Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

И с к л ю ч е н ие ( а + р ) из (3.25) с помощью (3.26) приводит к

И з предположения	f ( o o ) < 0	следует, что	f"(r[i)>0,	но это
противоречит условиям	(3.24).	Таким образом,	вторым	необхо

димым условием существования автомодельного решения при

предположениях (3.17) является				зависимость			показателей сте
пени т и п от характеристики у, связанной с магнитным											полем:
т=~-											(3.27)
В свою очередь,		магнитное поле, к а к видно					из		(3.19),		(3.27)
и определения у:
											(3.28)
д л я обеспечения автомодельное™				решения		д о л ж н о			быть		таким,
чтобы с ростом «индукции» В0				степень		убывания				его	ПО X
увеличивалась согласно (3.28).
П а й	[5], который	положил н а ч а л о дискуссии						об	МГД - струях,
						1				2
р а с с м а т р и в а л уравнение			(3.15), считая / п = - ^ - и					n =	_ g"- Естест
венно,	при таких	условиях решения			уравнения			не		существует,
на что было у к а з а н о Юнгклаусом [7] и Тоба [8].
В работах [7, 10] были			приведены		решения		уравнения				(3.15)
д л я безразмерного		профиля скорости,			однако		отсутствие				интег

рального условия не позволило авторам довести решение до ко

нечных	формул .	Д е л о	в том,	что интегральное соотношение
(3.4) показывает		л и ш ь	х а р а к т е р	изменения импульса, но не	оп
ределяет	конкретного		значения	импульса (или иную х а р а	к т е

ристику течения в одном из сечений струи), позволяющего вы разить через него все характеристики течения и, таким образом, довести з а д а ч у до конца.

Попытки в этом направлении были сделаны Стаховичем и

Соковишиным	[11], Д ж а у г а ш т и н ы м		[12], Цинобером и	Щерби
ниным [4]. М ы д а д и м		полное решение	поставленной здесь	з а д а ч и
в следующем	п а р а г р	а ф е .

Если рассматривается б) струя,

распространяющаяся

вдоль

плоской твердой

поверхности

(см. рис. 3.2),

то

второе

соотноше

ние м е ж д у т и п можно

получить из уравнения

(3.9).

П о д с т а в л я я

(3.9)

в ы р а ж е н и е

дл я

и по (3.13)

(3.14)

и при

нимая во внимание (3.17), получаем

(3m -

n) =

/ j

; — ,

(3.29)

ff'4r)

уравнение

д в и ж е н и я

(3.1)

граничные

условия

—

в виде

/'"

+ km\\"— k(m

— n)f/2—yf'

= 0;

(3.30)

/(0)=0 ,

/ ' ( 0 ) = 0 ,

/ ' ( о о ) = 0 .

(3.31)

Т а к ж е ,

ка к

это

сделал

Юнгклаус

д л я

свободной

струи,

м о ж н о показать,

что д л я получения

автомодельного

решения

за

дачи о пристеночной

струе необходимо,

чтобы

коэффициенты

и п удовлетворяли

условиям

З т — п < 0 ,

д л я

у = 0;

т<—,

п>—-

(3.32)

Зт — п = 0,

т = ~ £ >

п = = " 4 ~

л и ш ь

д л я

7 = 0

(условия

(3.32)

получены т а к ж е Моро [13]).

Действительно,

правой

части

равенства

(3.29)

все вели-

со

чины,

за

исключением,

м о ж е т

быть,

Sff'2dt],

положительны .

оо

П р е д п о л о ж и м ,

Это

возможно,

если

на

каком -

что

Sff'2dy\<0.

либо

участке

полуоси

г|

/ < 0 . , Н о

тогда д о л ж е н

существовать

хотя бы одно значение г|=т)ь

при котором

/ Ы > о ,

Пг].)=о,

Г Ы < о

(з.зз)

(из физических

соображений

f " ( 0 ) > 0 ) .

