книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле
.pdfГ р а н и ч н ы ми условиями з а д а ч и о струе с некоторым началь
ным распределением |
скорости / 0 , вытекающей в неограниченное |
|||
затопленное пространство, будут |
следующие: |
|||
ї = їо(Ч>1) |
при |
s = 0; |
|
|
/ - > 0 , |
при |
s - > o o ; |
|
(6.14) |
/ - > 0 , F-+-0 |
при |
т ) - > - + ° о |
или |
£ - > - ± о о . |
И с п о л ь з у я |
двойное преобразование |
Фурье |
—оо —со
оос о
F=4~f 2п |
|
J |
F ехр ( - ion ~ »б£) |
dx[dl. |
|
|
|
— со |
— со |
|
|
|
|
м о ж н о получить |
решение д л я т р а н с ф о р м а н т |
Фурье в виде |
||||
/ = Л е х р [ - ( а Н 5 2 + - | ^ ) 5 |
] ; |
|
||||
F= |
i& |
- |
|
|
|
|
|
|
f. |
|
|
|
|
О б р а т н о е |
п р е о б р а з о в а н и е дает |
|
|
|||
f = - к І |
I А { А ' 6 ) Е Х Р [ ~ ( A 2 + 6 2 F ^ ) S |
+ |
||||
|
— со |
— со |
|
|
|
|
|
|
|
+ і(вч |
+ 8£)]йой8; |
|
(6.15) |
—со — со
і{от\ + 6 £ ) ] dads,
где
Л (а, б) = 2л / / fo (ті, С) ехр ( - іот) - Й£)
— с о — со
Вкачестве начального профиля м о ж н о выбрать, например,
профиль |
скорости |
на |
выходе из |
эллиптической |
трубы |
й = |
||||
/« |
У2 |
z2\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= « m Q l l — ^2 — -^21 |
либо задаться |
|
однородным |
в |
прямоуголь |
|||||
нике |
|
|
распределением скорости. Мы, |
однако, |
ог |
|||||
раничимся, к а к и в работе [5], распределением |
|
|
|
|||||||
Ы л . £ ) = |
e x p [ - ( a V + |
^ 2 ) ] , |
|
|
|
|
.(6.16) |
|||
не з а д а в а я с ь |
при этом |
вопросом, |
к а к оно может |
быть получено. |
||||||
Выбор начального |
распределения |
в |
форме |
(6.16) |
несколько |
уп |
||||
р о щ а е т вычисления; |
в то ж е время замена |
реального, |
ограничен |
ного в пространстве начального профиля скорости некоторым
асимптотическим не может принципиально повлиять |
на конеч |
ные качественные выводы . |
|
В (6.16) величины а - 1 и b~l м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь |
к а к полу |
оси эллипса, совпадающего с линией постоянного значения ско рости, при этом случай 1 <§: — соответствует эллиптической
струе, сильно вытянутой вдоль направления магнитного поля
(вдоль |
i](y)), |
случай |
" ^ " ^ > ~ |
струе, вытянутой поперек |
поля, |
|||||
случай а — Ь — круглой в начальном |
сечении струе. |
|
||||||||
З а х а р а к т е р н ы й |
размер |
з а д а ч и |
L |
примем |
расстояние |
y = 8i |
||||
на оси z—0, |
при котором скорость |
и |
в н а ч а л ь н о м сечении |
отли |
||||||
чается от скорости спутного потока |
Uo на 1 % , т. е. а = |
0 , 0 Ш 0 . |
||||||||
Отсюда, |
согласно |
(6.16), |
|
|
|
|
|
|||
|
|
п |
Ю0»го0 |
|
|
|
|
|
||
v |
|
|
|
Г ' |
|
|
|
|
|
|
Подставив |
(6.16) |
в |
(6.15), найдем |
решение |
в форме |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
г 2 + б 2 + |
Na 2 |
|
4nab |
|
|
|
|
|
|
а 2 + б 2 |
|
||
|
—со —со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-И(о-г} + 6£) |
е Ы б . |
|
|
|
|
(6.17) |
Д л я вычисления интеграла (6.17) перейдем к полярным ко ординатам о—г cos 8, 6 = rsinQ, dodb = rdrdQ. Это позволяет про вести интегрирование по г в пределах от 0 до с» в конечном
виде, а действительную часть (6.17) записать окончательно в следующей форме:
/ - - |
L |
. |
7 ^ |
( - № |
c |
o |
s 2 9 > f і - |
|
J l |
exp ( |
|
) Erf і ( JUL ) |
U |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.18) |
|
где |
|
|
|
|
л , i> |
• |
n |
cos2 |
8 |
, sin 2 6 |
. |
~ |
, „ |
= |
' |
- j |
|||||
m = Ticos9 + £ s i n 0 , |
».= - |
|
_ |
- I — T T J - |
+ S , E r f i ( 0 |
|
