книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле
.pdfп а р а м е т р а 5, в которых эта зависимость сохраняется. С этой целью была предпринята попытка численного интегрирования на
Э В М |
уравнения |
(2.84), в котором |
п р а в а я |
часть определялась |
ре |
|||||||||||||||
шением |
(2.115). Результаты |
этого |
расчета при сс = 0, Re = 0 |
при |
||||||||||||||||
ведены на рис. 2.22, причем за интенсивность |
течения |
принима |
||||||||||||||||||
лось |
значение осевой |
скорости |
на |
оси г = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
т. е. |
функция |
г) (гц|/—я|з). |
|
Ка к |
видно |
из |
|
|
|
|
|
|
||||||||
рисунка, |
пропорциональная |
зависимость |
|
"""" |
|
|
|
|||||||||||||
между |
интенсивностью |
и |
|
параметром |
S |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
имеет |
место |
примерно |
до 5 ~ 1 0 . С |
увеличе |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
нием S интенсивность течения резко воз |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
растает, |
более |
того, |
при |
5 ^ 1 5 0 |
|
решение |
|
|
|
|
|
|
||||||||
становится |
неограниченным |
|
(этот |
ж е |
ре |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
з у л ь т а т |
получен |
и в работе [31]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В реальных условиях параметр S может |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
достигать значений порядка 106, |
|
та к |
что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
расчет реальных устройств по методике, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
описанной |
выше, |
оказывается |
непригод |
Рис. |
2.22. |
Расчет ин |
||||||||||||||
ным. По-видимому, при больших |
|
S |
наве |
|||||||||||||||||
|
тенсивности |
течения |
||||||||||||||||||
денное движением магнитное поле стано |
без |
учета |
влияния ин |
|||||||||||||||||
вится |
столь |
существенным, |
что |
пренебре |
дуцированных |
токов. |
||||||||||||||
гать |
им |
в |
уравнении |
|
(2.84) |
у ж е |
нельзя. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Действительно, пусть в первом приближе |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нии i}>»S. Тогда, согласно |
(2.89), L i т а к ж е можно |
принять |
про |
|||||||||||||||||
порциональным |
S. |
В свою |
очередь, |
в |
правой |
части |
(2.84) |
член, |
||||||||||||
с о д е р ж а щ и й |
L]L0, |
возрастает, |
ка к 5 2 р , т. е. у ж е квадратично по S. |
|||||||||||||||||
Т а к и м образом, |
д а ж е |
при |
очень м а л ы х |
р, но |
при |
таких |
S, |
что |
||||||||||||
« S p ~ l , влияние |
индуцируемых |
токов |
становится |
по |
порядку |
ве |
||||||||||||||
личины равным влиянию пропускаемого тока. Влияние |
ж е |
инду |
||||||||||||||||||
цируемых токов, ка к будет |
|
показано |
ниже, сводится |
к подтор- |
||||||||||||||||
м а ж и в а н и ю |
течения, |
поэтому |
м о ж е т |
оказаться, |
что-ограничен |
|||||||||||||||
ное решение существует, если решать совместно уравнения |
(2.84) |
|||||||||||||||||||
и (2.89). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Влияние индуцированных токов определим на частном при |
||||||||||||||||||||
мере /4 = 0, В=\. |
В этом |
случае магнитное поле создается |
током, |
проходящим по оси симметрии, и индуцированные токи стано
