, аналогичные вышеприведенным,	м о ж н о
получить и	в приближении пограничного слоя [13]. О д н а	к о при

менение методов теории пограничного слоя привносит свои осо бенности в анализ течения типа следа. В первую очередь к ним относятся: использование теоремы количеств д в и ж е н и я д л я по лучения нетривиального решения и некоторая неопределенность результатов решения, связанная с тем, что сопротивление тела и влияние на него магнитного поля остаются, по существу, неиз вестными.

Д л я		плоского		следа,			рассматриваемого			к а к пограничный
слой в магнитном поле, о п р е д е л я ю щ а я									система	уравнений (1.13),
(1.14)	в	предположении					= —	—	— = 0	имеет вид
ди		ди	д2и		ц /		дНх	, „ дНх\		/ г і л х
B u + 4 e v ¥ +					? f t i r + i f ' T l ;					{5Л0)
д					д2Нх	;				(5.11)
— (vHx-uHy)=Vm					^	;				(5.11)
^ - + ^ - = 0 ;			^ +	-	^ -	=	0 .			(5.12)
дх	ду		дх		ду
Если выполнены условия симметрии течения по у, то гранич
ными условиями д л я					поля скоростей будут
ди
= 0 ,		и = 0	при		г/ =	0;				(5.13)
д у										(5.13)
u-+U0			при		г / - ь ± ° ° -

3.1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО НЕВОЗМУЩЕННОЙ СКОРОСТИ

Условия симметрии, выполняются, если приложенное магнит ное поле п а р а л л е л ь н о невозмущенной скорости U0- К (5.13) до бавим еще условие д л я магнитного поля:

Лх-+Н0

при г / - > ± о о .

.(5.14)

Д л я

отыскания

нетривиального

решения

присоединим

к ус

ловиям

(5.13) и

(5.14)

интегральное условие

сохранения,

а д л я

получения последнего перепишем (5.10) в виде

д2и

—

[ u { V 0 - u ) ] + — [ v ( U 0 - u ) ) = - v — +

(

( 5 Л 5 )

+ 7 ш [

Н х ( Я о ~ Н х ) ] + 1 у ~ [ Н у { Н ° ~ Н х ) ]

I •

Интегрируя

(5.15)

по у

в пределах

от — оо до + с о и

принимая

во внимание условия (5.13) и (5.14), получаем

со

f[u{Uo-u)--±Hx(H0-Hx)

]

const = HP,

(5.16)

— оо

где

постоянная

W, по аналогии

с обычной гидродинамикой, свя

зана

с сопротивлением

тела.

Л и н е а р и з у е м

приведем

к безразмерному виду

уравнения

(5.10),

(5.11), д л я чего

введем

u=U0(l-u'),

v = U0v',

= HQ{\-H'X),

Hy =

HQH'y,

Пренебрегая,

ка к обычно,

к в а д р а т а м и и произведениями ма

л ы х

добавок, получаем

(здесь

д л я удобства

штрихи

опущены)

ди

д2и

, ,

дНх

дх

ду2

- + А 1 -

дх

JHx=±d4U

ди_

/ 6 = _ R e m \

( 5 Л 7 )

дх

р ду2

дх

\ Р

с условиями

а - » - 0 ,

Нх-+0

при

£/->- + с о ;

ди

„

—

= 0 ,

- т - = 0

при

у = 0.

ду

Последнее условие следует из антисимметричности тока отно

сительно

оси у,

что приводит к симметричности Нх

и к антисим

метричности

Ну.

	К однородным условиям (5.18) д о б а в и м еще	(5.16), которое
д л я	м а л ы х д о б а в о к переходит в
со
[	(u-MHx)dy=-^-	(5.19)

и, кроме того, легко получается интегрированием по у первого уравнения системы (5.17). Есл и ту ж е операцию проделать н а д вторым уравнением системы (5.17), то к р о м е (5.19) будем иметь еще

00
f (u-Hx)dy=-£-.	(5.20)

—оо

И з (5.19)	и (5 . 20)'можн о		получить
00				оо
Г	1	W-A1D	.	Г	„ ,	1
Judy=-———		U0v	=klt	J	Hxdy=-——	1— A l
J	1— A l	U0v		j		1— A l

—W—D = k 2 .

