книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле
.pdfвыбор соответствующей ветви |
кривой J(k): если S < 1 , то / г > 1 ; |
||
если S > 1 , то /г < — 1 . Уравнение (2.108) показывает, что с |
ростом |
||
5 ( |
0 ^ 5 < 1 ) дл я сохранения / |
необходим все меньший началь |
|
ный |
поток импульса JQ. Более |
того, при S > 1 необходимо |
зада |
вать отрицательный начальный импульс, т. е. если в отсутствие поля (5 = 0) жидкость вытекает из трубки, то при 5 > 1 дл я со-.
хранения полного |
потока импульса необходимо всасывать ж и д |
кость из о к р у ж а ю |
щ е й среды. |
П р и |
5->-1 /<г-»-0, |
ка к |
—^- при /г^-оо. Решение |
д л я 5 = 1, |
ка к |
следует |
из (2.103), |
есть |
fo = Ds'm&, а постоянная |
D связана |
с J |
соотношением |
|
|
|
|
|
/ =» — 8nv2pD . |
|
|
(2.109) |
Линии тока в струе дл я описанного случая приведены на рис. 2.14.
Ось симметрии
Рис. 2.14. Линии тока в струе Ландау при бесконечной проводимости струи и при условии сохранения полного импульса:
/ — S=0; 2 — S=0,68; 3 — S=1.0; 4 —
S = 2,2.
Ось симметрии
Рис. 2.15. Линии тока в струе
Ландау |
при заданном |
началь |
|
ном импульсе: |
|
||
_ |
_ |
S=0; |
— S = 0,2; |
|
|
5=0,4. |
М о ж н о т а к ж е |
поставить условие сохранения начального по |
||||||||||
тока |
импульса |
/ 0 |
при изменении 5. Тогда |
из (2.108) |
следует, что |
||||||
с увеличением |
S ( 0 s g S < l ) |
полный |
поток |
возрастает. |
|
Линии |
тока |
||||
в струе д л я этого случая |
приведены |
на |
рис. 2.15. |
Однако |
при |
||||||
5 = 1 решение |
не |
единственно и зависит |
от способа |
|
стремления |
||||||
с |
, v |
|
ж е |
|
• |
D |
C ( l - S ) ( c o s 6 - f c ) |
пока- |
|||
5 к |
1. Уравнение |
линии тока |
R = |
— |
п -. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 s i n 2 0 |
|
|
|
зывает, что при 5 = 1 |
^ = 0 |
всюду, |
за |
исключением, |
может |
быть, |
|||||
л и ш ь |
0 = 0 (если |
это так, то струя |
вырождается в л у ч ) . |
|
|||||||
П р и 5 > 1 направление |
течения |
меняется на прямо |
противопо |
||||||||
ложное, т. е. если при 5 = 0 мы имели |
истечение струи |
из трубки, |
то при 5 > 1 |
жидкость |
будет всасываться трубкой, и наоборот . |
||||||||||||||||||||||
Это согласуется с приведенным выше анализом |
д л я |
случая |
со |
|||||||||||||||||||||
храняемости полного потока импульса в струе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Учет |
последующих |
приближений в р а з л о ж е н и и |
|
(2.102), |
ве |
|||||||||||||||||||
роятно, приведет к более сложной |
связи |
м е ж д у |
/ , |
й, |
(5 и |
S, |
|
чем |
||||||||||||||||
показывает |
|
(2.107). Однако, |
ка к следует |
из |
расчета, |
если |
реше |
|||||||||||||||||
ние |
д л я |
/і |
при |
5 = 1 |
подчинить условиям f'\ |
е |
= 0 |
= 0 , |
то |
ока- |
||||||||||||||
жется, что параметр k |
не зависит |
от |
р и по - прежнему |
определя |
||||||||||||||||||||
ется |
соотношением |
(2.109). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приведем |
в качестве |
примера |
решение д л я |
нулевого прибли |
||||||||||||||||||||
жени я (2.103) в случае, |
когда |
а = Ь = с. В уравнении |
(2.103) |
|
сде- |
|||||||||||||||||||
лаем |
замену |
fo= |
|
2 |
|
|
к' |
а |
в качестве |
переменной |
введем |
t= |
||||||||||||
— -ч—о—. |
х |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 —о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= cos2 |
|
Тогда |
(2.103) |
|
перейдет |
в |
уравнение |