вятся определяющими . |
|
В = \, из (2.118) |
|
|
Действительно, |
полагая |
/ 4 = 0 , |
(для прос |
|
тоты выберем <х = 0) |
имеем |
в ы р а ж е н и е |
|
|
Re2 |
|
|
Arsh г) |
|
^ = Ф о = — т г - [ ( 1 - 2 І П 2 ) |
Ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
~~2~ |
У і + г , 2 |
l/1+rv2 |
|
|
+ 2У1 + ті2 |
Arsh-п—-л In ( 1 + т у 2 ) ] |
(2.120) |
6 — 2274
в |
которое |
не |
входят |
члены, |
пропорциональные 5, что |
связано |
|||||||||||||||
с |
потенциальным |
характером |
магнитной |
силы. Вихревая |
часть |
||||||||||||||||
электромагнитной |
силы |
в |
|
этом |
случае |
учитывается |
членом L \ |
||||||||||||||
в |
разложении |
L — L0+^Ll+... |
|
|
|
, |
она |
может |
быть |
определена |
|||||||||||
после |
решения |
уравнения |
|
(2.89), |
в котором |
нужно |
п о л о ж и т ь |
||||||||||||||
То = 0, |
L Q = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким образом, определяющей системой уравнений при ма |
||||||||||||||||||||
лых р будут служить уравнение |
(2.84), в котором член, |
пропор |
|||||||||||||||||||
циональный |
5, |
следует |
исключить, |
и |
(2.89). |
Решение |
системы |
||||||||||||||
(2.84), (2.89) представим в |
|
виде |
р я д а |
по |
степеням малого |
пара |
|||||||||||||||
метра |
Н а 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ф ^ ф о + Н а ^ ^ |
|
|
£ [ = ! , < , + H a 2 L u . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Нетрудно убедиться, что решением д л я |
г|)0 |
является |
в ы р а ж е н и е |
||||||||||||||||||
(2.120), а д л я определения |
x\i{ |
и |
£ ю с л у ж а т |
уравнения |
|
|
|||||||||||||||
(1 + ц2)ЧЛ |
+ гіфі = |
2г,У 1 + |
г,2 |
/ |
- |
^ |
= r |
L j o d t j - 2 ( 1 + 2г|2 ) |
/ T ) L , 0 A I ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
Я + П 2 |
|
|
|
|
о |
(2.121) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( l + T) 2 )L"„>+3r,L' 1 ( ) = |
- 2 ^ о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.(2.122) |
|||||||||
с условиями |
г|)і (0) |
и |
(2.116). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решением |
(2.122) |
является |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1—2 |
In 2) |
|
( 4 2 |
+ |
l n ( l + i i 2 |
) ) |
+ ( l + 2 M 2 ) A r s h T 1 |
+ |
|||||||
|
|
Re2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Arshr| |
In |
( l + i i 2 ) |
|
|
|
|
|
|
(iW) |
|
|
Г| + Г| ІП (1 |
+Г|2 ) |
||
|
( l + ч2 ) 3/2 |
J |
У І + г , 2 |
|
|
|
|
|
dv\ + |
|
|
|
|
1 + T 1 2 |
|
|
|||
|
CAr\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У і + т і 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где C4 находится из условия |
L i 0 ( ° o ) |
= 0 . |
|
|
|
|
|||
Численные значения |
функции |
Ью |
отыскивались |
графическим |
|||||
интегрированием, в связи с чем |
вместо |
бесконечного |
верхнего |
||||||
предела принималось |
значение |
т) = 4,3. |
В |
таком |
случае С 4 = |
||||
= 0,061026. |
Численные |
значения |
Ью использовались затем д л я |
||||||
вычисления |
правой части |
(2.121), |
после |
чего это |
уравнение |
р е ш а л о с ь численно методом Рунге — Кутта . Результаты решения
приведены на рис. 2.23, та м ж е показана функция -=-4 . Кє
К а к и .следовало ожидать, эффект МГД - взаимодействия сво дится к торможению вторичного течения, возбуждаемого вихре вой нитью.
