книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

шими,

если

k^l

и "Фо~ "2~ -

^ т 0

означает, что е2~е3

и

е2~0

(е2^.0).

Тогда

из

первого

соотношения

(2.52)

можно

получить

У е\-е2

exp ay — 1 _

а у

(2.53)

ехр а у + 1

где у

y R e ( g ! - e 3 ) "

а из

второго

У £ - У -

Re

'

ез).

.(2-54)

Є і - Є 2

е 3 + 2

Та ж е

подстановка

(2.51)

в уравнение (2.47)

дает

решение д л я

поля

скоростей

и = е1—

{еі — е2)

t h 2 (уф)

или,

с учетом (2.53),

и=Є\

t h 2

( у Ф )

1 -

(2.55)

t h 2

Д л я

приближенной

оценки

величины

Є\ воспользуемся

соот­

ношениями

(2.53),

(2.54). В ы р а ж а я с помощью этих соотноше­

ний

величины

еи е2,

е3 через у и подставляя полученное

в ы р а ж е ­

ние в (2.38), будем

иметь

6у2

12

уа

(

з

- ш

- ^ ) .

6у2

3

H a 2 - 4

+

Re

——- у th —— )

Re"

2

Re

аa

Re v1 """ 2

/

\

"

""

2 1

П р и

больших

Re

и,

соответственно,

при

больших

у

имеем

th

Л и последнее соотношение

переходит

в квадратное

урав ­

нение д л я определения

у:

у2

4

у+М

=

0,

а

„

1

Re

H a 2 - 4

где

М=— З

а

4

- Л 4 » 0

или

R e « : - | а ( Н а 2 - 4 ) .

(2.56)

_

Н а

1 , 3 Н а 2

12 Н а

Тогда у *

- J "

и

^

+

Т T f e ~ " £ Й Г "

Помимо ограничений,

н а к л а д ы в а е м ы х на величины Re, а,

Н а

условием

(2.56),

при

варьировании

этих величин д о л ж н о

е щ е

выполняться условие

1

6 Н а

п

е 3 =

^ — < 0 ,

т. е. R e < 6 H a .

В предельном случае (е 2 ==е 3 ) решение (2.55)

яв -

Re

ляется точным

решением, а при больших Re оценки д а ю т У~

^2

корень

и = 0 , причем

этим

корнем,

естественно,

д о л ж е н

быть

ко­

рень е 2

= 0 ' .

П о л о ж и м

в (2.52)

ег = 0. Т а к к а к при этом

гЬо=-к, &2

=

>

то (2.52) переходит в

Z

Є\ —

£3

l / R e K p e i

(2.57)

6Є)

где

л/2

л/2

£](£)=

[

^

— •

E2(k)=

[ y i - ^ s

i

n 2 ^ ^ .

J0

y i - ^ s i n 2 ^

JQ

Исключим

из

(2.57)

е\.

а ReKp = 2 4 £ , [ £ 2 - (1 - £ 2 ) £ ,] .

(2.58)

пользуемся

(2.38),

которое

дает

ех — е 3 — 2ех —

— — . Под -

ставляя

разность

Єі — е3

в в ы р а ж е н и е

д л я k2, найдем,

что корень

в\ в ы р а ж а е т с я

через /г2

следующим

образом:

3 ( Н а 2 - 4 ) / г 2

(2.59).

2 R e ( 2 £ 2 - l ) '

Подстановка

(2.59)

в первую

из формул

(2.57)

дает

искомое со­

отношение

ее - і / Н а 2 - 4

(2.60)

Т

г

2k2-\

l _

З а д а в а я с ь

тем

или

иным

значением

/ г 2 < 1 ,

можно

вычислить

эллиптические

интегралы

Ei

и

Е2

и

затем

д л я к а ж д о г о

числа

Н а

по

(2.58)

и

(2.60)

построить

зависимость

критического

числа

Re от угла

диффузор -

ности а. Аналогичным об­

разом,

з а д а в а я с ь

а,

м о ж н о

построить

зависимость

R e ^

от

числа

Н а . Пример

этой

зависимости

приведен

на

рис.

