книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

если

магнитные

проницаемости обеих

сред одинаковы

(ц. = |л т ) ,

то приходим

к (2.31). Кроме того, если

на стенках к а н а л а

отсут­

ствуют

поверхностные

токи,

то д о л ж н а

быть непрерывна и тан ­

генциальная

с о с т а в л я ю щ а я

магнитного

поля

I F (at)

=IvFTi(ai)

или

F(a,i)=Fn(ai)

.

Интегрирование

уравнения

(2.30)

приводит

к любопытной

связи

м е ж д у

Еті

и расходом

жидкости в канале :

ос.

1

Г

Q

— ( F T i - F T

2 ) =

/

fdy=— .

F

а,

а.2

а 2

Отсюда

следует,

что з а д а н и е расхода

Q = J Vrrdw=vSfdw

опре-

a,

a,

деляет

разность

значений функции F на стенках к а н а л а .

Спра­

ведливо

и обратное

утверждение .

В частности, если движение осу­

ществляется

по схеме

рис. 2.5, то

решением

в

области

I I

является

/ r T = c o n s t , следовательно,

FTi —

— FT2

= 0

И,

соответственно,

рас­

ход т а к ж е

равен

нулю.

Д л я

того

чтобы

получить ко ­

нечный

расход

в

интересующем

н а с к а н а л е

(например,

диффу ­

з о р е ) , необходимо

соответствую­

щ и м образом организовать под­

вод

жидкости

к источнику.

Ц е л ь

достигается, если движение орга­

низовать по двухканальной

(или

Рис.

2.6. Двухканальная схема те­

многоканальной)

схеме (см. рис .

чения,

реализующая

ненулевой

2.6, а)

[23]. Здесь

один

из ка ­

расход в диффузоре.

налов (А) выполняет роль д и ф ­

фузора, второй {В) — конфузора .

Учитывая

сказанное

выше., д л я схемы,

изображенной на

рис. 2.6, а, м о ж н о

записать

F(a2)

=F(a3)

=FT1;

F(a2)-F(a,)=p

/

/Лр;

а,

а,

f ( a 4 ) - / r ( a 3 ) = P

ffdy.

Комбинируя

аз

получаем

эти равенства,

a 2

а,

ai

аз

т. е. находим,

что

общий

расход через

оба

к а н а л а

равен нулю,

в то

время как

расход через

д и ф ф у з о р

А отличен от нуля.

Плотность

тока, индуцируемого движением жидкости попе­

рек

магнитного поля в направлении

оси z,

дается

в ы р а ж е н и е м

.

Г 1 д

1 дНг

1

/

/ р /

Полный

ток

через

канал

А м е ж д у

поверхностями

г — г{

и

г=г2

/ р /

/

^ М - г і ф с ^ / р і п І *

У

f(<p)dq>,

а,

г,

1

tti

а полный ток через оба к а н а л а

—

«2

а,

I i m / p i n — [

/"f(<p)d<p +

[ / ( < p ) d q > ] = 0 .

Так

как

точка

0 является

д л я

к а н а л а

А источником, а

для

ка­

нала В

— стоком, то токи в обоих к а н а л а х

противоположны

по

направлению, но равны по величине.

В предельном случае (сс4 ->-аз) канал В превращается в токо­

несущий

слой

(см. рис. 2.6,6). Слой поверхностных токов

(В),

поперек

которого

з а д а н расход

жидкости,

обеспечивает

необхо­

димый

разрыв тангенциальной составляющей магнитного поля,

что, в

свою очередь, обеспечивает существование радиального

течения

в д и ф ф у з о р е А. Нетрудно

убедиться, что в рассматри ­

ваемой

задаче электрическое поле

£ = 0 . Аналогично рассмат ­

З а м е т и м ,

что безындукционное

приближение

(2.33)

м о ж н о

т а к ж е получить, р а з л а г а я функцию

F в р я д по м а л ы м p<gcl

(или

по

ReT O ): F — F0+fiF[+

. . . . К а к

следует

из (2.30),

решением

д л я

FQ

является

Fo = const,

которую

следует

положить

равной

нулю,

вует, a Fi будет определяться

уравнением

F'\ = — f = Reu.

П о д ­

становка

этих решений в (2.29)

дает

(2.33).

2.2.1.

Ползущее течение.

П р и

очень

м а л ы х числах

Re в

м " + ( 4 - Н а 2 ) и + С 3 = 0

у ж е не представляет труда.

При

Н а 2 < 4

/

= 4 - Н а 2 ,

2 я \

со2

—

\

а

со /

а

,

cos com — cos со —-

or cos со —

и = ± с о

2

С 3

= +

2

.

а

,

а

0

а

а

2 sin со — — с о а cos—

2 sin со — — с о а cos со —

При Н а 2 = 4

получаем

" = ± 2 а ^ ( а 2 - 4 ф 2 ) '

С з = ±

^ '

т. е. профиль скорости, аналогичный профилю

П у а з е й л я

в плос­

кой или круглой трубе в отсутствие магнитного

поля.

Если

Н а 2 > 4 ,

то решение

приобретает вид

(со2 = Н а 2 — 4):

ch со

— ch шф

со3

ch со

« = ± с о

і.