Рис. 2.23. Характеристики |
Рис. 2.24. |
Схема диффузора, обра- |
||
течения, |
возникающего |
под |
зованного |
плоскими стенками, |
влиянием |
магнитного |
поля |
|
|
индуцированных токов. |
|
|
|
2.3.6. |
Течение с линейным источником в круговом конусе. З а |
||||
д а ч а , к |
рассмотрению |
которой мы здесь приступаем, |
в ы б р а н а |
||
потому, что она непосредственно связана |
с изучением |
про |
|||
странственного течения в диффузоре, схема |
которого |
приведена |
|||
на рис. 2.24, а. Л ю б о й |
реальный диффузор, |
образованный |
плос |
кими стенками, м о ж н о представить себе состоящим из двух рас ходящихся стенок, на линии пересечения которых расположен линейный источник радиальной скорости, и из двух других сте
нок, в общем случае |
расположенных под некоторым углом |
друг |
|||||||
к другу. |
В частности, |
если дв е |
последние |
стенки о б р а з у ю т |
схо |
||||
д я щ у ю с я |
трубу, то мы имеем |
дело с ситуацией, часто встречаю |
|||||||
щейся |
при конструировании |
переходных |
участков |
рабочих |
ка |
||||
н а л о в МГД - насосов [32, 33]: течение в них расходится |
в одной |
||||||||
плоскости и сходится в другой. |
|
|
|
|
|
||||
Некоторые аспекты анализа |
плоского |
течения |
(при |
наличии |
|||||
л и ш ь двух расходящихся стенок |
(см. рис. 2.24,6)) |
— проблема |
|||||||
Г а м е л я |
— были рассмотрены |
в п. 2.2. Здесь мы поставим проти |
воположную задачу: попытаемся выяснить роль стенок, ограни
чивающих течение по координате z, в отсутствие двух |
осталь |
ных. К р о м е того, будем считать, что расстояние между |
этими |
стенками достаточно велико, чтобы можно было пренебречь их взаимным влиянием, а сами стенки представляют собой поверх-
ности кругового |
конуса |
(в |
частном |
случае — |
плоскую |
поверх |
||||||||||||
ность, ортогональную линейному источнику) . |
В т а к о м |
случае |
||||||||||||||||
задача , схема которой показана |
на |
рис. 2.24, в, становится осе- |
||||||||||||||||
симметрпчной, а т а к как единственной размерной |
характеристи |
|||||||||||||||||
кой такого течения |
является |
|
расход на единицу |
длины |
источника |
|||||||||||||
и размерность ее совпадает с |
размерностью |
кинематической |
||||||||||||||||
вязкости, то течение принадлежит к исследуемому классу |
точных |
|||||||||||||||||
решений |
и |
описывается |
системой |
уравнений |
(2.70) — (2.74) [36]. |
|||||||||||||
Остановимся |
вначал е |
на |
|
гидродинамических |
аспектах |
з а д а ч и |
||||||||||||
(L = W = 0); |
кроме |
того, положим |
в (2.70) — (2.74) |
/ = 0. Тогда |
бу |
|||||||||||||
дем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + Л 2 ) И ' ' + Л ^ + ^,2= 2 6 м у і + л 2 - 2 а ( 1 + т і 2 ) + с ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.123) |
|
g = 2 i | / - 2 f t |
Ц |
|
+ 2а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Граничными |
условиями |
д л я |
(2.123) |
будут |
служить |
условия |
|||||||||||
прилипания |
на поверхности |
конуса r| = a = tg0o |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4>(a)=i|>'(a)=0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.124) |
||||
з а д а н и е |
мощности источника |
(расхода Q на |
единицу |
длины) |
— |
|||||||||||||
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
/ /-l/,.de = Q = 2nvxp/ (oo) = 2jtvRe, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ' ( o o ) = R e , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.125) |
|||
и условие |
равенства |
нулю |
|
осевой |
скорости |
Vz |
на оси |
симмет |
||||||||||
рии — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l i m |
l / 2 = l i m — ( т і ф ' - ф ) |
= l i m |
—т^тДО' - ЧО |
= 0 . |
|
|
|
|
(2.126) |
|||||||||
|
Условий |
(2.124) — (2.126) |
вполне |
достаточно |
д л я определе |
|||||||||||||
ния постоянных а, Ь, с |
и постоянной |
интегрирования |
уравнения |
|||||||||||||||
(2.123). Действительно, |
перейдем |
к |
функции |
/ = г р — Re т | и пере |
||||||||||||||
менной |
/ = — . Тогда |
уравнение |
(2.123) |
и |
условия |
(2.125) |
и |
|||||||||||
(2.126) |
