Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

D — некоторая постоянная, причем равенство (3.53), выра -

оо

ж а ю щ е е условие

сохранения

характеристики

Su8dy

во

всех

се-

чениях

струи,

является

следствием

-00

уравне

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

ний

д в и ж е н и я

(оно

получено умножением уравнения

(3.1)

на

и 6 - 2

последующим

сложением с (3.2), умноженным

на

и 6

- 1 ) .

Условием

(3.53)

имеет

смысл

пользоваться,

если

1 < б ^ 2

(6 = 2

соответствует

немагнитной струе) . П р и

6 ^ 1

необходимо

з а д а в а т ь с я иной

характеристикой .

Т а к

или

иначе,

рассмотренное

решение

показывает,

что

посредством

н а л о ж е н и я

магнитного

поля

можно

у п р а в л я т ь

«формой» р а с ш и р я ю щ е й с я

струи. Н а п р и м е р ,

д л я

получения

па

раболического

расширения

б = kxn

| / г > —|-| необходимо

прило

ж и т ь

поле

вида

(3.19),

качестве

заданной

характеристики

можно

пользоваться

величиной QJP

р =

частности,

д л я

линейно

р а с ш и р я ю щ е й с я

струи

(п—1)

расход

сохраня

ется

постоянным

по

всей длине струи (случай, рассмотренный

Страховичем и Соковишиным [11]).

Различные,

на первый

взгляд, формы решения

(3.46)

(3.17)

в действительности совпадают, когда магнитное поле принима

ется	в виде В = В0х~п			\|	- \| - j . П о к а ж е м			это на примере ли
нейно		р а с ш и р я ю щ е й с я			струи. Т а к	к а к	д л я	такой	струи	расход
сохраняется			постоянным, то, подставляя				в
оо
р J	udy = Q = const			,						(3.54)
u=v		ГС") = v ~ g 2		V	и б из в ы р а ж е н и я (3.46),				переписанного
в виде
e = ,,,(C -i^)/,„N^)-"-						r « c _ ^ . i N , _ ^,
получаем, что д л я выполнения условия							(3.54) необходимо			поло
ж и т ь		С — О. Тогда f(°o)			и а оказываются связанными соотноше-
нием		Р ( о о )	Q 2							„
		— - — - = „ „ „ . . , а 8 = х, ка к и следовало ожидать .								Пола -
г ая		а	8 v 2 p 2	N 0		задачи . К тем ж е результа
	а = 1 , получаем			полное решение
т а м	приходим и при использовании					равенств		(3.17), (3.27), (3.54)

ип=1.

| 4. Н Е А В Т О М О Д Е Л Ь Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я .

СТРУЯ У ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
К сожалению, описанный в предыдущем				п а р а г р а ф е	метод по
лучения	автомодельного	решения	путем разделения		уравнения
на два,	имеющих одно	и то ж е	решение	при любых	В = В(х),

применим к сравнительно узкому классу задач . Так, в при стеночных струях метод оказывается неэффективен, а. подобное

решение возможно лишь при степенном задании	магнитного
поля (3.19) с ограничениями (3.41).
К а к обычно в таких случаях, удовлетворительные	результаты

можно получить путем отыскания неавтомодельных решений в

виде

р а з л о ж е н и я

в р я д искомых

функций. Д л я степенного

зада

ния магнитного поля (3.19) с произвольным показателем

сте

пени Акатнов

Е р м о л а е в а [26] предложили

(ка к и Пескин [20]

д л я

свободной струи, см. решение

(3.50))

представить

решение

в виде р а з л о ж е н и я

функции тока в р я д

Ир=уТ^^x»fp[i\)

(3.55)

где

y L 0

o B 0

2 l / v

х = —

У ц х Ь * я ' ' -

СО

оо

L 0 =

" ( /

иЧу)

dy +

х-*п

[ /

«(

udy) dy\

. у

Р 0

(L0

—

интеграл

(3.9), а

запись подынтегральных в ы р а ж е н и й в

(3.55)

(3.9)

эквивалентна, к а к показано

монографии

Л о й -

цянского [3]).

П р и

значениях

п < —

решение

(3.55)

представляется

рядом

по в о з р а с т а ю щ и м

степеням расстояния х,

и, следовательно,

пер

вый член ряда дает поле скоростей вблизи источника, где влия ние магнитных сил ещ е мало, а последующие члены учитывают т о р м о з я щ е е влияние магнитного поля, увеличивающееся с уда -

лением от источника. П р и п > ~ характер р а з л о ж е н и я меня ется — решение у ж е представляется рядом по отрицательным степеням. В этом случае вблизи источника действие поля ве-

лико, но с удалением от него быстро падает, причем быстрее, чем кинетическая энергия струи. Вероятно, в этом случае на дос таточном удалении от источника устанавливается течение, близ

кое	к течению в		отсутствие поля. Соответственно меняется и
роль	членов	ряда	(3.55): первый член описывает течение при
больших х,		последующие д а ю т поправки к профилю скорости
при приближении			к источнику.