Умножим

(3.30)

на

проинтегрируем

от

до

r | i . И м е я

в виду

(3.33),

получим

•Пі

f М

= ^ / 2 ( r i i )

+Ц3т-п)

ff'2d4.

З а м е н и м в последнем равенстве Зт — п в ы р а ж е н и е м (3.29), после чего будем иметь

iii

Г-(оо) I ff'-Щ

/ М П л і ) =

(3.34)

ff'dr]

Т а к

ка к r|i есть

первый

корень

д л я f,

то в

интервале 0—rji f > 0 ,

следовательно,

iii

К а к

вытекает

из

предположения

Sff'2dr\>0.

оо

Sff/2dr\<0,

п р а в а я часть

(3.34) положительна

f"(r\i)>0,

что

противоречит последнему

из условий

(3.33).

И т а к , суммируя (3.18)

и (3.29),

получаем

i f ,

у / » ( о ° ) 1

„

^ ( о о )

(3.35)

где

а=

ЇЇЩ-

О д н а к о

ограничения,

н а к л а д ы в а е м ы е

на

и п, этим еще не

исчерпываются . Д л я изложенного

выше

доказательства сущест

венным является предположение

Г ( 0 ) > 0 ,

(3.36)

которое означает, что профиль скорости

д о л ж е н

быть безотрыв

ным

(момент отрыва определяется

равенством

f " ( 0 ) = 0 ) .

П о к а

ж е м ,

что, если

оставаться

в р а м к а х

расчета

безотрывного

тече

ния, на коэффициенты т и п следует н а л о ж и т ь

ещ е ограничение

m > 0

, n <

1 .

(3.37)

Введем

преобразование

f—-

Ті

— г Ф .

т 1 = Zrt

Тогда

(3.30)

перейдет

k(m

— n)

уу

ф ф " + ф ' 2 - ф ' = 0 .

(3.38)

т — п

S — 2274

		\ l f 2 ( o o)		= 2, т. е. т = 0, получим
П о л а г а я		^						уравнение
ф " ' + ф ' 2 _ ф ' = 0 ,
которое легко интегрируется при условиях
Ф ( 0 ) = Ф ' ( 0 ) = 0 ,				Ф ' ( о о ) = Ф " ( о о )		= . . .	= 0 .			(3.39)
Первый	интеграл			этого	уравнения	записывается в			виде
Ф"2 = ф'2		.ф'3+С		,						(3.40)
		3
И з	условий		(3.39)		на бесконечности			следует,	что в	(3.40)
нужно положить			С = 0. Если при этом принять во внимание							усло
вия (3.39)		на нуле, то			о к а ж е т с я ,	что этот		случай	соответствует
нулевому		трению		на стенке Ф " ( 0 ) = 0 .			Интегрируя (3.40)			е щ е

раз, нетрудно убедиться, что условиям (3.39) отвечает триви

альное решение

Ф = з 0 .

Т а к и м образом,

если р а с с м а т р и в а т ь безотрывные течения, т о

коэффициенты

т и п м о ж н о варьировать

лишь

в пределах

(3.41)

0 < т < — , — < п < 1

Соковишин

[14] получил

на Э В М решение

уравнения

№"+kxF'*+FF"=F',

в котором функция F и переменная £ связаны

с Ф

и £ из

(3.38)

соотношениями

F,=

2т

Ф,

1 = 21,

а А, = -

'т — п

Р е з у л ь т а т ы

т — п

этого расчета приведены на рис. 3.3.

Вулис

и Д ж а у г а ш т и н

[15]

т а к ж е

пред

ставили

численное

решение

уравнения

(3.30), но ограничились значениями пара

метров, при которых расход в поперечных

сечениях

струи

возрастает

с удалением от

щели. В примененном ими методе последо

вательных приближений в качестве первого

приближения

(3.35) были

использованы

Рис. 3.3. Профили ско

значения f(oo) и а, известные

из

решения

гидродинамической з а д а ч и

( N = 0);

найден

рости

пристеночной

ные

после интегрирования новые значения

струе

по

данным

ра

/(оо)

и а

вновь

подставлялись

в (3.35) и т. д .