Je^d?. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4flr |
4 0 і |
|
|
|
|
о |
|
||||
Соответственно |
решение |
д л я потенциала |
приобретает ви д |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
sin 9 exp (-Ns cos2 |
8) |
|
/ _ |
г* |
ч . |
|
|
|
X |
|
|
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и |
N = 0, т. е. в отсутствие |
|
магнитного поля, |
интегрирование |
||||||||||||||||
(6.18) |
приводит к [5]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г |
|
|
|
1 |
1— |
|
|
/ |
- |
Л |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/= |
|
|
|
|
|
|
• ехр / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем |
|
множитель |
fmo= |
, |
|
|
|
— , |
|
играет |
роль мак - |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b ] l v 2 + A s |
]/-Y2 + |
4 s |
|
|
|
|
|
|
||||
с и м а л ь н о го значения |
|
дефекта скорости на оси струи. И з |
выра |
||||||||||||||||||
ж е н и я |
д л я fmo следует, |
что пр и большом |
эксцентриситете |
эл |
|||||||||||||||||
липса — <gyсуществует |
область |
значений ~ » 4 s » — , |
|
где f m o ~ |
|||||||||||||||||
|
|
ct |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
а |
|
|
|
|
||
= — |
, |
т. е. здесь |
струя ведет |
себя |
к а к плоская . |
|
Е с л и |
ж е |
|||||||||||||
2a]/s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 s » - i - » |
~, |
то |
f m 0 |
становится |
приближенно |
равной |
fmo^ |
|
|
/г\2+£2\
соответственно |
/—/moexp I — |
1 • Отсюда |
следует, что |
|
струя с |
л ю б ы м |
н а ч а л ь н ы м эксцентриситетом |
в ы р о ж д а е т с я в |
|
круглую |
струю. |
|
|
|
П р и |
ЫфО скорость на оси струи |
|
|
2it
fm — |
1 |
Г |
e x p ( - N s c o s 2 8 ) < i 0 |
||
|
2л |
/ ~b |
' |
а |
Q + Aabs |
|
|
— cos2 |
6 + — sin 2 |
||
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
( |
|
а__Ь_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ , |
1,1,-1 |
— |
| |
, |
|
(6.19) |
||
|
|
|
|
|
Ъ |
\-Aabs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Фі (а, р, у. >п, п) — |
в ы р о ж д е н н ы й |
гипергеометрпческий |
р я д |
||||||||
двух переменных (см. [8], ф о р м у л а (9.261)). Более |
простое |
выра |
||||||||||
жение можно получить |
д л я |
круглой в |
начальном |
сечении |
струи |
|||||||
(а = Ь = 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
ехр |
( - т - М - - ^ ) - |
|
|
|
(6-20> |
|||||
|
l + 4 s |
|
|
|
||||||||
Здесь /о — функция Бесселя мнимого |
аргумента . И з |
(6.20) |
вид |
|||||||||
но, |
что, к а к и |
следовало ожидать, в |
магнитном поле |
простран |
||||||||
ственная |
струя |
р а з м ы в а е т с я |
быстрее, |
чем в |
отсутствие поля, |
но |
гораздо медленнее, чем плоская струя, затухание которой опре
деляется |
в основном |
множителем |
e _ N s |
(см. |
п. |
3.4 |
главы |
V ) . |
||||||||||||
В этом состоит одно |
из наиболее |
существенных |
различий |
между |
||||||||||||||||
плоской |
и пространственной струями . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
П р и больших Ns |
ф о р м у л у |
(6.20) |
можно |
упростить, если |
вос |
|||||||||||||||
пользоваться |
асимптотическим |
представлением |
функции |
Бес |
||||||||||||||||
селя. В результате |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l + 4 s |
-j/jtNs L |
|
|
Л |
Ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т. е. в магнитном |
поле пространственная |
струя |
затухает |
пропор |
||||||||||||||||
ционально —3І2 степени расстояния |
и |
— '/г степени |
N |
(рис. 6.1). |
||||||||||||||||
Что касается струй |
с |
афЬ, |
то, к а к показывает |