Эйлера: |
|
|
|
|||||||||||||
2£х" + а ( 1 - 5 ) х = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
общим |
решением |
которого является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x=Be*/*ch |
( — |
+л) |
|
|
|
|
при |
l - 2 a ( l - S ) = n 2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
/ |
ftlX |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к = ВехЬ |
c o s ^ — |
+А J |
|
|
|
|
при |
l - 2 a ( l - S ) |
= |
- m 2 |
; |
|
|
|
|
|||||||||
x = Be*h(\+Ax) |
|
|
|
|
|
. |
|
при |
l - 2 a ( l - S ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь Х = ІП ( 1 + C O S 0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Соответственно |
д л я функции /о получим |
в к а ж д о м |
из |
пере |
||||||||||||||||||||
численных |
случаев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
/ 0 |
( 1 - S ) |
( 1 + |
cos9) |
I |
|
|
|
|
V |
2 |
|
/ J |
* |
|
|
|
|
|
V |
|
' |
|||
Го |
|
|
sin 0 |
|
_ r |
|
_ m |
|
|
( ^ + |
A ) |
l |
; |
|
|
|
|
|
(2.111) |
|||||
|
|
|
|
|
i |
t |
g |
|
|
|
|
|
||||||||||||
( 1 - 5 ) |
( 1 + |
cos .Є) |
І |
|
|
|
& |
V |
2 |
|
' J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f 0 = |
|
|
sin 6 |
|
|
/ |
, |
|
|
2Л |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.112) |
||||
( 1 - 5 ) |
( 1 + |
cos9) |
1 1 + |
l+Axl |
) • |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
/ 0 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
' |
|||||||||
В отсутствие магнитного |
поля |
( S = 0 ) |
решение |
(2.110) |
т р а к |
|||||||||||||||||||
товалось Яцеевым |
[12] как решение |
задач и |
о затопленной |
струе, |
||||||||||||||||||||
бьющей |
из |
полупрямой |
|
0 = п. |
П р и |
этом |
д о л ж н о |
быть |
а < — • |
Н е с к о л ь ко позже Сквайр [13] получил решение, аналогичное (2.111), и показал, что оно соответствует задаче о точечном ис-
|
|
|
|
|
|
|
JX |
|
|
точнике, |
бьющем |
в |
полупространство |
|
В |
этом |
случае |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
з а д а ч е Сквайра |
положим / 0 |
j |
= 0 . Это |
условие |
озна |
|||
чает |
отсутствие |
перетекания |
жидкости |
из полупространства |
|||||
ТС |
ТС |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 > — в |
8 < у и приводит к соотношению tg/4 = m _ 1 . В то ж е |
||||||||
время |
р а д и а л ь н а я |
скорость |
|~~?г| |
0, поэтому |
нельзя |
выдви |
гать условий прилипания на стенке 9= 4р Ситуация, таким об
разом, аналогична той, к а к а я имеет место при постановке плос
ких и осесимметричных струйных задач в приближениях погра
ничного слоя, когда одна из компонент скорости отлична от
нуля на стенке, имеющей источник (щелевой или точечный). Дополним з а д а ч у интегральным условием сохранения. Д л я этого рассмотрим перенос t-компоненты импульса в единицу времени через поверхность а, ограничивающую некоторый объем:
jUihdok= |
fuinnhdo. |
В ы б и р а я |
поверхность в виде сферы с центром в начале коорди |
нат (соответственно вектор п — по нормали к этой поверхности),
получим, |
что полный поток импульса |
в проекции на ось симмет |
||
рии |
в ы р а ж а е т с я формулой |
|
||
|
л |
|
|
|
|
3 |
2л |
|
|
J= |
J |
J |
( П л л + Пея )R2 sine cos |
md(p=^^X |
о0
X [ Q + « ( 1 - ^ - " ) ] ,
^ f Q ( m ) + |
« ( * * + * H S - " > ] д л я S < 1 , |
|||
|
|
|
, |
, (2.113) |
2 " v 2 P r |
, |
( п 2 - 1 ) ( 5 - л ) 1 |
c ^ , |
|
- j - ^ - [ f l |
n |
j |
- \ |
Для S > 1 . |
З н а ч е н ия Q приведены в табл . 2.3.