боты [14].

Следует, однако, заметить, что знание распределения функ ции F (или, что то ж е , / ) ещ е не решает ни одной из поставлен

ных задач . Полное решение может быть		получено, если	будет
найдена	р а з м е р н а я постоянная k в (3.17)	по заданной характе
ристике	потока. К этому мы и перейдем в § 3 настоящей		главы,

где будет приведено решение в общем случае (в том числе и дл я практически важного случая однородного поперечного магнит ного поля) и д а н а физическая интерпретация полученных ре зультатов .

§ 3, О Б Щ И Й СЛУЧАЙ А В Т О М О Д Е Л Ь Н О Г О Р Е Ш Е Н И Я .

ПЛОСКАЯ СВОБОДНАЯ СТРУЯ

Е щ е Юнгклаусом [7] было высказано предположение, что степенное представление функций (р(х) и б(х) по (3.17) и коэф фициентов а, р и у в (3.15) в виде постоянных является, воз можно, не единственным, ведущим к подобным решениям. Моро 116] первым показал, что к этой цели приводит и представление а и р в виде суммы постоянного слагаемого и функции от х, про порциональной у. Однако такое представление вводилось сугубо •формально, а кроме того, из-за отсутствия условия сохранения Моро не удалось довести задачу д о конца. Полное решение указанной проблемы, а т а к ж е обоснование предположения М о р о было проведено в работе [4] и позднее в [17].

В настоящем п а р а г р а ф е мы приведем автомодельное реше ние з а д а ч и о плоской свободной струе при более общих предпо


л о ж е н и я х		о х а р а к т е р е магнитного				поля, чем это			было		сделано
выше	(3.28). З а д а ч а			описывается		уравнениями		(3.1), (3.2), ус
л о в и я м и		(3.4)	и v=	— = 0	при у = 0, и-+0		при z/ - v±oo .
К а к	и ранее, после введения функции тока будем									иметь урав
нение	(3.15) с		граничными		условиями д л я функции					/
/ ( 0 ) = / " ( 0 ) = 0 ;			П ° ° ) = 0 .								(3.42)
Используя			интегральное		соотношение		(3.4)	в	форме		(3.21),
м о ж н о	представить коэффициенты					а и р в	(3.15)	в	виде

б 2 ,

а*

после чего уравнение (3.15) переписывается к а к

. L

(3.43)

Функции ср и б пока связаны лишь одним

соотношением

(3.21). Второе

соотношение

вытекает

из требования

автомодель

ное™

решения,

д л я чего

в (3.43) д о л ж н о быть ( о ф ) ' = const (эту

постоянную

можно

выбрать

равной единице) . Т а к и м

о б р а з о м ,

д л я

определения

ф(лг), 8(х)

имеем систему уравнений

/ Ф 2

2Nf(oo)

а—

ф ;

(3.44)

( 6 Ф ) ' = 1 ,

которая после исключения ф переходит в уравнение

д л я опреде

ления

6(х):

х8'

2Nf(oo)

T - T

- W

( 3 ' 4 5 )

О б щ и м решением

(3.45)

является

Dx^

6 = т

A t t „ \

™ •

(3-46)

уравнении

(3.43)

N6 2

является

произвольной

функцией х,

поэтому подобное

решение,

если оно существует,

либо

д о л ж н о

о б р а щ а т ь

нуль

обе части

равенства

(3.43), либо

д л я автомо

дельное™

следует считать N5 2 = const.