запишутся |
к а к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-1* |
(1 + Р) f |
г + (1 + Re) tf+f2 |
|
= 2ЬУТ + І Ч - (с - |
2а- |
Re) |
|
t2- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Re2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 a - 2 R e - - ^ y - ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.127) |
||||||
f ( 0 ) = 0 , |
|
t-*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2-128) |
|||
|
l i m 4=0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если, теперь строить решение уравнения |
(2.127) |
в |
окрест |
|||||||||
ности точки |
/ = 0 в виде |
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то с условиями |
(2.128) |
можно |
получить Лі = 0, Л 2 |
= 0, |
|
|
||||||
|
|
Re2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 - 2 a = 2 R e + - ^ — ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 + c - 2 a - R e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2 Л 2 9 > |
||
Соотношения |
(2.129) |
д а ю т дв е |
связи |
м е ж д у постоянными а, b |
||||||||
и с. П о с л е д н я я |
связь |
получается |
от применения |
(2.124) к |
у р а в н е |
|||||||
нию (2.123): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 й а У 1 + а 2 - 2 а ( 1 + а 2 |
) + с = 0. |
|
|
|
|
|
|
(2.130). |
||||
Коэффициенты уравнения |
(2.123) |
в ы р а ж а ю т с я |
в |
таком |
слу |
|||||||
чае через п а р а м е т р ы |
Re и а следующим образом: |
|
|
|
|
|||||||
/ |
|
Re2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R e + ( 2 R e + — ) a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 6 = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— + а 2 - а У 1 + а 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.131) |
|
|
|
Re2 |
|
c = 6 - R e |
Re2 |
|
|
|
|
|
||
2a = 2 6 - 2 R e - - ^ - , |
|
|
— . |
|
|
|
|
|
||||
Остановимся |
теперь |
на некоторых |
особенностях |
сформулиро |
||||||||
ванной задачи . |
Согласно теореме К о ш и д л я обыкновенного |
диф |
ференциального уравнения первого п о р я д к а [34], голоморфность-
правой |
части |
уравнения |
(2.123) |
обеспечивает возможность по |
||||||||||||
строения единственного решения в окрестности точки |
т) = а. Д л я |
|||||||||||||||
наших |
ж е |
целей необходимо, |
чтобы решение вело себя вблизи |
|||||||||||||
особой |
точки |
11 = оо в соответствии |
с |
(2.125) |
и |
(2.126). Условия |
||||||||||
ж е (2.128) |
и, |
соответственно, |
(2.129) |
являются |
л и ш ь необходи |
|||||||||||
мыми |
д л я |
такого |
поведения, |
но |
не достаточными. |
Действи |
||||||||||
тельно, пусть |
выполняются |
соотношения |
(2.129). Тогда, пред |
|||||||||||||
ставив |
решение в окрестности |
точки |
т] = оо, |
к а к |
и |
выше, |
в в и д е |
|||||||||
ряда |
тЬ = Ат)+Л,-г- |
— + |
^ | + |
. . . |
, |
получим |
из |
|
(2.123) |
Л , = 0 |
||||||
|
|
|
|
Re—k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(если |
кф — 1), Л 2 |
= — £ — , |
а |
д л я |
определения |
k— к в а д р а т н о е |
||||||||||
|
|
|
k2 |
|
|
Re2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение: 2k+ |
= 2 R e + |
|
. |
Отсюда |
следует, |
что |
помимо |
асимптотики |
г(/(оо) = A t = Re |
может |
существовать |
асимптотика |
||
• ф Ч 0 0 ) |
=ko= |
— Re — 4. Более |
того, среди множества |
пар |
значений |
|
а и Re существует бесконечное множество таких |
пар, д л я ко |
|||||
торых |
решение в промежутке а ^ г ) < о о претерпевает |
разрыв . |
||||
П о к а ж е м это на нескольких частных |
примерах . |
|
|
Вуравнение (2.123) подставим значение постоянной с со-
гласно |
в ы р а ж е н и ю |
(2.130) |
и |
произведем |
замену |
\|) = Лг) + |
|||
+ 5ііУ1 + rf-t-f. Постоянные |
Л |
и |
В |
выберем |
таким |
образом, |
|||
чтобы |
уравнение |
(2.123) перешло |
в |
однородное уравнение, д л я |
|||||
чего эти постоянные д о л ж н ы |
подчиняться следующим |
условиям: |
|||||||
5 ( 2 + Л ) = 2 & , 4 Л + Л 2 + 5 2 = - 4 а , |
|
|
|
' |
|||||
А + — = - 2 6 а У 1 Ч - а 2 + 2 а а 2 , |
|
|
|
|
|
|
|||
а дл я определения |
f |
будет служить |
уравнение |
|
|
||||
( 1 + Л 2 ) / ' + [ ( 1 + Л ) Л - г - ЯУ1 + т 1 2 ] / + |