2.8

[24], из

которого

видно, что при всех а

кри­

вые

выходят на одну пря -

мую

Rettp

= 6, т а к

что при

10' На-

Н а

Рис.

2.8. Зависимость критического числа

достаточно

больших

Н а

зна­

Рейнольдса Re„p от числа

На при раз­

чение

ReKp

определяется

личных

углах

диффузорности течения а:

лишь

числом

Н а

вне

зави ­

; _

а -

_ . 2

_

а = - ;

3 _ а = Г ; 4

симости

от угла

диффузор ­

5 — <х=2л.

ности а. Этот результат без

особых усилий можно полу­

чить

непосредственно из рассмотрения

(2.58) и

(2.60). Действи ­

тельно, д л я того чтобы

с ростом Н а значение эллиптического ин­

Re

т. е. в пределе

при

Н а - ^ о о

имеем ^

= 6 .

Этот результат,

впро­

чем,

следует

из анализа,

проведенного

в

п. 2.2.2, если положить

там

е 2

3 ( Н а 2 - 4 )

Re

п

ж

4 Re

— = 0 .

48

2.2.4. Течение в конфузоре при больших числах

Рейнольдса.

Течение в конфузоре

обладает той особенностью, что среди

кор­

ней

полинома

Р{и)

не

может

быть

комплексных

корней

[25].

Действительно,

пусть

в\

—

вещественный

корень,

а е2

И <?з —

комплексно сопряженные. Тогда

д л я всех

вещественных и

имеет

место неравенство

{и — е2 ) {и — е3 ) ^ 0

и,

следовательно,

подко­

ренное

в ы р а ж е н и е

в (2.37)

будет неотрицательным,

если

и

огра­

ничено

сверху

числом

Є\. и^.Є].

Та к ка к

при этом и д о л ж н о

об­

р а щ а т ь с я в нуль

на

стенках,

то

O ^ u ^ e i ,

т. е. мы

имеем

дело

•с диффузорным течением.

Итак, в конфузорном

течении

все корни вещественны. Пусть,

Н а 2 —4

к а к

и

выше,

е і ^ е 2 ^ е 3

,

е 3 ^ — j r - = — .

Тогда

полином

Р(и)^0,

z Ке

если

о)

в2^и^,Єі

либо

если

б)

— о о < и ^ е 3 .

ы=5С0 (если

Так

к а к при конфузорном

течении

всегда

течение

одного

н а п р а в л е н и я ) ,

то в случае

а)

.e2s^us^Q,

еіЗгО,

(2.61)

а случай б) должен быть исключен. Действительно, если

Н а 2

< 4 ,

то в

силу отрицательности

корня е% в область определения

и

не

входят

значения

ы = 0 на стенках. Если ж е

Н а 2 ^ 4 ,

то в

случае

б)

и ничем

не ограничено

снизу. Если и будет ограничено

•снизу,

то это означает, что имеется

точка,

где ы' = 0,

т.

е. и

д о л ж н о

быть ограничено неким вещественным корнем

и^е.

ЭТИМ Корнем

(б)

НЄ МОЖеТ быть Є] ИЛИ Є2

В СИЛу УСЛОВИЯ

^ е 2 ^ е з . Этим

корнем не

может

быть

т а к ж е корень £з, та к

как

одновременное удовлетворение неравенствам и^е3

и и ^ е 3

при­

водит к тривиальному

решению и=0.

•

Итак, нетривиальное, ограниченное конфузорное течение од­

ного

направления

возможно

лишь при условиях (2.61) и

описы­

вается

уравнением

du

6

J ІР(и)

' 6

і

yP(u)

Если ввести и = е2+ (еі — е2) cos2 ib и параметр № = —

и р а с -

е{-ег

то р а с ­

сматривать предельный случай очень больших чисел Re,

суждения, аналогичные приведенным

выше при анализе

течения;

в диффузоре, приводят к следующему

решению:'

•Єї

где

е2ж

1

,

е,

=

2 + 3 ( Н а 2

- 4 ) а

а

— е2

—

2 Re

3 ( H a 2 - 4 )

3

и / Re

Таким

образом,

ка к и в отсутствие поля,

конфузорное

тече­

ние при

больших

Re во всей области, за исключением узкого*

пристеночного

слоя, близко

к однородному

и »

. В

ЭТОМ!