рис. 6.2, |
при |
|||||||||||||||
больших |
s |
их |
м а к с и м а л ь н а я скорость |
ведет |
себя |
т а к ж е , ка к |
fm |
|||||||||||||
в струе |
с а = Ь, причем |
нем в ы ш е значение |
N , тем |
раньше |
по |
х |
||||||||||||||
fm~s~3 / 2 . Таким образом, |
если |
судить |
по |
поведению |
м а к с и м а л ь |
|||||||||||||||
ной скорости, |
то, |
к а к |
и |
в отсутствие |
магнитного |
поля, |
струи |
с |
||||||||||||
а=ф=Ъ в ы р о ж д а ю т с я |
в струю с а = Ь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Перейдем |
теперь |
к |
описанию |
д е ф о р м а ц и и |
ф о р м ы |
струн |
в |
|||||||||||||
магнитном |
поле, |
о |
чем |
можно |
судить |
по |
линиям |
постоянных |
||||||||||||
значений |
скорости |
( и з о т а х а м ) . |
Последние |
строились |
следую |
|||||||||||||||
щим образом . И н т е г р а л |
(6.18) |
рассчитывался |
на |
Э В М |
при за |
|||||||||||||||
данном |
значении |
s на лучах т] = &£, £ =&n |
(OsS^&^l), |
тем самым |
||||||||||||||||
определялись |
профили |
скорости |
на |
этих |
лучах . П о |
найденным |
п р о ф и л я м скорости затем |
у ж е нетрудно |
построить линии |
равных |
||||||||||||||||
скоростей. |
В |
расчете |
з а д а в а л и с ь |
следующие |
значения |
пара |
|||||||||||||
метров: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N |
— |
0, 1,2,5, |
10; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а |
и |
6 |
— а = |
6 = 1 ; |
а = |
0,5, |
|
6 = |
1; |
|
|
|
|
|
|
||||
а = |
\, |
6 = |
0,5; |
|
а = 0,1, |
6 = 1 ; |
а=\, |
6 = |
0,1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
Ha рис. 6.3 и |
6.4 |
приведены |
изотахи |
д л я |
круглой в |
||||||||||||
начальном |
|
сечении |
струи |
(а = 6 = |
1). |
К а к |
видно |
из |
рисун |
||||||||||
ков, |
к р у г л а я |
струя |
|
с н а л о ж е н и е м |
поля |
становится |
эллип |
||||||||||||
тической, |
|
причем |
|
б о л ь ш а я |
полуось |
эллипса |
ориентируется |
||||||||||||
по |
полю |
(на всех |
рисунках |
н а |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
правление |
|
магнитного |
поля |
|
|
|
|
*5 InS |
|
||||||||||
совпадает |
|
с |
осью |
ті). |
Р е з у л ь |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
т а т ы расчета |
т а к ж е |
показыва |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ют, |
что |
отношение |
|
большой |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
полуоси эллипса к мало й полу |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
оси увеличивается с ростом N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
при фиксированном s и с рос |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
том |
s |
при |
фиксированном |
N . |
|
|
|
|
|
|
|
Отличительная |
особенность |
|
описываемой М Г Д - с т р у и |
со |
|
стоит ещ е в следующем . |
К а к |
|
известно, немагнитная |
струя |
|
асимптотически |
затухае |
т с |
удалением от оси (в рассмат
риваемом |
случае |
— |
экспонен |
ц и а л ь н о с |
г2 , где |
Г 2 |
= Т ) 2 + ^ 2 ) . |
П р и н а л о ж е н и и |
поперечного |
||
магнитного |
поля |
появляется |
резко очерченная линия нуле вой скорости, за которой рас полагается зона обратного те чения, ориентированная в на правлении, перпендикулярном полю (по оси £ ) . Физический смысл появления зоны обрат ных скоростей понятен: инду цируемый в струе поперек маг нитного поля электрический ток большой плотности вызы вает т о р м о ж е н и е жидкости
Рис. 6.1. Зависимость осевой скорости
в круглой в начальном сечении струе (а =6=1 ) от расстояния до началь ного сечения при различных N.
