Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

имеются) или с характеристиками, полученными из. точного ана литического или численного решения, либо, когда последних не существует, из решений для некоторых предельных случаев; вовторых, использование различных, но физически разумных рас

пределений скоростей		д о л ж н о приводить	к качественно подоб
ным	результатам .
В	качестве примера	будут рассмотрены	плоская затопленная

струя и струя у плоской непроницаемой поверхности в безындук ционном приближении . Д л я этих двух случаев течения имеются точные решения (см. главу I I I ) , что позволяет провести срав нение с ними результатов, получаемых при приближенном за дании профилей скорости.

К а к и при расчете немагнитного пограничного слоя, расчет МГД - пограничного слоя можно вести, пользуясь либо представ лением о конечной толщине слоя, либо представлением об асим


птотическом х а р а к т е р е		слоя.	В последнем случае появляется
возможность выбирать в качестве профиля скорости				профиль,
известный	из решения	соответствующей немагнитной		задачи,
что, в свою очередь, позволяет			удовлетворительно описать (при
некоторых	ограничениях)	и локальное распределение		скоростей

в слое. Эта возможность, однако, ограничена теми случаями, когда точное аналитическое решение немагнитной задачи из вестно, что само по себе случается весьма редко.

§ 1. М Е Т О Д К О Н Е Ч Н О Й Т О Л Щ И Н Ы

1.1. ПЛОСКАЯ З А Т О П Л Е Н Н А Я СТРУЯ

Представим профиль скорости в плоской затопленной струе

(см. рис. 3.2) в виде конечного ряда по степеням ц = ~ , где

8(х) — условная толщина пограничного слоя (ширина струи):

(4.3)

а величину ит(х) определим ка к максимальную скорость на оси струи. Та к к а к профиль скорости д о л ж е н быть симметричным, в ряде (4.3) следует ограничиться четными степенями т|. Коэф фициенты р я д а найдем, подчинив функцию f ( 4 ) условиям

/ = 1 при г| = 0; f = 0 , ——=0 при г | = ± 1 .

(4.4')

К р о ме этих очевидных условий можно т а к ж е привлечь допол нительные условия, следующие из уравнения движения (3.1):

d2f =

при

т) =

± 1 ;

d2f

при

т| = 0.

(4.4")

dyf

ац"dr\2

Первое

из этих

условий означает

плавность

сопряжения

второго

порядка

профиля

скорости на внешней

границе

слоя

течением

и = 0,

второе учитывает влияние электромагнитных сил на про

филь

скорости.

у,

П р и

желании,

дифференцируя

(3.1)

по

можно

получить

значения более высоких производных на

внешней

границе

слоя

(г) =

и на оси

струи (г) =

0).

С введением п а р а м е т р а % функцию

/ ( л )

можно

разделить

на

две составляющие (табл. 4.1):

f(n)=F(rl)+XG(r]).

(4.5)

Первое

в ы р а ж е н и е

д л я

F.(rj)

G(r|)

табл .

4.1

получено

Т а б л и ц а

4.1

использованием

первых

двух

№

условий

(4.4),

второе

—

трех

О(П)

условий

(4.4)

т. д.

про

Так

к а к в

задачу

входят

филя

1 - л 2

две

п о д л е ж а щ и е

определению

функции

и,п(х)

б ( х ) ,

то

д л я

(I - л 2

) 2

их

нахождения

необходимо,

(1 - и 2

) 3

к а к

у ж е

упоминалось,

при

(1 - Л 2 ) 2 ( 1 + 2 ^ )

Т " ( 1 - П 2 ) 2

влечь

два

уравнения .

Одним

(1 - г| 2 ) 3 (1+3г) 2 )

I I 2

из них будет служить уравне

2 ( 1 - і ] 2

) 3

ние импульсов (3.4),

каче

стве второго выберем уравне

ние

энергии

(3.11).