Т а б л и ц а |
2.3 |
|
|
|
|
|
|
ш = 1 |
т = 2 |
т = 3 |
п=2 |
Q |
| |
0,698 |
2,76 |
13,8 |
-0,48 |
К а к и |
в |
задаче |
о струе Л а н д а у , |
в качестве |
интегрального |
условия здесь можно выбрать условие сохранения полного по
тока импульса. |
В этом случае |
при 5 < 1 будем иметь форму ре |
|||
шения |
(2.110), |
при |
5 > 1 |
форма решения (2.110) переходит в |
|
(2.111), а п р и & = 1 из |
(2.103) |
имеем |
|||
f |
• o / r |
S i n ' 9 |
\ |
|
|
fo=—a sin 61 1 |
- |
— I . |
|
||
' |
\ |
1 + |
cos 6 |
/ |
|
Постоянная |
интегрирования |
а определяется из интегрального |
||||||
условия (2.113) и |
д л я |
/ = |
10,16nv2 p <з = 3,74. Линии |
тока |
д л я |
|||
этого |
случая |
и з о б р а ж е н ы |
на |
рис. 2.16. Отличительная |
особен |
|||
ность |
рассмотренной |
задачи |
состоит в том, что, как |
видно |
из |
Рис. 2.16. Линии тока в струе идеально проводящей жидко сти, бьющей из отверстия в стенке при условии сохранения полного потока импульса:
/ — S=0; 2 — S=0,68: 3 — S=l,37;
4 — S=l .
Рис. |
2.17. |
To же, что на рис. |
|
2.16, |
при |
заданном |
начальном |
импульсе: |
|
|
|
|
— |
5=0; |
— 5=0,2; |
|
|
. — S = 0,4. |
рис. 2.16, с увеличением S ( 0 ^ S < 1 ) линии тока стягиваются к оси симметрии до некоторого предельного состояния, опреде
ляемого значением 5 = 1 , а при дальнейшем |
росте |
S ( S > 1 ) от |
|||
ходят |
от оси симметрии. Пр и этом, если 5 > 1 , дл я |
сохранения |
|||
полного потока импульса в струе необходимо |
задать |
отрицатель |
|||
ный |
начальный |
поток импульса. Характер |
деформации |
линии |
|
тока с изменением S при условии сохранения |
начального |
потока |
|||
импульса показан |
на рис. 2.17. |
|
|
|
В целом выводы, следующие из анализа данной задачи, ана
логичны вышеприведенным дл я струи |
Л а н д а у . |
|
|
|
|
|||||||||||
2.3.5. Течение |
в |
воронке, |
создаваемое" центробежным |
полем |
||||||||||||
сил. Рассмотрим задачу о трехмерном течении проводящей |
жид |
|||||||||||||||
кости |
в круговом |
конусе, |
в о з б у ж д а е м о м |
вихревой |
нитью |
с |
за |
|||||||||
данной интенсивностью Г. распо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ложенной на оси симметрии в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
азимутальном |
магнитном |
|
поле |
|
|
|
|
|
|
ці =canst |
||||||
(рис. 2.18). Эта |
з а д а ч а |
имеет |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
широкий |
круг приложений: |
так, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
д л я непроводящей жидкости |
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
кая схема применялась дл я ана |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
лиза |
процессов |
в вихревой |
фор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сунке |
[19], t |
в |
явлениях |
|
типа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
смерча у |
поверхности |
земли |
[17]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
К а к |
показано |
в |
п. 2.3.2, |