UQV

(5.21)

Нетрудно видеть, что решение системы (5.17) с условиями (5.18) есть

и=Ах-Ч'е-аУ'1х;

причем значения а, определяемые Корнями квадратного у р а в

нения,	есть
1
cci, 2 = - g	[1 + Р ± У ( 1	+ Р ) 2 - 4 р ( 1 - А 1 ) ] .			(5.22)
Т а к и м образом , решение записывается					суммой
u=Alx-'be~a->y2lx+		A2x-4'e-a=v*'x	;
НХ=В іХ-1Ье-і/Ч+В3дг-,/.в-ад,/х					(5.23)
где постоянные А и В с в я з а н ы			соотношениями
_ ( 1 - 4 а 1 і 2 )			В	"
#1,2 =	,	A i , 2 = -		A I J 2 .
ч	A l	B - 4 a i , 2
З а м е т и м , что результат (5.22)			мы	имели	ранее (см. п. 2.2).

Постоянные A J и

А2

(при

A l ^ l ) определяются согласно

(5.21)

как

А -

і /

^ K 2 - k i ( l - 4 a 2 )

д _

1 - | / a 2 ^ i ( l — 4 G C I ) - / г 2 A l

4 ' я

а2 — а\

4 » я

а2 — а\

т. е. через &i и k2,

которые сами, вообще говоря, подлежат

опре

делению, например посредством эксперимента.

1 "t" 3

Если A l = 1, то ссі = —4 — , а 2 = О, Б[ = — рЛ і и

Ах=

Л 2 = £ 2 = 0 .

2 ( 7 o V y n y i + p

При А 1 > 1 дл я удовлетворения

условиям

(5.18)

необходимо

положить

Л 2 = 5 2

= 0.

Пр и

этом выражения

(5.21)

дают

А \ =

— ki

—,

— k2

/ — , a k\ и k2

оказываются

связанными

соот-

\ я

Н о ш е н и е м

1—4о0|,

„

СВОЮ

А1 — 1 + 4 а і ™

г г - 1 ^ ! - В

О Ч е р е Д Ь , D=

-r-r-.

A l

4А1аі

3.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ОРТОГОНАЛЬНО НЕВОЗМУЩЕННОЙ СКОРОСТИ

П о л е скоростей остается симметричным и при наложении по перечного магнитного поля, дл я которого можно принять

Н х ^ - 0 ,		Hv-^-H0	при г / ~ > ± о о .
	Интегральное условие отличается от (5.16) лишь видом вто
рого слагаемого в подынтегральном выражении:
	со
f	[u(U0-u)	+ ±Hx*]dy=W,		(5.24)
а	линеаризованная		с учетом НХ = Н0Н'Х и Ну—Но{1—Н'у)	сис

тема уравнений (5 . 10), (5.11) приобретает вид (здесь также опу

щены	штрихи)
ди _ д2и		дНх
~дх~~ду^~		~ду~'
д Н , = = ± д Ч 1 х _ д и			{ Ь - 2 Ь )
дх	р ду2	ду	'


Д л я	уравнений		(5.25)		м о ж н о	было	бы, к а к и	в предыдущем
случае,	поставить		те	ж е	условия	(5.18), заменив		четвертое усло
вие на	Нх(у=0)	= 0,		которое является			следствием	нечетности Нх

по у, что, в свою очередь, следует из четности и по у и из урав

нений

(5.25). Мы, однако,

применим

иной метод решения с ис

пользованием

начальных условий,

качестве

которых

з а д а д и м

начальные

(в

сечении

х—0)

профили скорости

магнитного

поля:

и(0,у)=Сб(у),

Нх(0,у)=0,

(5.26)

где

С —

постоянная

(пока

п р о и з в о л ь н а я ) ; 6(у)

—

дельта - функ

ция

Д и р а к а .

со

й{а,

х)

ue~iQlJdy,

П р и м е н я я

преобразование

Фурье

= J

со

—со

Н(а,х)

S Hxe~imJdy

уравнениям

(5.25),

получим

решения

—со

д л я

т р а н с ф о р м а н т Фурье й и

Н:

й=А1еа>х+А2еа-х

;

•=•

„

С Х 2 + 0 2 .

l A l a

причем

А\

и Л 2

определяются из условий (5.26), которые после

преобразования примут

вид

й(о,0)

-С,

Н(а,

0 ) = 0 .