Эти

уравнения не являются единственными, которые могут использо ваться в приближенном методе. Таких уравнений можно соста

вить	бесчисленное	множество,			в чем легко убедиться, у м н о ж и в
обе	части равенства		(3.1)	на ип,	где п — произвольное число, и
проинтегрировав		его	по	поперечному сечению струйного слоя.
Остановимся, однако, на				(3.4) и	(3.11), в которых, согласно пред

ставлению о конечной толщине слоя, заменим бесконечные пре

делы	интегрирования конечными	± 6 .
П	о д с т а в л я я в уравнения (3.4)	и (3.11) распределение (4.3) и

принимая во внимание (4.5), получаем следующую систему оп

ределяющих уравнений:
-Г [«m2	6 (а, + Ьік+с№) ] = -	^— ит8 (cii + m , I ) ;
ах		р

^^{um4{a2			+ b2X+c2X2+d2}?)}=				-	v^f	(т2	+	п2Х+12Х2)-
£ Сіл									О
											(4.6)
			оВ2
где
	1				1			1		1
а , =	jF2dr\,		6, = 2 JFGdr\,			с{=	J	G2dr\,		d , = j	Fdr\,
	- і			- і		•	—і			- і
		ї	ї					і			і
m{=	J	Gdy\,	a2=	J	F4T\,	b2 = 3 J		F2Gdr\,		c 2 = 3	JFG2dr\,
	- і			- і			- і				- і
	i		l		l						і
d 2 =	j	G4T\,	m2=	j	F'2dr\,	n2=	j	F'G'dr\,		/2 =	/ G'4r\
	- і			- і			- і				- і

и, по определению,

( 4 J )

vpv

Пр и использовании полиномов не выше шестой степени, обо значенных в табл . 4.1 номерами 1, 2, 3, значения /"(0 ) и тем са

мым К будут			определены. Следовательно, д л я н а х о ж д е н и я								функ
ций ит		и б можно ограничиться					соотношением (4.7) и, например,
первым из уравнений					(4.6). Если привлекать			и второе		уравнение
(4.6),		то, естественно,			система будет переопределена.					Необходи
мость		во втором		уравнении (4.6) возникает				л и ш ь при использо
вании		полиномов выше				шестой	степени. П р и этом,		однако, су
щественно повышается трудоемкость расчета, в									первую		оче
редь из-за увеличения						порядка	нелинейной	системы		уравнений .
В		случае	профилей			1, 2, 3	из табл . 4.1	систему		уравнений
	2* = —		oB2	d,	;
d
dx			P	ai
											(4.8)
dum			oB2
dx		"б2 "		P

путем несложных преобразований удается свести к уравнению второго порядка относительно функции Г = б2 :

решение которого имеет вид
	- С * .	(4.9,
	8-Згіі/а,
[ ^ ( > - > - Ч	S-4rf,/a,
где С — постоянная интегрирования.
Следствия, вытекающие	из решения (4.9),	обсуждаются в

§ 2. Здесь мы остановимся лишь на следующем . Если при 6->-со

интеграл

(4.9)

сходится, то это означает, что

6 = оо

достигается

при

конечном

х. Н а й д е м

поэтому

условие

сходн

о е 2

мости интеграла

при

6—>~оо. Учитывая, что

> 0 ,

Х < 0

(про

филь скорости в струе д о л ж е н быть выпуклым,

т. е. f " ( 0 ) < 0 ) ,

полагая

2 — — > 0

(это

предположение

будет

оправдано

после-

дующим

результатом) ,

получаем для а > 0

оценку [9]:

8-3d,/a,

[

R 2

И. \

18-4d,/a,

^ - ( 2

- ^ ) s

! - 4

8-3rf,/a,

8-4di/a,

откуда

следует,

что

интеграл сходится

при

у с л о в и и —

< 2 . Это

условие

выполняется

д л я

широкого класса

профилей

скорости.

В частности, д л я

профиля

Для

профиля

1 из табл . 4 . 1 — - = — г ,

fli

-ТІ = 448/353 и т. д.

Т а к им	образом, при сравнительно общем предположении о
х а р а к т е р е	приближенного з а д а н и я профиля скорости	основным
результатом решения является полный р а з м ы в струи		на конеч
ном расстоянии от источника.