•5 InS
. -5
\ - -І . >
25;
-10
Рис. 6.2. Зависимость осевой скорости от расстояния що начального сечения в струях, начальный эллипс которых ориентирован различным образом от носительно направления магнитного поля:
-і- а=1; 6=0.1; |
— а=0,1; |
Ь=>1.
Рис. 6.3. Изотахи для круглой в начальном сечении струи:
в приосевой зоне. З а м ы к а н и е ж е |
тока |
происходит по |
об |
|
л а с т и со сравнительно м а л ы м и скоростями, причем |
вблизи |
оси £ |
||
направление тока совпадает с направлением тока |
в приосевой |
|||
зоне, а вблизи оси г) меняется на противоположное . |
Т а к и м |
обра |
||
зом, вблизи оси £ э л е к т р о м а г н и т н а я |
сила |
действует |
в н а п р а в л е |
нии отрицательной оси х, а величина ее такова, что вызывает появление отрицательных скоростей; вблизи ж е оси TJ электро магнитная сила в ы з ы в а е т ускорение жидкости, т а к что, начиная с некоторого т)=т]і, скорость в поле превышает значение ско
рости в отсутствие поля в той ж е |
точке. |
|
|
Описанный механизм л е ж и т |
и в |
основе причин |
преобразова |
ния круглой струи в эллиптическую, |
вытянутую по |
полю. |
К а ч е с т в е н но |
те |
ж е |
результаты |
получаются |
и |
при |
афЪ |
||
(рис. 6.5—6.9). З д е с ь молено отметить лишь, что |
если |
в началь |
|||||||
ном сечении |
струя |
была вытянута |
поперек |
поля (а>Ь), |
то ее |
||||
д е ф о р м а ц и я |
в |
магнитном |
поле происходит |
еще |
более |
с л о ж н ы м |
образом , а именно: при относительно небольших s в приосевой
зоне |
( г | ~ 0 , |
£г»0) |
сохраняется |
вытянутость |
струи |
поперек поля, |
|
в то |
время |
к а к на |
достаточно |
большо м удалени и |
от оси |
н а б л ю |
|
дается я в н а я вытянутость изотахи вдоль |
н а п р а в л е н и я |
магнит - |
ного поля (см. рис. 6.6, 6.8, 6.9). |
В целом нее струи с любой |
ори |
ентацией начального эллипса относительно н а п р а в л е н и я |
поля |
|
преобразуются в струю, ф о р м а |
поперечного сечения которой |
вы |
т я н у т а вдоль н а п р а в л е н и я поля . |
|
|
Рис. 6.7. Изотахн в струе с а=0,1, 6 = 1 в сечении s=0,5.
П р е д с т а в л я е т |
интерес |
сравнение |
скоростей |
р а з м ы в а |
двух |
||||||||
идентичных |
струй, |
но |
с различным |
эксцентриситетом. П о д |
иден |
||||||||
тичными |
струями |
будем |
понимать |
такие, у |
которых одинаковы |
||||||||
скорость |
спутного |
потока, скорость |
на |
оси |
Ё начальном сечении |
||||||||
и толщины потери |
импульса: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
со |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—со |
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К р о м е |
того,' будем |
считать, |
что обе |
струи |
распространяются |
в |
|||||||
магнитном |
поле одинаковой |
напряженности . Эти |
условия |
д а ю т |
|||||||||
с л е д у ю щ и е |
соотношения |
м е ж д у х а р а к т е р н ы м и |
м а с ш т а б а м и |
и |
величинами а и Ь (индексы «1» и «2» относятся к струям с раз
ными |
эксцентриситетами): |
|
|
|
L \ |
L 2 |
|
|
|
a,\b\ |
а2Ь2 |
|
|
|
Сравнение |
будем вести, по степени падения fm |
с ростом |
s. |
|
Учитывая, что |
параметр N содержит характерный |
р а з м е р L, |
и |