Подстановка (3.55) в (3.1), (3.2), (3.13) приводит к необхо димости разрешения системы дифференциальных уравнений:

/ ' " і +	У " і - ( ~ - 2 п )	ГоГ. + ( " f -	2п ) Г ofІ =	Го\	.(3-56)
Г"2+	\hf"2-(2-4п)№	+ ( ~ - 4 п )	Го/2 =
	= f\+{\-2n)f'\-[l--2n)fxf"x		и т.	д.

при граничных условиях {р = 0, 1,2 ... )

fp = f'p = 0 при г| = 0 ;

/ ' р = 0		при	Т) =	о о .
Кроме		того, решение д о л ж н о			подчиняться		системе интеграль
ных	соотношений
со			со
/ f o f ' 2 o ^		= l ,	/	( M'2 o + 2/ofo/'i+		з А ^ о Г о	Ц	= 0 ;
О			О
со
/ [	f2// 2 o + 2// o/,f/ 1 +			2 / ' 0 y ' 2 + / o / ' 2	i +	(Гofi +їоГі)		] * i = 0 .

Первое уравнение системы (3.56) есть хорошо известное урав нение Акатнова [2], полученное им д л я немагнитной пристеноч ной струи. Решения д л я fi и / 2 были найдены в работе [26] д л я случая однородного магнитного поля (п = 0) путем численного

интегрирования. Г р а ф и к и функций	/'і(л)		и	/'2(11).	посредством
которых определяется скорость и = "	\| /	_	^	(х) pf'p	(т\|),	пред
ставлены на рис. 3.4, заимствованном		из	той ж е		работы.	Впо

следствии расчеты по приведенной схеме были продолжены в ра

боте [27], где с учетом		членов до fi	включительно найдено	выра
жение д л я н а п р я ж е н и я		трения:
т и = xwLQ-WW<p	-1 = 0,221 - 0,6243х% + 0,2547х 3 +
+ 0,0887»'»+0.07036 ; T10			ди	(3.57)
+ 0,0887»'»+0.07036 ; T10			= vp .	(3.57)
			ду у=о

Рис.	3.4. Вид функций f\, f'2 в решении для продоль
ной	скорости в пристеночной струе (по дан
ным [26]).

Однако,	ка к у к а з а н о	в работе [27], если представление реше
ния в виде	р я д а (3.55)	дает удовлетворительные результаты

д л я расчета трения на стенке (суммирование слабо сходящегося

ряда	(3.57)	д а е т	почти полное		совпадение			с точным		значением,
полученным		при	прямом интегрировании					исходных		уравнений
д в и ж е н и я (см. рис. 3.6, кривая					9)),	то	расчет		профиля		скорости
не представляется				возможным	из-за		того,	что функции f'p(r\)
при	больших р		не	обеспечивают		сходимости			ряда	в	в ы р а ж е
нии д л я и.
В	связи	с этим		предпринимались попытки					прямого		интегри

рования уравнений (3.1), (3.2) на вычислительной машине после предварительных преобразований, приводящих уравнения дви

жения к	виду,	удобному	д л я	машинного счета. Д л я этого в ра
боте [27]	была	введена	функция тока, отличающаяся от (3.14)
тем, что / считается функцией				у ж е не только переменной	т), ском
бинированной из у и х,			но и функцией непосредственно		коорди
наты х:
Ч» (. У) = fvlo/ (х, г\|) ;			т) = у	] / - ^ - .

Если теперь дополнительно ввести безразмерную координату

х по (3.55) и положить магнитное поле однородным (>г = 0) то уравнения (3.1), (3.2) перейдут в уравнение

дцз ^ 2 1 дц2	дц дхдц	дух. дпц2 І	г?пдц
			(3.58)

которое предельным переходом х - Я ) преобразуется в уравнение

Акатнова д л я непроводящей							струи [2].
	Р е з у л ь т а т ы			расчета		уравнения			(3.58)	на Э В М д л я профиля
					і
				(U	\ ~7					трения xw в зависимости
скорости			и = «	1 —	1 -	и н а п р я ж е н и я
от	п а р а м е т р а х			приведены			на рис. 3.5 и			3.6. К а к следует из ри
сунков, увеличение х приводит к
размыву			профиля		скорости,			росту
толщины			пограничного				слоя		и
уменьшению				трения		на		стенке,
причем			трение	становится				равным
нулю		при х т р = 0 , 6 .			Таким		образом,
к а к	и	в	з а д а ч е	о свободной				струе
(§	3) ,	решение		задачи		о пристеноч-

Рис. 3.5. Профили скорости в пристеночной струе согласно точному решению [27].