азиму |
Рис. 2.18. |
Схема |
вихревого МГД- |
|||||||||
тальное |
магнитное |
|
поле |
может |
течения |
в воронке. |
|
|
|
|||||||
создаваться системой |
радиально |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сходящихся |
электрических |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ков, поэтому явление возбуждения течения |
э т и м и . т о к а м и |
имеет |
||||||||||||||
непосредственное |
отношение |
к объяснению |
гидродинамических |
|||||||||||||
процессов |
в |
приэлектродной |
зоне, в |
явлениях |
неустойчивости |
|||||||||||
линейного |
пинча |
и |
т. п., |
т. е. в |
тех |
ситуациях, |
когда один из |
|||||||||
электродов м о ж н о принять за точечный. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В соответствии с поставленной задачей |
на |
поверхности |
ко |
|||||||||||||
нуса |
t| = a = t g 0 o |
д о л ж н ы выполняться |
условия прилипания |
VR = |
||||||||||||
= V z = V e = 0 при т) = а, а на оси симметрии |
(г = 0) |
д о л ж н а |
быть |
|||||||||||||
з а д а н а интенсивность |
вихревой нити Г. Кроме того, вдали |
от по |
верхности конуса потенциальный поток д о л ж е н характеризо ваться скоростью
l i m VQ = 2nr
Будем, далее, искать такое решение, которое было бы регуляр
ным |
относительно |
скоростей VR и VZ |
во всей области |
течения, |
|
в к л ю ч а я ось симметрии: |
|
|
|||
lim |
VR — const, |
lim |
VZ = const. |
|
|
1-Ю |
|
r-i-0 |
|
|
|
В совокупности с четырьмя упомянутыми условиями дв а ус |
|||||
ловия регулярности |
вполне определяют как постоянные |
а, Ь, с, |
|||
т а к |
и три постоянные интегрирования |
уравнений (2.84) |
и (2.85). |
•Для функции |
ар эти условия запишутся ка к |
|
|
|
|
||||||||
г р ( а ) = я | ) , ( а ) = / ( а ) = 0 , |
|
/(оо) = - I - = R e , |
|
|
|
|
|||||||
,• |
/ |
і |
|
,• |
|
/ |
/ |
ч |
- |
|
|
(2.114) |
|
urn г|гр = const, |
hm т](т]гр— гр) =const. |
|
|
|
|
||||||||
Р а с с м а т р и в а я |
задачу |
в |
безындукционном |
приближении, |
поло |
||||||||
ж и м , что внешнее азимутальное магнитное |
поле з а д а н о |
в |
самом |
||||||||||
общем виде (2.91): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
І 0 |
= Л г | ( 1 + т і 2 ) |
2 |
+ В , |
|
|
|
|
|
.(2.115) |
||||
a X F = 0 . Если |
д а л е е принять, |
что дл я |
индуцированных |
токов |
от |
||||||||
сутствует |
внешняя |
нагрузка, |
т. е. они з а м ы к а ю т с я лишь |
по |
об |
||||||||
ласти течения, то по закону |
полного |
тока будем иметь |
|
|
|
||||||||
L 1 ( a ) = 0 , |
L i ( o o ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
(2.116) |
|||||
Последними условиями |
и исчерпывается постановка задачи . |
|
|||||||||||
|
Д л я |
отыскания |
аналитического |
решения ограничимся |
слу |
чаем, когда в о з б у ж д а е м ы е вихревой нитью или электромагнит ными силами вторичные течения достаточно малы, так что квад
ратом |
функции г|) в |
(2.84) можно пренебречь. |
Кроме того, поло |
|
ж и м |
/ = R e ( l + / i ) , а |
/] т а к ж е будем считать |