З а к а н ч и в а я

анализ плоского

расходящегося

(сходящегося)

течения,

подчеркнем,

что

з а д а н и е

искомых

функций

в в и д е

(2.9)

не

является

единственно

в о з м о ж н ы м

д л я

исследования

такого

рода

течений.

К а к

мы

видели

выше,

обратно

пропор­

циональная

зависимость

этих

функций

от

радиуса

приводит

к

необходимости

рассматривать

. многоканальные схемы

(см.

рис. 2.6, а).

Д р у г и м в о з м о ж н ы м решением являются

зависи­

мости

вида

(2.138),

однако

при этом

з а д а ч а становится

неавто­

модельной по переменной ф. В о з м о ж н ы

и другие

виды

решения,,

так

что анализ

реального

плоского течения в

д и ф ф у з о р е по од­

н о к а н а л ь н і й

схеме,

пусть

д а ж е

в

отсутствие заметного

п р о ­

странственного

э ф ф е к т а

(см. п. 2.3.6

настоящей

главы

и

п. 4.2-

главы

V I I I ) ,

может выйти за р а м к и рассмотренного здесь

а в т о ­

модельного

решения.

2.3. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ

ТЕЧЕНИЯ

2.3.1. Общие

свойства. П р е ж д е всего

отметим, что

урав ­

нения индукции

(2.20) и (2.21)

имеют общий

интеграл

( l + T 1 2 ) T / / + T 1 T / - 4 r = p ( V 1

F - i | ; T /

) ,

(2.62)

т а к что система

уравнений

(2.17) — (2.22)

является

вполне

опре­

деленной .

П о к а ж е м

далее, что уравнения

(2.17)

и

(2.18) можно

при­

вести к одному

ннтегродифференциальному

уравнению

первого

порядка

относительно

функции -ф. Д л я этого

введем

функцию

Г=г|зф' — S^P1?'. Тогда

(2.17) и (2.18)

запишутся

в

виде

Т'= — 2g — Tig' - З т ] ф " -

(1 -

л 2 ) Ф"' -P

+ SL*;

(2.63)

- и Г + Т = -

g' -

гр + л.г|/ + (1 + 4ті2 )

+ т] (1 + и 2 ) V"

•

(2-64)

У м н о ж а я

(2.63)

на п и с к л а д ы в а я

с (2.64),

получаем

Т = г|л|/ -

5W

=

-

2r\g

- (1 + ті2 ) g' - яр + тдо' +

+ ( 1 + і 1 2 ) г р " - т і / 2

+ 5 і і І 2

)

(2.65)

носительно

функции и = 2гр' — g:

( 1 + T I 2 ) « / / + 3 T 1 W ' = T I ( / 2 ) / - 5 T I ( L 2 ) ,

= M ( T I ) .

(2.66)

Уравнение

(2.66)

легко интегрируется, что дает в ы р а ж е н и е д л я

д а в л е н и я

£ = 2 ^ - -

^

^

-

/ [ ( l + n2 )-3 /=

/ ІЇ+^М{^)йцЩ

+ 2а, (2.67)

где а и b — постоянные интегрирования .

С другой

стороны, уравнение

(2.65) имеет

интеграл

- ^ - * 2 -

4 - ч г

2

=

— ( 1 + Л 2 ) Й Г + (1+л а )Ф' — ттФ — [

+

2

1

J

+

S

j

r\L2dx\ + c.

(2.68)

П о д с т а в л я я

g из (2.67) в (2.68), получаем

искомое уравнение

первого

порядка:

(1 + ті2 ) т|)'+ тіг|з+ — ф 2

-

— V 2 = 26т)У 1 + т)2 -

2а (1 + ті2 ) + с +

+

(1 + ч 2 ) /

[

(i+r\2)~%

Jy^+r\2M(ц)dr]]dц-

-

f r\l2dr\

+ S

J r\L2di).