Пунктиром показаны прибли женные профили (см. гл. IV, п. 2.2).

Рис. 3.6. Распределение напря жения трения на стенке. Кривая 9 — точное решение [27]. Обозначения остальных кривых — в гл. IV, §• 3.

ной струе обнаруживает наличие сечения торможения,							в кото
ром	продольное течение полностью прекращается . Те ж е						числен
ные	расчеты [27] показали,		что вблизи		этого сечения резко воз-
		д2и
растает		величина -д^, в	связи	с чем	результаты,	полученные
вблизи		сечения т о р м о ж е н и я на		основе	уравнений	пограничного
слоя, теряют силу.

§5. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ.

РА Д И А Л Ь Н О - Щ Е Л Е В А Я ЗАКРУЧЕННАЯ СТРУЯ

Метод,

примененный

§ 3

к задаче

плоской

свободной

струе, с успехом может быть

применен и д л я

радиально - щелевой

струи (рис. 3.7), имеющей в общем

случае все три

составляющие

скорости (закрученная

струя) [4,28].

И з

системы

уравнений,

описываю

щей

в цилиндрических

координатах

такого

рода

струйные

течения,

ди

w°~ _

дЧ

аВ2

дх

ду

d2w

дх

+ v—

— V-

Jy~*~

ду

<sB2

(3.59)

Рис. 3.7. Схема радиально-ще

• до;

левой закрученной струи.

дхи

dxv

дх

ду

„

ди

І/ = 0, и =

с помощью

граничных

условии

^ - = у = — = 0

Р И

= w = 0 при у-*-±оо м о ж н о получить следующие интегральные соотношения, в ы р а ж а ю щ и е соответственно изменение количе ства движения и момента количества д в и ж е н и я в проекции на радиальное направление струи:

—— / xu2dy=	/	w2dy		/	xudy ;	(3.60)
dxJ	J			о ->
uwdy= —		oB2	j	x2wdy.		(3.61)
~difx:		P
		P
Наличие	двух	интегральных			соотношений (3.60),	(3.61),	от
р а ж а ю щ и х	наличие		двух	характерных параметров		струи,	вы

нуждает искать решение задачи в виде ряда по степеням некоторого малого параметра . В качестве п а р а м е т р а выберем

величину, обратную «толщине» струи 5(х), а функцию тока и скорость закрутки представим к а к

, _ T

r ± £ ) , 1

+ » g > h

. . . ] :

б2

(3.62)

W = v[ ——

ф, + —

—

ф2+ • • • J

г/

где

/ і = / і ( т і )

;

фі = Фі(л)

; f l =

•

Вычислив

помощью

(3.62)

соответствующие

производные

и подставив

их в ы р а ж е н и я

в (3.59), получим систему уравнений:

У"\-N62/',

=gyY\-giUY'\~£зФі2;

Г'\-Ш\\=

{gx + gA)f\f'2-g5f2f"l-g6flf"2-2gMl<?2

;

(3.63)

Ф " , - Н 6 2 Ф І

(gv+gsifm-gsfrfi;

ф " 2 - М б 2 ф 2

{g9 + g\2)f'2<pi + (gs+gio^'^a - gnbcp'i - gzficp'z

;

^ л б 2

х Ч

Фі

гріб3 /

lp2 У

lj)|62 / Tj52 У

ШіШ2

Фіб2 / ш, у

Ф,

ф 2

б 2 /

а», у

•Фіб3 / w2

ш,б 2 /

ф2 У

„

дащ>2

xw2

б 3

w2x \ б 2 '

Ш2 Х2 -

Граничные

условия

д л я этой

системы

следующие: fi=f2 =

= Г і = Г 2 = 0,

ф', = ф , 2 = 0

при

т] = 0;

// 1=Г2 = 0, < р , = ф 2 = 0

при

Г) = оо.