п

и

, С 3 = ±

о

и

а

а

и

а

а

coachco— — 2shco—

с о а с п с о — — г

sn со —

(2.35)

П р и м е р воздействия поля

на

распределение

скорости

в д и ф -

фузоре с углом

а =

—

показан на рис. 2.7 [22]. В предельном слу­

чае больших

чисел

Г а р т м а н а

( Н а » 1 ) профиль

скорости

в я д р е

§ 2. ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

і

47

я/2

я/2

'

6

y e i - e 9 J y i - ^ s i n ^

^

- 2 - j / e j - е 3 ctg tpo y 1 - Л 2 sin 2

яро

,

(2.43)

г д е

A2=_fiz5_<i.

е і - е 3

Большие значения чисел Re приводят к тому, что правые

части формул (2.42), (2.43) становятся

очень большими. В свою

очередь,

эт о означает, что параметр

k д о л ж е н мало

отличаться

ответственно, правые части

(2.42), (2.43)

имели

бы конечное

зна­

чение. Та к ка к

то, следовательно,

е2~е5;

кроме

того, это

позволяет

в правой

части

(2.43)

пренебречь вторым

и третьим

слагаемыми,

которые

в отличие

от первого

имеют конечное

зна­

чение. Сравнивая теперь (2.42) и (2.43), получаем

1

л/2

е 3

и

/

* "

-

У

- Є

«

•

(2.44)

« - L

К Є ( Є 1

З )

a

f y i - £ 2 s i n 2 o b

'

6

2

Фо

'

т

Найдем

значения

остальных

корней

полинома. Д л я этой

цели

представим

Я/2

Я/2

-фо

dip

— J і

— /в

J

y i - / f e 2 s i n 2 \ p ~ I

y i - A : 2 s i n 2 T | )

/

Vl —/г2 sin2 г|з

т і -

/

Фо

^

, n І + sin ч|ю

4

Г

Уі — k2

J

COS \Jj

COS1|)0

= l n ( V f i z £ L +

y M ,

подстановка

которых в (2.44)

приводит к соотношению

е . - е з

( У g ' ~ g 3 , y g ' ) 2

6

Є з

' ' Є з

(2.45)

П о с л е д н ее соотношение м е ж д у

корнями

можно получить из

(2.38), если воспользоваться оценкой е 2

= е3 . Это дает

3 ( Н а 2 - 4 )

2

3 ( Н а 2 - 4 )

2 Re

а

2 Re

Решение

д л я поля

скоростей строится

аналогичным способом.

И з

(2.39)

имеем

л/2

л/2

»

.4

tlo.—o.J

і / І _

Ь2 с і п 2 , і ,

1 / д . _ ^ > „

\ J "

З

У<?і - ез^

y i - * 2

' s i n 2 i | 3

Уеі — е 3

ч . ; y i - * a s i n 2 i p

Г

rf\p

\

2

.„

4cos\|>

y\-k*sin2ip

І

УЄІ-ЄЗ

y i - / 2 2 ( l + s i n t j ) )

Отсюда с учетом (2.41) и (2.45)

получаем

3 ( Н а 2 - 4 ) _ 1

>

0

2 Re

а

Т ак

к а к

решение

получено

при

R e » l ,

то

это требование

озна­

чает,

что и число

Н а 2

д о л ж н о быть много

больше единицы,

точ­

нее,

c t H a 2 > 2 R e .

Таким образом, при а Н а 2

> 2 Re симметричное и

расходящееся

течение

в диффузоре существует.

И з рассмотрения в ы р а ж е н и я

д л я профиля скорости

следует,

что,

за

исключением

пограничного

слоя толщиной

порядка

l / R ^

{еі

— е3)

;

—

l / R e f 3 ( H a

2 - 4 )

3 1

, в

.

А

у —

у

2 ^

— -

— — J

остальной

области те-

или,

после

возведения в к в а д р а т

обеих

частей неравенства,

6

4

п

„

, 3 ( 4 - Н а 2 )

„ _

При

этом,

конечно,

д о л ж н о

оыть

ех-\—

—

^

другой

стороны, та к ка к 0 ^ и ^ е ь

то из (2.48)

следует

У3±<ei

уР(и)

Г-І^=ЄіаУ Re

'

6

/

V

6

т. е. e j a > l . Вследствие последнего

неравенства

из

(2.49)

выте­

кает, что

R (

2

2 j _ 2 Н

а 2 \

6 I л

— ос + ос ——— I

Re<

а

.

(2.50)

Неравенство

(2.50)

показывает,

что при Н а = 0 симметричное и

расходящееся

течение при больших

Re невозможно,

однако пр и

Н а = £ 0 д л я любых

а

и Re (в том числе и д л я больших Re)

т а к о е

3 (4 — Н а 2 )

течение

становится

в о з м о ж н ы м ,

если б[Ч

2. Re

> 0 .

Д л я

более

детального

анализа

этого

случая

произведем

в

(2.48)

замену

ы = е,— (еі — e2 )sin2 T|3 = e 2 +

(е, —e2 )cos2 \p.

(2.51)

П р и

этом

значению

и — в\

будет

соответствовать

яр = 0, а

значе­

нию

ы = 0

—

•'ф^'фо, где гр0 определяется

ф о р м у л а м и

s i n 2 \ u 0 =

Є\

,

cos 2 ib 0 =

— е2

( е 2 = ^ 0 ) .

Єі-Є2

ЄІ-Є2

И т а к ,

Re _

•фо

•j /

2

Г

а

'

6

У е і - е з

J

У1 — A2

sin 2

гр

(2.52)

•фо

1fo

у J ^ e =

2 е з ^

Г

dif

+ , 2

у Є

і - е 3

/* y i - f e 2 s i n 2 i t > c %

'

6

У е , - е 3

0 J

У1 —A:2 S in2 xp

{