Впервом случае имеем

Г+ 4 - Ш " + П = 0 ;

З а	З	а
и условия	(3.42).
Ясно, что в общем		случае одна функция не може т удовлетво-

рить двум д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м уравнениям, однако в данной конкретной з а д а ч е это можно сделать, если

/ = f ( o	o ) t h ^ ,							(3.47).
а коэффициенты		/ ( о о ) и а	связаны		соотношением			2
а коэффициенты		/ ( о о ) и а	связаны		соотношением		а = - » - / 3 ( о о ) .
								У
Л е г к о	проверить,	что функция		(3.47)	обеспечивает		эту	необхо-1
димую	связь. Н е ограничивая			общности,		м о ж н о положить а = 1,
	з .
т. е. / ( о о ) ="\|/4,5.
Решение задачи примет			законченный			характер,	если	у д а с т с я

определить единственную постоянную D в (3.46) через заданную' характеристику струи. Выбор конкретной характеристики зави

сит	от вида магнитного поля к а к функции х. Если магнитное
поле	однородно, т. е. 5 ( x ) = c o n s t ( N ( x ) =const) , в качестве та

кой характеристики будет фигурировать импульс в начальном

сечении струи			(х=0):
l i m p J		u2dy = J0,
x-*-Q
ИЛИ		фО
о		фО	г
l i m pv 2	a — = У 0 .
х-+0		о

Учитывая второе соотношение (3.44), которое м о ж н о записать и

как	ф=-^г , а т а к ж е				(3.46), которое	д л я N(x)	= const	дает
6 °	/	Н	Х	"	W			&	М }
	у	1 -	LL-L ND2x'i= J
получаем			А	3	•
получаем			D=		•
	Таким		образом,		окончательно	решение	д л я функции		тока
имеет вид
^ t e ^ t h				( k \| ) ,				( 3 , 9 >
где б определяется					выражением (3.48).
	И з	формулы (3.48) следует, что д л я к а ж д о г о						из заданных

значений магнитного поля и начального импульса существует точка на оси струи, при приближении к которой толщина струи

неограниченно возрастает, а течение в струе вдоль оси х пол ностью прекращается . Эта точка определяется из условия

• - N ( ^ ) " v - O .

Р а с х о д в поперечных сечениях струи

Q - p / « * - a				( « i ^ n . - N ( ^ ) V
— со
с ростом	х	возрастает			от	нуля до	максимального	значения в
			/	V	\'/ (
точке А'= (3N) ~3''* I , _ ,					-	и затем	вновь убывает	до	нуля.
			\4,5v 4 p 2 /
Если	проследить			за	поведением		поперечной составляющей
	~о= —		dip
скорости			то окажется, что волизи сечения					торможения
струя разделяется на две струи, повернутые на								90°	относи
тельно первоначального направления . Течение здесь								напоминает
струйное обтекание поперечно поставленной твердой									стенки.
Такое поведение струи в однородном магнитном поле объяс
няется тем, что в р а м к а х					теории пограничного слоя на начальном
участке порядок величины вязкігх сил больше порядка									электро
магнитных,		поэтому		струя		пока еще обладает э ж е к т п р у ю щ и м и
-свойствами. З а т е м порядки этих сил выравниваются,									э ж е к ц и я
прекращается и при дальнейшем удалении от щели								преобладаю
щ у ю роль начинают				играть электромагнитные силы				торможения .

В этом можно убедиться из непосредственного рассмотрения

уравнений (3.15), (3.16) и (3.48). Дополнительным								подтвержде
нием могут служить результаты работ [18,						19], в которых			качест
венно то ж е		явление — размыв струи на				конечном		расстоянии
от источника — было получено в полном						пренебрежении вяз
кими силами .
•	Следует отметить		т а к ж е ,		что з а д а ч а	об истечении			струи	в
пространство с однородным магнитным полем							исследовалась			и
иными методами . Так,			Пескин		[20] предложил		искать		решение
д л я функции тока в виде ряда
ip =	2v'/=co:'/3 ^	(тхЦррр(г\)		,					(3.50)
	р
где
•)=-^ryv-'lax--b;		т =		ЗаВ02/ра2
	О