В свою очередь, интегральные условия (3.60) и (3.61) дают

связи	м е ж д у	gi.
(gi +	g2)a=g3b-N62c;
(g2+gj	+ gs)d=-N82k		;
		N6 2								(3.64)
		N6 2								л	'
{g\+gb)m = g6n			—Р	'
{g9+gu	+ gi2)l+{g2		+ g8 +		g\o)q=-N8Vi.
Здесь
ся			СО			CO
а= / / ' V r , ,		b = / Ф , 2 й ( г ] ,			с= j		f \ d 4 ,
—со		—со			—со
ОО			ОО			ОО			00
d= J	/'іфігіт) , k= J		фігіт],		m=	j	f'if'2dy],	n=	J ф і ф 2 Л п ,
p= ff'2dr),		9= J	/']ф2 гіт\|,		/ =	f	р2Ч>\Лч],	li=	f <p2df).
—CO		—OO				—CO			—CO
В р я д а х		(3.62)	пять	неизвестных функций					арі, г\|)2, wu	w2	и б
связаны лишь д в у м я интегродифференциальными										связями
(3.60),	(3.61). Таким образом,					для	их определения мы			д о л ж н ы

н а л о ж и т ь три дополнительные связи, вообще говоря, произволь

ные, но		приводящие (3.63)				к обыкновенным			д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м
уравнениям . После				этого		уравнения (3.64) позволят найти две
оставшиеся			функции		и	соотношения		м е ж д у		постоянными
а,	Ь, ...	, п.	З а п и ш е м g,		и g2 в виде g{ =			1 - Н	-g&	— —	и g2 =
=	1 - М	— g& l - g -		— I I	и	примем д л я автомодельности					решения
							obi
		1. П о л а г а я ,		кроме		того,	g 3 =	= 1 ,	получим
1p!=X2,		Wi=X.									(3.65)
	З а м е т и м		далее,	что с учетом			(3.65) можно		получить £ є= —— •
											gl2

Т а к как	д л я приведения	(3.63)	к обыкновенным	уравнениям
функции	gi д о л ж н ы иметь	форму	g i = a i + \| 3 i N 6 2 (a,,	Pi — const),

то последнее Означает, что g6 и gi2

могут быть

лишь

констан

тами. П о л а г а я g6 = g i 2 = l ,

получаем

гр2 = х ш 2 .

итоге

имеем

gl=g7

= g9=\

— ,

g 2

= 2

—,

gs = gs =

x83(w2Y

б 2

ixw2\

Первое

из условий (3.64)

дает

4 - l - k

- k w

( 3 - 6 6 )

Если

теперь

воспользуемся

соотношением

(3.66) во втором ус

ловии

(3.64), то придем к

выводу, что д о л ж н ы выполняться

ра

венства

+ &)d = 0,

cd=k.

Т а к как, по

определению,

Ь^О,

то

последние

равенства

удовлетворяются

при d = 0 и k — Q.

П р е ж д е

чем переходить

к решению системы (3.63), покажем,

что <рі =

этой целью

подставим

(3.66)

в третье

уравнение

(3.63): 26

(

Ь \

За

При произвольных N6 2 обе части уравнения д о л ж н ы быть тож дественно равны нулю, т. е.

Ф / і / і - 2 / / і ф 1 + - ^ - Ф і = 0 .
					. . .	/	За	/"	dn\
Решением		этого	уравнения является		ф і = Л р і ехр ^— —			J
т. е. <pi всюду имеет постоянный				знак. Поскольку,			однако,		при
	со
этом	/г= Тфігіт) = 0, приходим к заключению, что ф ^ О .							Отсюда
	—со
Ь = п = 1 = 0.
В	результате		интегральные	соотношения		(3.64)		перейдут
в уравнения д л я определения 8(х)				и	ш2(х):
^ = 1	+ J L N 6 2		;
6	6	а						(3.67)
w2	4	За	q і

9 — 2274

а уравнения	(3.63) д л я функций ft		и <рг — в
/ " ' i + / ' 2 i + / i r i = N 6 2 ( / ' , - j^f'2i+			;
				(3.68)
<p"2 + fi(p'2 +	ri92 = N 6 2 [	- Ф 2 +	- ^ ) / ' i < P 2 -	- ^ - ^ Ф ' а ] .
Р е ш е н и я м и (3.68)		при произвольных N 6 2		являются выра
жения
				(3.69)

< p 2 = Z ) [ l - t h 2 ( - ^ T i ) ] )

если коэффициенты а, с, h п q связаны соотношениями

» гъ		h		12							(3.70)
a J '		-	q	= — •							(3.70)
;12			q	с2
Л е г к о		проверить, что				функции	(3.69)		обеспечивают		необхо-
				(3.70). П о л о ж и м a—l,			q=l,			з	з
д и м у ю	связь			(3.70). П о л о ж и м a—l,			q=l,		тогда	с = у і 2 ,	/г="\|/12,
3	1
	,	а		общие	решения (3.67)		при N = const			запишутся к а к
£	с			х
6 =				х
6 =
				і	л 2
				3							(3.71)
w2--				А2х
w2--
Поставленная з а д а ч а будет решена, если постоянные											интег
рирования			Л] и Лг в (3.71) выразить					через з а д а н н ы е характе
ристики	течения.				Если	ограничиться		первым приближением в

со

(3.62) и учесть, что член J w2dy в (3.60) существен лишь при

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