J- |
= 0 . |
|
(2.133) |
В таком случае решение (2.123) может быть представлено в ана литической форме:
яр = Лг| + £ У 1 - | - л 2 + ( 1 + Л2 ) |
~ |
(л + |
У 1 + л 2 ) - в х |
|
|
г і |
г |
-— |
|
|
|
х [ — J ( 1 + л 2 ) - |
2 |
( л + У 1 + л 2 ) - в ^ л - |
|
||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+А |
1 - І |
- ( Л а |
+ ВУ1 + а 2 ) - ' ( 1 + а 2 ) |
~ {а + Ц\ + а 2 |
) - в J . |
Н а л и ч и е аналитического решения позволяет проследить ос новные тенденции в поведении решения при изменении а и Re, несмотря на жесткие ограничения, н а к л а д ы в а е м ы е условиями
совместности (2.132) |
на выбор значений |
а и Re. |
|
В = |
||
Пусть а = 0. Тогда |
из (2.132) |
можно |
получить |
Л = —4, |
||
= =F2y2, R e = ± 2 y 2 , при этом положительные |
значения чисел Re |
|||||
•соответствуют з а д а ч е |
о линейном |
источнике, |
отрицательные |
— |
||
о линейном стоке. В этом случае из решения |
|
|
|
|||
•ф = - 4 Л + 2 У 2 Л У |
16 (1 + л 2 ) 3 / ' (Л + У Т + Л 2 " ) ± 2 ' 5 [ |
( т 1 |
+ |
|||
+ у Т + л 2 ) 2 ± 2 ^ 2 ± У 2 ( л + у ї + л 2 ) ± 2 v 5 + |
|
|
|
|||
+ — ( л + у Т + ? ) ± 2 Я - 2 + У 2 Г ' |
|
|
||||
+ У 2 — 1 |
|
|
J |
|
|
|
следует, что д л я знака « + » асимптотическое |
поведение |
функции |
||
определяется |
выражением гр = 2у2т| + 0 |
|-^j2j |
, а д л я знака « —» — |
|
выражением |
ij)= (2"|/2 —4)т) + 0 |—j . |
Таким |
образом, |
при а = 0 |
решение' реализует две различные асимптотики в зависимости: от знака параметра Рейнольдса, по абсолютному значению рав
ного 2У2. |
|
|
|
|
|
|
|
П о л о ж и м |
теперь |
5 = 0. |
Условия совместности дают |
в т а к о м |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
случае Л = К е |
и а 2 = — - — = - , отсюда |
R e < — 4 . Выберем |
дл я оп - |
||||
|
|
4 + Re |
|
|
|
|
|
ределенности Re= — 7 , тогда |
|
|
|
|
|||
|
[ |
(\+а2)3 |
i |
f |
2 , |
ті5 |
|
|
7 а |
2 |
I 1 |
3 |
5 |
|
-(«+4>+1)}13 5 і м - 1
Выражение, стоящее в квадратных скобках, отрицательно при: Т / 2
т| = а = — Wg- и положительно при т]->-+оо. Таким образом, в про
межутке — ~ | / ' | < т 1 < 0 0 о н |
о п о |
меньшей |
мере один |
ра з |
о б р а щ а |
||||||
ется в нуль и, следовательно, функция |
ijj претерпевает |
р а з р ы в - |
|||||||||
Этой ситуации соответствует значение ту« —0,397. |
|
|
|
|
|||||||
Анализ |
условий существования |
того |
или иного типа |
решения |
|||||||
оказывается |
достаточно |
сложным . |
С |
уверенностью |
можно ут |
||||||
в е р ж д а т ь |
лишь, что в квадранте а ^ О , Re^O на плоскости а—Re |
||||||||||
решение во всех точках ограничено и ведет себя |
в соответствии с |
||||||||||
условиями |
(2.124)—-(2.126). В |
остальной части |
плоскости |
могут |
|||||||
существовать |
все три типа |
решения. М о ж н о у к а з а т ь |
и |
некоторые |
|||||||
точки кривой, |
р а з д е л я ю щ е й область ограниченного |
решения о т |
|||||||||
области, где решение претерпевает |
разрыв: д л я Re = 10 а |
л е ж и т |
|||||||||
в промежутке |
— 0 , 7 3 < а < —0,71, д л я а = —1 значение |
п а р а м е т р а |
|||||||||
Re находится |
в промежутке 6,8<Re<7,0. |
|
|
|
|
|
Характер течения, возникающего при наличии линейного ис точника, иллюстрируется рис. 2.25—2.29, полученными в резуль тате численного расчета задачи на Э В М . Наиболее примечатель
ным здесь |
является |
немонотонность профиля радиальной ско |
|||
рости во всех р е ж и м а х течения, причем дл я |
каждого числа |
Re |
|||
существует |
такое значение а (оно совпадает с тангенсом |
угла |
|||
отрыва а 0 Т р , |
см. н и ж е ) , что при а ^ а о т р в профиле имеется |
один |
|||
экстремум, |
при а < а 0 |
Т р — Два экстремума |
(см. рис. 2.25), |
а |
к |
асимптотическому |
значению профиль |
гр' всегда |
подходит |
сверху |
|
( R e > 0 ) . Физическое объяснение последнего |
явления |
состоит, |
|||
по-видимому, в следующем: при а^О |
линии тока |
в пограничном |
|||
•слое вследствие |
тормозящего влияния стенки |
оттесняются от |
Рис. 2.25. Распределение радиальной скорости на линии r=const при различных углах a (Re=10).