достаточно |
м а л ы м , |
чтобы в (2.85) пренебречь произведением |
яр/V Тогда |
дл я 1\ |
||
будем иметь уравнение |
|
|
( 1 + т і 2 ) / " , + З л / ' і = 0,
решением которого при соответствующих условиях (2.114) я в л я ется
и |
У і + а 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
a - У І + а 2 х |
У і + т у |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
В свою |
очередь, |
|
|
|
|
|
|
|
||
/ = |
|
— |
( г у . - у Т Т ^ " |
Ц |
) . |
|
|
(2.117) |
||
Так к а к в |
рассматриваемом |
приближении |
p<g:l, |
то S » S p \ |
П о |
|||||
этому дл я вычисления правой части уравнения |
(2.84) восполь |
|||||||||
зуемся |
решениями |
(2.115) |
и |
(2.117), |
тем |
самым |
влияние |
инду |
||
цированных |
токов |
в такой |
постановке |
не учитывается. |
|
|
П р и указанных ограничениях отыскание решения |
|
уравнения |
|||||||||||
(2.84) |
у ж е |
не |
представляет труда, а |
само решение |
имеет сле |
|||||||||
дующий вид [29]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= И |
*• |
2 & n 2 - 2 a ( n ' | / l + ^ 2 - A r s h T i ) - 2 ( 2 a - c ) A r s h r | + |
||||||||||
|
2 y l +Т12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Re2 |
Г |
3 + 4a 2 |
- |
3 + 4a 2 |
я . |
||||
|
|
|
+ |
2аУ1 + а2 т)У1 + т ] 2 |
Arsh |
г, + 2 (1 + а 2 ) г,2 Arsh |
|
r\- |
||||||
|
|
|
- ( 1 + а 2 ) г ] У і + і і 2 ] п |
(ї+г\2)-аУі+а2У]2\п |
|
( 1 + г ) 2 ) - |
||||||||
|
|
|
- а У і + а 2 |
1 п ( 1 + т і 2 ) + 2 С 1 т і У і + л 2 - ( а У 1 + а 2 |
+ С2)ті2 + |
|||||||||
|
|
|
+ 5 [ А2 |
[ — т і У і + т ] 2 - y A r s h " n - r r j y i + T ] 2 |
In ( 1 + r , 2 ) - |
|||||||||
|
|
|
— 2г|2 Arsh |
т) )+АВ |
( 2 T ) y i + T ) 2 A r s h T i - T i 2 l n |
|
( 1 + г ) 2 ) - |
|||||||
|
|
|
- 1 п ( 1 + т і 2 |
) - т і 2 ] + |
— |
(-пУі -Ь-п2 —Arsh ті) |
+ |
|
||||||
|
|
|
+ 2 С ' 1 т і У і + т і 2 - С ' 2 т 1 2 ] + 2 С з } 1 |
|
|
|
(2.118) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 1 = - ^ - - a y i + a 2 A r s h a + l + a * In ( 1 + a 2 ) ; |
|
|
|
|||||||||||
C2 |
= 2 ( l + a 2 |
) |
Arsh |
a - 2 « y i + а 2 - а У 1 |
+ a 2 |
In ( 1 + a 2 |
) ; |
|
|
|||||
C x |
- |
- A2 |
[ * |
- JILiH^IL ] —AB |
( а У І Т ^ - A r s h |
a) |
- |
; |
||||||
C'2 |
= |
- Л 2 |
(rv.yi +ry.2 -t- |
— |
- 2 Arsh |
a ) |
- |
|
|
|
||||
|
|
|
v |
|
|
|
Уі + а 2 |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
- |
А В [2a2 - |
In (1 + a2 ) ] - |
В 2 а У 1 + |
a 2 , |
|
|
|
а постоянная интегрирования С 3 |
легко определяется |
из условия |
|||||
і);(а) = 0 |
и поэтому здесь |
не приводится. |
|
|
|||
Д л я |
окончательного |
решения |
задачи остается |
определить |
|||
постоянные а, Ь, с. П е р в а я связь |
между |
ними следует |
непосред |
||||
ственно |
из исходного уравнения |
(2.84) при использовании усло |
|||||
вий гр(а) = г | / ( а ) = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
2 6 а У 1 + а 2 - 2 а ( 1 + с с 2 ) + с = 0. |
|
|
|
|
|||
Д в е |
оставшиеся |
связи' можно |
|
найти |