1.2.СТРУЯ У ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Пр и расчете плоской струи, распространяющейся вдоль плос кой поверхности, коэффициенты р я д а (4.3) найдем, подчинив

функцию

-^j = / ( г | )

следующим условиям:

и = 0

при у=0;

и = 0

при у=8;

ди

при у = 8;

= 0

(4.10')

д2и

= 0

при

у = б ;

•

д2и

= 0

при у =

ду2

Последнее

условие

получено

непосредственно

из

уравнения

д в и ж е н и я

(3.1) с использованием

условия

непроницаемости

по

верхности

V = 0 . К а к видно из (4.10'), электромагнитный член

не

входит

в граничные

условия вплоть до вторых производных ско

рости по поперечной

координате.

Влияние электромагнитных сил на профиль скорости учиты

вается

при использовании

производных более высокого порядка .

Е р м о л а е в а и Соковишин

[10] ввели та к называемое

условие сов

местности:

д*и

аВ2 ди

•

4.10"

- г — =

—

при 0 = 0,

ду3

ду

получающееся

путем дифференцирования

(3.1) по у

и использо

вания

(4.10'), связывающее третью и первую производные на

стенке.

Условие совместности

приводит к

появлению

параметра

аВ2

„

б 2 .

(4.11)

П о м и м о (4.10)

можно

з а д а т ь

еще

дЧі

при у=6,

— = 0

(4.10'")

10 — 2274


а т а к ж е значения	производных			порядка выше третьего		на внеш
ней и внутренней	границах слоя.
Последовательно		привлекая		все новые и новые	условия и з
серии (4.10), получим д л я F(r\| ) и С7(г\|) из /(т)) =F(r\)						+XG(r\)
в ы р а ж е н и я , приведенные			в табл . 4.2. П р и построении			f(n,) один
из коэффициентов		ряда	(4.3) Л,-, вообще говоря,		я в л я ю щ и й с я

функцией х, остается произвольным. Ег о можно ввести в функ цию U (х).

Т а б л и ц а 4.2

	№	Fin)
	про	Fin)
	филя
	1'	11(1- - ч
	2	11(1- - ч
	2	• ї ї ) 2
	3	т\| f i • ї ї ) 3

4ll f i 11 ) 2 (1 +2г| )

5ll ( 1 - i l ) 3 ( H - 3 i i )

6	4 ( 1 - - i l ) 2 X
	X (l+211 + Зті 2 )
7	• 1 ( 1 - т і ) 4 ( 1 + 4 п )
8	11(1- - i l ) 3 X
	X ( 1 + З Ї ] + 6.І2 )

движения (3.1) в точке


		К а к		видно		из	приведен
		ной таблицы, влияние элек
		тромагнитных				сил учитыва
		ется	лишь		при использова
	с (и)	нии	полиномов			не ниже ш е
		стой	степени.			Ка к и в			пре
0		дыдущей задаче,					эт о приво
		дит	к	увеличению				объема
0
		вычислительной работы.
0
0		Д л я		определения					двух
0		характеристик				течения			U(x)
П 3 ( 1 - і і ) 2		и Ь(х)		привлечем			уравнение

0		импульсов			(3.7)		и	уравне
1	1 ^ ( 1 - г , ) 3	ние	(3.9). Д ж а у г а ш т и н						[11]
		вместо		уравнения				(3.7) ис
		пользовал			ви д		уравнения
максимального значения					скорости				у—ут-