(2.69)

Е с ли в (2.69) двукратные интегралы выразить через

однократ ­

ные,

то

о п р е д е л я ю щ а я

система

уравнений окончательно запи ­

шется

в

виде

(1 + г,2 ) г]/ + т р | > +1— ^ 2

-

у

= 2йг)У 1 + г , 2 - 2 а (1+ц2) +

с+

+ (2т] 2 +1)

j

^Рйц-г^Х+х?

/ - ^ ~ L ~ l 2 d r ]

+

(2.70)

(1 + ї)2 ) I " + 3r\l'+V

= S W / ;

(2.71)

( 1 + ' П 2

) Ч г / /

+ т 1 Т ' - Ч г

= Р ( г | ) , Ч г - г р Ч / / ) ;

.(2.72)

( l + T i 2

) L " + 3T)L,

= p ( 2 1

F / / - 2 ^ / L

+ W - t y L / ) ,

(2.73)

а давление

будет определяться

формулой

2&Л

ті

Г 1 + 2 т і 2

„ .

- 2 / л ^ т , + S f2 /

- ^

/ ^

=

| ^ ] .

(2.74)

Эта

ж е система

в сферических

переменных

запишется

следую­

щим

образом:

*/

1

и

+

п

^ 5

и

2 а - 2 6

cos,0

с +

f - ¥

/

2 - c t

g e f + T ^

2 = — —

+

(1 +

2 ctg 2

Є) Уctg 0/2 ^Є - c t g

, e y i - | - c t g 2 e x

^

y i + ctg 2 0

v J

y i +

ctg 2 6

X L 2

d 8 - ( l + 2 c t g 2 0 ) /

c t g e L 2 c f e ] ;

(2.75)

/ " + c t g 0 / /

- ( l + c t g 2

0 ) / = / ( / , + c t g e / ) - S F ( L /

+ c t g 0 L ) ;

(2.76)

F"

+ ctg QF' -

(1 + ctg 2

9) F = p (fF'

-

Ff) •

(2.77)

L "

+

c t g B L ' -

(1 + ctg 2

9) L = p (2Lf

-

21F'+L'f-l'F

+

+ c t g 0 L f - c t g 9 / F ) ;

(2.78)

„ 2 6 c o s 0 - 2 a

,

-,

— Г l + 2 c t g 2 0 ,„ ,

+

—

a

9

ctg,&yi + ctg 2 0

J

І / Т

— Д Г

А

l2dQ

sin 2

J

y l + c t g

2

0

+ 2 ( l + c t g 2

9 )

J

ctg,9/2 d0 + s [ c t g 9 y i + c t g 2 9 X

X f

1 +

2 d g

2 -

L 2 d 9 - 2 ( l + . c t g 2 , 9 ) f

ctg9L2 dol , (2.79)

J

y i + ctg 2 9

J

J

З а м е т а м ,

что

(2.75)

можно получить

непосредственно из

(2.23)

и

(2.24). Д л я этого

необходимо

исключить

из них

g(Q),

после

чего оба уравнения сводятся к

Г

1

/

Ф /

V Г ^ ( l 2

s i n 2 . 9 ) '

( L 2

sin 2

9 ) '

*-

sin 9

'

sin

0 '

J

sin 2 9

sin 2 0

'

K '

'

З д е с ь

Ф = ^ f'--^

j s i n 2 , 9 - / s i n

9 cos

e-f-^-^2 sin 2

9 .

Т р и ж д ы

проинтегрировав

(2.80), получим

(2.75).

И з

уравнений

(2.75) — (2.79)

и

(2.80) следует, что в отсутст­

вие

магнитного

поля

определяющее

уравнение

д л я

функции

/(0)

имеет один и тот ж е

вид

при

/ = 0

и

/ s i n 9 = c o n s t , т.

е. нало ­

жение на основное течение /(9)

течения, вызванного

вихревой

нитью, расположенной на оси симметрии, не

влияет

на

распре­

деление скоростей в основном течении [21].

В магнитной гидродинамике, однако, далеко не любое тече­

ние обладает таким свойством, и

вызвано это тем,

что

помимо

уравнений д в и ж е н и я скоростное и магнитное

поля

связаны

еще

уравнениями

индукции.