из двух последних ус |
||
ловий (2.114). Д л я этой |
цели рассмотрим |
асимптотическое пове |
|||||
дение решения (2.118). При больших -п имеем |
|
||||||
ty = k l i \ + k 2 ^ - + k z |
— + o ( - L ) . |
|
|
|
(2.119) |
||
|
Т] |
Т) |
* Т) ' |
|
|
|
|
Тогда первое условие регулярности |
дает |
|
|
||||
kl = b-a+ |
р е 2 |
|
г |
|
|
3-І-4а2 |
|
( а + У і + а 2 ) 2 |
а У 1 + а 2 1 п 2 |
+ (1 + а 2 ) In 2 + |
|||||
|
1 |
|
|
4 |
|
+ ^ B ( , „ 2 - J . ) + i - a > - c 1 + - ^ - ] - o ,
a второе — |
|
|
|
1 Г |
Re2 |
S |
1 |
k2=,-[-2a |
+ 2c+~---(A+B)2 |
|
J=0. |
Удвоенный коэффициент kz в (2.119) определяет значение ско рости Vz на оси симметрии:
2 ^ з = 1 - { - 2 6 + ( 4 с - 4 а ) In 2 + 2 R e 2 ( a - y i + a 2 ) " 2 [ ( l + 2a2 ) In 2 —
- (1 + а 2 ) - 2 а У 1 + а 2 + С 2 ) + S[2A* (1 - In 2) - Я 2 In 2 -
- С ' 2 ] + 4Сз}.
Заметим, что связи, определяемые равенствами k\ = 0 и k2 = 0, можно получить, не прибегая к анализу асимптотического пове дения решения (2.118), а непосредственно из уравнения (2.84) при использовании предельных соотношений (2.114) после
вычисления правой части (2.84) с помощью (2.115) и (2.117). Бо лее подробно этот метод будет охарактеризован на примере за
дачи в |
п. 2.3.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Н а . |
рис. |
2.19 |
представлено |
рас |
|
|
|
|||||||
пределение |
безразмерной |
р а д и а л ь |
|
|
|
|||||||||
ной скорости о|/ в течении, |
возбуж |
|
|
|
||||||||||
даемом |
вихревой |
нитью |
|
(кривая |
2) |
|
|
|
||||||
и системой сферически - радиальных |
|
|
|
|||||||||||
сходящихся |
в |
|
начало |
|
координат |
|
|
|
||||||
электрических |
токов |
(кривая |
/ ) . |
|
|
|
||||||||
К р и в а я 3 представляет |
собой г|/ при |
|
|
|
||||||||||
совместном |
действии вихря |
и |
тока. |
|
|
|
||||||||
Н а |
|
рис. 2.20 |
показаны |
распреде |
|
|
|
|||||||
ления |
|
осевой |
скорости |
туф' — я]) |
и |
|
|
|
||||||
г) (туф' — г|?), |
которые м о ж н о |
тракто |
|
|
|
|||||||||
вать |
как |
Vz |
при |
г — const и |
Vz |
при |
|
|
|
|||||
2 = c o n s t соответственно, |
под дейст |
Рис. 2.19. Профили |
радиальной |
|||||||||||
вием |
вихря |
(кривая |
1) |
и |
токов |
|||||||||
(кривая 2), |
причем предельные |
при |
скорости |
яр — |
в течении, |
|||||||||
•Ц-+00 |
значения |
функции |
т)(пф' — т|з) |
возбуждаемом: |
|
|||||||||
равны |
|
0,614 |
дл я |
кривой |
1 |
и |
0,148 |
|
||||||
|
/ — системой сходящихся токов; 2 — |
|||||||||||||
д л я |
кривой 2. |
Все |
кривые |
на |
вихревой нитью; 3 — совместным |
|||||||||
рисунках |
построены |
при |
значе |
действием вихря |
и тока. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
ниях |
R e 2 = 2 , 5 = 2 , |
А = -В=1, |
|
а=0. |
|
|
|
|||||||
Зависимость |
значений |
осевой |
скорости на |
оси |
симметрии |
|||||||||
при Re = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
|
|
ы 2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
с изменением угла конусности воронки Э0 показана на рис. 2.21.