Однако		в х о д я щ а я в эт о уравнение				величина				пр и при -
ближенном з а д а н и и профиля м о ж е т привести									°У	v=ym	неточ
ближенном з а д а н и и профиля м о ж е т привести									к большим		неточ
ностям		[10]. Так , при применении полинома						третьей степени чис
ленный		коэффициент		в в ы р а ж е н и и			н а п р я ж е н и я			трения	(3.57)
становится равным 0,556 (вместо точного значения 0,221).
	Подставив		(4.3)	в (3.7) и	(3.9),		получим		систему нелиней
ных уравнений:
d	U4a{X)~-		U	аВ2
dx	U4a{X)~-		-V—8	Ubb(X)		;
d			оВ2								(4.12)
d	U42c(l)		оВ2	U282ab2(X)	,
dx	U42c(l)		2 Р	U282ab2(X)	,
в	которой
	1			I		1			11
а=	J	P(r\)di\,	Ь = J	f(n)dn,	с=	j	( f2(y\)	J	fd4)	dr\,
	0		0			0		0

a X з а д а н о соотношением (4.11).

П р и	использовании				полиномов,	д л я которых- G(т))			= 0,	ре
шение	системы		(4.12)		можно найти	в	квадратурах, в		частности
	/	Чс/—	1	\	12(За-1)
/		+ - VР ~ A ' )			dX=Cx,
b " ,	A ( 1								(4.13)
г д е а = ^ , р = - ^ .
Сходимость этого интеграла при Л->-оо обеспечивается										при
условии	^	> \| .
§ 2. А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й М Е Т О Д
Представление				о конечной толщине			пограничного слоя не яв
л я е т с я	принципиальной особенностью						приближенных		методов.
К качественно тем				ж е	результата м приводит			и представление		об
асимптотическом			х а р а к т е р е слоя. П р и				выборе	профиля	скорости,

асимптотически убывающег о к нулю на бесконечности и имею

щего	один	максимум	в сечении	#=const ,	неизбежен	произвол .
Н а л и ч и е в определенных случаях				в н е м а г н и т н о й		гидродина
мике	точных	решений	уравнений	П р а н д т л я	струйного	погранич

ного слоя наводит на мысль выбрать из семейства профилей именно тот, который следует из точного решения, и затем ис


пользовать его д л я			приближенного			описания струи		в	м а г н и т
н о й	гидродинамике .
Конечно, такой профиль автоматически удовлетворяет соот
ветствующим граничным условиям						(за исключением тех из них,
которые		вытекают	из	уравнений	движения, например				(4.10")),
а з а д а ч а		сводится	к	выяснению,	в	какое	сечение x = c o n s t сле
д у е т	переместить профиль скорости					и как	изменить	м а к с и м а л ь

ное её значение при наложении магнитного поля, чтобы безраз мерный профиль остался тем ж е , что и в отсутствие поля.

2.1. ПЛОСКА Я З А Т О П Л Е Н Н А Я СТРУЯ
З а д а д и м с я точным профилем скорости, известным	из реше
ния з а д а ч и о непроводящей струе:
U = Umf(y\)=Um^^—.	(4.14)
сп Зг\|
ю-

П о д с т а в л я я

(4.14)

в уравнения

(3.1) и

(3.7), придем к

системе

(4.8), в которой следует положить

—-=~7г>

Я = —18. Вычислив

интеграл в

(4.9), имеем решение

72\'СУ/з

б2 = . ,

r M

•

(4.15)

1 - C N r ' 1

ст52

в котором

С — постоянная

интегрирования,

a N =

. Постоян

ную

интегрирования

определим

из

условия, что в предельном

случае при N - й З

б2 +

(10,91)2

( - ^ - 2

V V / =

Это

дает

С =

1,655

где J0 — импульс струи, заданный в начале координат

х=0 и

полученный

при предельном

переходе при N-»-0 из (3.7). Соответ

ственно д л я ит

имеем

Hh l =0,454 ( и у > - ™ * \

( 4 , 6 >

Теперь

можно

определить остальные

характеристики

струи.

Р а с х о д

в ы р а ж а е т с я формулой

Q = p /

udy = 3,302 ( — ) ' / з

( l - C N x V 3 ) ' / 2

)

(4.17)

—со

а импульс

оо

/ = р J

u*dy = J0(l-CW>yb.

(4.18)

Естественно, результаты

(4.15) — (4.18) полностью совпадают

с точным

решением,

приведенным

в § 3 главы

I I I . Н е

будем

поэтому

более

подробно останавливаться

на этом

решении.