Отсюда

a 2 —« і

— a i

В этих

в ы р а ж е н и я х

a l

i 2

являются

корнями

квадратного урав

нения:

= -А 1 + j ) ± р( 1 - j

) 2 - 4 A I а 2 ]

Переходя

к оригиналу,

имеем

/ (Alea*x

+ A2ecbx)eiavdo

;

2 я

•>

—со		(5.27)
	со	(5.27)
	со

х 2JT J V і A l a

і A l a

В частном случае р = 1 решение принимает простой вид:

и=	ехр[	-	\|	І	(у+уМхУ		] + ехр [ -		(у-УА\ху		] } ;
Л , = - ^ { е х		р	[	-	З і	{ у +	уАІху]-
	УАІл к		1		4х			л
а	постоянная		С	определяется			из	интегрального		условия (5.24),
											со
приближенной			формой			которого		является	в ы р а ж е н и е		J u'dyf =
											—со
с _	^ У й і _
3.3. БЕЗЫНДУКЦИОННОЕ						ПРИБЛИЖЕНИЕ
	Особый интерес				представляет			наиболее	часто	встречающийся
в	л а б о р а т о р н о й практике случай, описываемый безындукцион
ным приближением .					Решение		д л я этого случая			легко	получить
из	у ж е приведенного					выше решения (5.27), если р					устремить

к нулю, но при этом					считать A l p = N			конечной	величиной. Дейст
вительно, при таких					предположениях			имеем
Аі-+0,		Л 2 - > - - С ,		c t i - > - о о ,			a 2 - > - a 2 - - N .
Отсюда
а = 4 = е х р ( - N * - - ^ - ) ,							Я Я = 0 ( Р ) .
	Ух	4			4х1
Рассмотрим,				однако,		подробнее		вопрос	о структуре		следа
в поперечном			поле		при	м а л ы х р. П р и этом			возьмем	более об
щ у ю	задачу,		когда		имеется внешний поток с градиентом						давле
ния,	точнее,		когда		внешний		поток характеризуется			продольной
составляющей скорости						и(у=±оо)		= U(x).	Первое	уравнение
(1.25) в		плоском		случае		и в	предположении,		что имеется		л и ш ь

одна

с о с т а в л я ю щ а я

поля НУ = Н0,

запишется

следующим

об

разом:

ди

др

д2и

аоН

дц> \

28)

дх

ду

ро

дх

диу2

Если считать, что внешняя по отношению к полю течения

электрическая

цепь

разомкнута,

то

спутном

потоке

/ z = 0

= \.\,Нйи{х);

если

ж е

цепь

замкнута

накоротко,

то

~ ^ ~ = 0 -

первом

случае

д л я

реализации

внешнего

потока

V(x)

следует

приложить, согласно

/ с о о \

градиент давления

T1dU

(5.28),

— р ~ ~ д х ~

~dx

TrdU

, (.іЯо2 т

_ ак

или

иначе,

уравне -

во

втором

= U-:

1- - — - U.

ах

pVm.

ниє (5.28) запишется в виде

и Я 0 2

, . .

ди

Т 1 т и

д2и ,

(5.29)

и ——|-v

—— = UU' + v—

-——

(U-u)

дх

ду

ду2

PVm

Линеаризуем

последнее

уравнение,

положив

u=U(x)—

ии

v=~U'y-

ди{

+ v1

f~-^-dy=-U'y

(в

соответствии

уравнением

неразрывности) .

Тогда

будем

иметь

д2щ

диі

( № + и

„1=

0 .

"(5.30)

v —г— -

U —— + U'y •

ду

ду2

дх

PVm

Если

сделать

замену «i = exp

( — JN(x)dx)u2,

где N{x)

=—

рТтС (X)

и, в свою очередь, перейти к обыкновенному

дифференциальному

уравнению,

положив

и2- -Umf

(m >

ТО

ПОЛУЧИМ

СЛЄДУЮЩЄЄ

уравнение:

U82

U'82

f=0

(5.31)

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