нее, но, с другой стороны, существует потенциальный клин (см. рис. 2.26,6) с прямолинейными линиями тока, примыкаю щий к .источнику и не позволяющий равномерно оттеснять ли нии тока от стенки в направлении z, та к что м е ж д у потенциаль ным клином и стенкой имеется область сгущения линий тока,
которая |
и соответствует |
превышению |
скорости на д значением |
|
в потенциальном ядре. С увеличением |
угла от а = 0 |
потенциаль |
||
ный клин |
становится у ж е |
(см. рис. 2.26, в ) , тем не |
менее вели |
чина максимума скорости растет вследствие более сильного
«механического» оттеснения стенкой линий тока. |
|
|
||||
П р и а < 0 |
с ростом абсолютных |
значений |
м величина |
макси |
||
м у м а вначале |
несколько |
падает, а затем вновь увеличивается |
||||
(см. рис. 2.25). П а д е н и е |
объясняется тем, что часть линий |
тока |
||||
из области г | > 0 заходит |
в область т]<0 . Последующее увели |
|||||
чение можно |
объяснить |
влиянием |
вторичного течения, |
сбиваю |
||
щ е г о потенциальный поток, которое тем |
интенсивнее, |
чем |
||||
больше | а | . |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.26. Линии |
тока при течении в |
Рис, |
2.28. Распределение осевой ско- |
круговом конусе (Re=10), определяе- |
рости |
(Re=10): |
|
мые уравнением |
С |
а — на линии r=const; б — на линии |
|
r=-j~: |
z=const. |
Рост |
максимального значения скорости |
наблюдается и с уве |
||||
личением числа |
Re при фиксированном |
а |
(см. рис. 2.34, а ) . Об |
|||
р а щ а е т |
на себя |
внимание |
тот факт, что д а ж е при безотрывном |
|||
течении, |
как, например, |
при |
а = — 0 , 6 |
и |
R e = l (см. рис. 2.30), |
|
профиль |
радиальной скорости |
остается |
немонотонным. |
Рис. |
2.29. |
Распределение давле |
Рис. 2.30. Линии тока и радиальная |
||
ния |
при |
различных углах а |
скорость |
при Re=l |
и а =—0,6. |
(Re=10). |
|
|
|
|
|
|
Остальные характеристики |
течения |
показаны |
на рис. 2.27— |
2.29. Здесь функция т)г|/ соответствует радиальной скорости на
линии 2=const, т)і|/—тр — осевой скорости на линии |
/• = const, |
|
г)(тцр'—-ф) — осевой скорости на линии 2 = const, g{r\) |
— безраз |
|
мерному |
давлению . |
|
Более |
просто, чем в проблеме Гамеля, решается в данной за |
даче вопрос об условиях возникновения отрыва потока от по
верхности |
конуса. Д и ф ф е р е н ц и р у я |
(2.123) |
и полагая в получен |
|||||||
ном уравнении |
i p " ( a ) = 0 , |
получаем |
с учетом |
граничных условий |
||||||
(2.124) |
д л я критического |
р е ж и м а |
течения |
следующее |
соотноше |
|||||
ние м е ж д у |
а и Re: |
|
|
|
|
|
|
|
||
ex,-2 + а У 1 + а 2 = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
R e + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(2.134) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И з |
(2.134) |
следует, |
что при |
любых |
значениях |
числа Рей - |
||||
нольдса |
|
(Re>0 ) отрыв |
возможен |
лишь |
при |
отрицательных |
||||
а, причем |
при Re-voo а - >0 , та й что при |
больших |
Re течение у |