2.2. СТРУЯ У ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 1121

Д л я

решения задачи, сформулированной

в § 1 главы

I I I , вве

дем функцию тока из уравнения

неразрывности

(3.2)

опреде

лим ее следующим

образом:

и=—^',

и = - — І ,

ср = г|)т Дг,),

(4.19)

оу

ох

где, ка к

прежде, r

"^"> а

б (л;)

имеет смысл поперечной ши

рины струи. С введением функции тока по (4.19)

уравнения (3.7)

(3.9)

перепишутся

к а к

оо

/ ^ • ^ ( ^ )

= - v ^ r ( 0 ) - N ^ / № ;

(4.20)

со

Д л я

определения

интегралов,

входящих

в уравнение

(4.20) f

зададимся

функцией

/(т)),

определяемой

решением

А к а т н о в а

[13] д л я непроводящей

струи:

/ ' = - ! - ( w = - f 2 ) ,

и, соответственно,

ar\=

^ 3/а^|/а

^2 .

Если при этом воспользоваться еще

значениями

функции

тока на

бесконечности

/\>о = 2,515

и второй производной в нуле

/"(0) =0,221, то после вычисления интегралов система

(4.20)

пе

рейдет в

( - ^ У = - 0 ^ - ^ - 2 , 8 6 г ^ т

;

(4.21>

{ ^ y

= - 3 , 1 8 N ^ .

целях

упрощения

выражений

(4.21) перейдем

к функции

Г =

= i p m 6 . Тогда из

7-6'=2,22N 63 + 0,756v6;

r = l ,9N6 2 + l ,008v

м о ж н о

получить уравнение второго порядка

д л я

Т,

не

содержа

щее явно параметр а N :

7 7 " = 2 , 3 3 5 ( Г - 1 , 0 0 8 У ) ( F - 0 , 3 5 8 v ) .

(4.23)

Уравнение

(4.23)

имеет первый

интеграл

( Г -

l , 0 0 8 v ) 1

д а ( Г -

0 , 3 5 8 v ) - ° ' 3

5 8 = С П ™ .

(4.24)

Воспользовавшись

в ы р а ж е н и я м и д л я

Т'

из

(4.22),"

запи

шем

(4.24)

к а к

( N a 2 + 0 , 3 4 1 v ) ' ^

интегрирование которого приводит

к искомой

связи

м е ж д у

6 и х:

S " " №

' х .

(4.25,

(N6 2 + 0,34b) 1 - 2 3 6

NVi

Здесь

мы

воспользовались

условием

6(0) = 0 .

Оставшуюся

постоянную

С?! определим,

исходя

из соображения,

что при N->-0

в ы р а ж е н и е

(4.25) д о л ж н о

перейти

в известное

гидродинамичес

кое

в ы р а ж е н и е [13]

6V,=

- L - x .

(4.26)

Это

дает

С\ =N~h

—г-т-й-

(0,341 v ) - 1 - 2 3

6 .

Величина

L 0 , сохра-

4 Ь,0'3

н я ю щ а я с я

постоянной

(в

гидродинамическом

случае)

во

всех

поперечных

слою сечениях,

играет роль

заданной

начальном

сечении

(х — 0) характеристики

струи, если

последняя

развива

ется в однородном поперечном магнитном поле.

Д л я

удобства вычисления

интеграла

уравнении

(4.25)

пе-

рейдем

к переменной t 2 =

N 6 2

Тогда

будем

иметь

-п-гггт~

•

U,o41v

РШ

I N 2 v

\' / з

1Л

=1,54

1 — )

х=х.

(4.27)

(p+l)

1.236

Вид функции t в зависимости от комплекса х

показан

на рис. 4.1.

И з

(4.24)

нетрудно получить в ы р а ж е н и е

д л я

максимальной

•скорости

ит

в сечении

струи:

. „

= (

^ y "

± i f

( f

)

(4.28)

V 0,341v

где F(t)

— подынтегральная

функция в

(4.27).

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