V V
г]=оо); / — под действием вихря; 2 — под действием токов.
При рассмотрении этих рисунков |
прежде |
всего о б р а щ а е т на |
||||||||||||||
себя внимание то обстоятельство, что при прохождении |
электри |
|||||||||||||||
ческого тока, |
направление |
которого |
совпадает с |
направлением |
||||||||||||
сферического |
радиуса, |
жидкость |
приходит |
в |
движение, |
харак |
||||||||||
тером напоминающее |
вторичное течение, возбуждаемое |
вихре |
||||||||||||||
|
|
|
|
вой |
нитью. |
|
Причиной |
возникновения |
||||||||
|
|
|
|
движения является вихревой |
характер |
|||||||||||
|
|
|
|
электромагнитной |
|
силы, |
|
образую |
||||||||
|
|
|
|
щейся при |
взаимодействии |
пропускае |
||||||||||
|
|
|
|
мого |
радиального |
электрического |
тока |
|||||||||
|
|
|
|
и |
порожденного |
им |
азимутального |
|||||||||
|
|
|
|
магнитного поля. Нетрудно убедиться, |
||||||||||||
|
|
|
|
что |
по |
абсолютной |
величине |
| /^эм | ~ |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
/ ' п |
ч |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
л3 (1+т) |
2 ) |
\ У 1 + Г | 2 |
11, |
|
а |
по |
на- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ у і |
+ |
|
|
|
|
|
|
15 30 |
45 |
SO 75 |
|
правлению |
|
она |
ортогональна |
по |
||||||||
Рис. 2.21. |
Зависимость |
ин |
верхностям |
r)=const. |
В |
то |
ж е |
время |
||||||||
направление |
• rot F3 m |
совпадает |
с |
на |
||||||||||||
тенсивности |
течения от |
уг |
правлением |
|
азимута, |
следовательно, |
||||||||||
ла конусности воронки. |
|
|
||||||||||||||
|
в |
жидкости |
|
д о л ж н а возникать |
завих |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ренность с осью, направленной по |
||||||||||||
|
|
|
|
азимуту (см. рис. 2.18). |
|
|
|
|
|
|||||||
По характеру возникновения электромагнитной силы описан |
||||||||||||||||
ное явление сходно с пинч-эффектом |
и может быть названо ра |
|||||||||||||||
диальным |
пинчем. |
Однако |
в |
отличие, |
например, |
от |
линейного, |
или тэта-пинча, где сила носит потенциальный характер и урав новешивается градиентом давления, при радиальном пинче воз буждается вихревое движение жидкости . З а м е т и м , что при появ лении «сосисочной» неустойчивости в линейном пинче, когда
плотность |
электрического |
тока |
в |
различных |
поперечных сече |
||||||
ниях |
жидкого столба |
становится |
переменной, |
д о л ж н о |
возникать |
||||||
внутреннее |
движение |
жидкости |
в |
столбе |
аналогично |
описан |
|||||
ному выше. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В |
частном случае |
а = 0 решение |
(2.118). описывает |
«слабый» |
|||||||
смерч |
у плоской поверхности, |
сопровождаемый коническим раз |
|||||||||
рядом . В |
отсутствие |
р а з р я д а |
(5 = 0) |
это |
решение переходит в |
||||||
найденное |
Гольдштиком |
[17]1 . |
Д р у г о е |
частное решение (Re = 0, |
а = 0), вытекающее из (2.118), получил Лундквист [30].
Линеаризованное решение задачи (2.118) показывает, что ин тенсивность возбуждаемого при пропускании тока движения пропорциональна параметру S, т. е. к в а д р а т у пропускаемого тока. Представляет интерес определение границ изменения
1 |
Численное решение задачи Гольдштика недавно воспроизведено в ра |
боте |
[39]. |