Поставим

несколько

более

широкую

задачу отыскания таких

П р е ж д е

всего

рассмотрим

случай

l = L = 0.

Здесь определяю ­

щей системой уравнений будет служить система

2 1

' + 2

5 І П 2 0

-с:

(2.81>

&

( F +

c t g 0 f ) '

= p ( / £ ' - £ / ' ) •

(2.82)

П р и

L = 0,

/ s i n 6 = c o n s t = / 4 1

и РфО

получаем,

что

возможно*

лишь

одно

решение F=A2,

/ = — - ^ - c t g O + Л з ,

удовлетворяющее

всем

уравнениям

(2.75) — (2.78), причем

постоянные

Л ь Л 2 ,

Л 3

связаны

с постоянными интегрирования а, Ъ и с

соотношениями

2

Л , 2

1

о

А 2

3

2а=—+—І-

2

2Р2

Р

при р = 1 .

_ I

1_

5 Л о2

~

С - _ Р

2Р 2 "

6 = 0,

Л 3

= 0

6 = 0

Если

/ sin 0== const, L s i n O = c o n s t , то

из

системы

(2.75) — (2.78)

м о ж н о получить

(2.81), (2.82) и, кроме того,

f=const/'

из

(2.78). Н е ограничивая общности, м о ж н о

считать

F=f,

тогда

из

последствий

м о ж н о

н а л о ж и т ь течение

/ s i n 9 = c o n s t и которое не

будет

в о з м у щ а т ь

поле

L s i n 9 = const,

определяется функцией

, Л 2 — ЛіСОБ0

л

и

л

и

соотношениями

/ = — — : —

, где Л[

Л 2 связаны

с а, о и с

sin 0

2Аі-(1-5)Л22

= 4 а - 2 с ,

(1 - 5 ) Л , Л г - 2

Л 2 =

-2Ь,

( 1 - 5 ) Л , 2 - 2 Л , = - 2 с .

Случай

/ = 0,

L s i n 0 = c o n s t

приводит

к

решению

/ = const

неза­

висимо

от наличия

остальных составляющих

магнитного

поля.

вует

азимутальное

магнитное

поле

пч———:——,

определяется

выражением

/=const .

A S i n 0

Осесимметричные течения о б л а д а ю т еще тем свойством, что

при

/ = 0 различные

линии тока

подобны м е ж д у собой. Действи­

ем

RdQ

интег-

тельно, линии

тока

определяются уравнением ту- = .

г,

COnst

•

рирование которого дает R=

-г—-—тг

/ s i n 0

ных и постоянных интегрирования уравнений

(2.70) — (2.74).

Общие рекомендации по выбору постоянных а, Ь,

с дать

затруд ­

нительно, именно поэтому в гидродинамике непроводящей

жид ­

кости практиковался подход, при котором

з а д а ч а

конкретизиро­

валась

после

того, к а к

постоянным

были

приданы те или

иные

значения

[11—16]. Однако

д л я осесимметричных

течений

можно

у к а з а т ь

одно

общее свойство,

а именно: течения с зеркально

симметричным относительно

плоскости

z = 0 распределением

ско­

ростей характеризуются

значением Ь =

0.

2.3.2.

Безындукционное

приближение.

Геометрическая

ин­

терпретация

возможных

внешних

магнитных

полей.

Безын ­

дукционное приближение может

быть

получено (как и в п. 2.2)

путем р а з л о ж е н и я функций, связанных с составляющими

напря­

женности

магнитного

поля,

в

р я д

по степеням малого

пара­

метра р:

4' = 4 f o + P M F 1 + . . . ,

L = L 0 + p L , + . . . .

(2.83)

Подставив ряды (2.83) в систему (2.70) — (2.73) и собрав

члены

+ На 2 |~2гП/ї + Г|2 f

L 0 I i r f T | - 2 ( l + V ) X

(2.84)

(1 + ті2 ) I " + З г і Г + ф / ' = H a 2 (WQL,' + WM;

(2.85)