\| в наших	обозначениях а= ~(4,5)4>J0lbp-4iV-4t\|	,. и д л я последо
вательных приближений получил систему уравнений
F% + F0F"0+	- ^ ' " о = 0 ;

2 P 0 F . + J F o / r , / i + / 7 i / : v / o - 3 F / o + у F " , - 4 P 0 P , + 4 F V i = 0 и т. д .

(аналогичная	система приведена т а к ж е в [20]).
Решение	д л я	нулевого приближения совпадает	с решением
д л я непроводящей		струи, решение д л я следующего	приближения

Пескин находил численно. Впоследствии Смит и Кембел [22];

нашли

решение д л я F{

в аналитическом виде:

Fi = - - j t h r ] ~

S c h 2 y ] '

а Соковишин — д л я функций F b

F2, F3,

F 4 [23].

Нетрудно,

однако,

показать

(это

было

проделано

в р а б о т е

[24]), что решения

ка к д л я

т а к

д л я всех

последующих

легко получаются из более общего

решения (3.49). Действи

тельно,

решение

(3.48),

(3.49)

в обозначениях

(3.50)

предста

вимо в виде

ф = 2av%'/3 ( 1 - -j

mxV* ) * th [ TJ ( 1 -

тхЪ

) А ] .

(3.51 >

Р а з л а г а я это

решение

р я д

по

тх'1',

получаем

в нулевом

при

ближении

( т х < / з = 0 )

\p = ^ / 2 a v ' % V 3 = th ц ,

в первом приближении —•

. з

д{тхЦ

тх

Чз

— —

(th ї) + г| sch2 ті)

и т. д .

Таким

образом,

р я д

(3.50)

сходится

(3.51)

при

всех:

тхА1*<—^-.

Вильсон

[25] пришел

к качественно

тем ж е результатам,

чис

ленно

решая

уравнение

частных

производных д л я

функции

тока, причем

в качестве входного профиля использовал

профиль

Пескина в одном из поперечных

сечений струй.

(3.43) N62

Выше мы рассмотрели случай, когда в уравнении

являетс я

функцией

координаты

х. Если N 6 2 = y = c o n s t ,

то

урав

нение

(3.43)

переходит в

и мы приходим к задаче, некоторые аспекты которой

у ж е

были

рассмотрены

в § 2 настоящей

главы .

Считая Р = ] '

функцией от

f и вводя

новую

функцию

Ф =

т а к ж е

полагая

а—

2/2 (оо)

= / ) + - g - / 2 — Q - / 2 ( O O ) ,

— ^ — - , получаем

вместо

(3.52)

[ ф - 1-Г-+ у / 2 ( с с ) ] ф " + [ ф ' - 1 / - | - / ( о о ) у ] Ф ' +

+ і - / ( с » ) у ф = 0

•с условиями

Ф(0) = Ф ' ( 0 )

=0.

Это однородная з а д а ч а

Коши, ко

т о р а я

имеет

единственное

решение Ф = 0,

откуда

/ ' =

g / 2 ( ° ° ) —

^-f2 и

/ = / ( о о )

th И^ІЛШ

Таким образом, решение

и в

этом

случае имеет вид (3.47) [4].

И з

(3.45)

дл я этого случая

следует

,5 = £x^(i-W(»));

в = В0х-а«і-и>/<°°» ,

что опять приводит к соотношениям

(3.17)

и (3.19).

Пр и

этом

•оказывается,

что д л я у > 0

импульс в

начальном

сечении беско

нечен,

поэтому

необходимо

з а д а в а т ь

иную

характеристику

струи.

работе

[4] в

качестве

такой

характеристики

был

пред

ло ж е н инвариант

в[12] — величина

/ u4y={b-\)D,		(3.53)
— оо
где
-6=	,

п — т

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