Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

учете второго	и	третьего		приближений	(/2 и / з ) , то в качестве
характеристик	течения можно выбрать				з а д а н н ы е в начале коор
динат радиальный			импульс
/ о = l i m 2прх	J	u2dy
и момент количества д в и ж е н и я
	оо
£ о = П т 2ярл:2	/		uwdy,
.т->-0
откуда следует А,=			( ^ 2 )	, А 3 - £ .

Таким образом, окончательно в первом приближении ско рости определяются в ы р а ж е н и я м и :

vc2	х	1
8	б 2	СП .
		СП .
		4
		ch2

П р и ш = 0 ( L o = 0) получаем решение д л я незакрученной радиальио - щелевой струи. Анализ решения показывает, что теория пограничного слоя предсказывает полный р а з м ы в струи в сече

нии	х=
В	заключение отметим, что з а д а ч а о закрученной радиально -

щелевой струе п р и н а д л е ж и т к классу точных решений, рассмот

ренному в главе	I I , однако при том условии, что магнитное			поле
определяется одним из в ы р а ж е н и й		(2.90),	(2.91); при однород
ном поперечном	магнитном поле	з а д а ч а	не описывается	этим
классом решений.

§ 6. СТРУИ С ПЕРЕМЕННОЙ		ПРОВОДИМОСТЬЮ
П р и в е д е н н ые выше результаты легко			поддаются	обобщению
в случае произвольно	заданного	комплекса N как функции			от х.
П р и этом, поскольку	в безындукционном		приближении проводи
мость а и магнитное	поле В входят в уравнения движения				лишь
			аВ2
в комбинации аВ2, задачу с переменным			N(x) =	можно	трак

товать и как описывающую движение жидкости с постоянной проводимостью в неоднородном магнитном поле (именно, так и трактовались задачи в предыдущих п а р а г р а ф а х ) , и как описы в а ю щ у ю движение жидкости с проводимостью, зависящей от х, в однородном магнитном поле. Конечно, возможна и трактовка комбинированного варианта, а именно с неоднородной проводи мостью в неоднородном поле.

Таким образом, мы у ж е имели примеры струй с переменной

проводимостью. В связи с проблемами

истечения в

пространство

с низкой температурой сильно нагретых струй

(так

что

они

ста

новятся

проводящими)

и, наоборот, холодных

струй

проводя

щую среду представляет интерес рассмотрение

возможности

расчета

струй

с существенно

неоднородной

(по

обеим

координа

там)

проводимостью.

Проводимость

среды

может зависеть

от

многих

факторов .

Не в д а в а я с ь

в подробности

этого вопроса, отметим

лишь,

что

если

проводимость

является

функцией

только

температуры,

то

з а д а ч а

существенно усложняется, т а к

как

уравнения

движения

и теплообмена

ди

д2и

а(Т)В2

/ 0

£ •	+ £ • -	0 ;					(3.73)
дх	ду
/	дТ	дТ \	X д*Т	I ди \ 2	vma2B2	„	/ о _ ч

оказываются существенно связанными, в отличие, например, от


случая	однородной		проводимости,	когда поле	скоростей (урав
нения	(3.72), (3.73))		определяется	независимо	от поля темпера
тур (уравнение		(3.74)). Однако д а ж е в этом случае необходимо
знание функции		а(Т).

В целях упрощения а н а л и з а примем, что проводимость струи линейно связана с продольной составляющей скорости [29, 30]:

0 = о ь " ;					(3.75)
0 = o o ( l - —		)•			(3.76)
Тогда поле скоростей в (3.72) все еще будет определяться не
зависимо от поля температур . В то ж е				время в ы р а ж е н и я	(3.75)
и (3.76)	качественно правильно характеризуют поведение про
водимости по мере развития струи.
Рассмотри м		д л я примера	истечение	плоской свободной про
водящей	струи	в непроводящую среду.		Ясно, что проводимость
д о л ж н а	иметь	максимальное	значение	на оси струи и	умень

шаться до нуля по мере удаления от нее. К р о м е того, по мере развития струи происходит перемешивание ее с о к р у ж а ю щ е й непроводящей средой, т а к что с ростом х проводимость д о л ж н а уменьшаться . И м е н н о таким образом и ведет себя продольная компонента скорости; соответственно проводимость м о ж н о опи

сать приближенным равенством (3.75). Аналогично					и в ы р а ж е
ние (3.76) м о ж н о трактовать ка к изменение проводимости						в зоне
перемешивания		непроводящей струи		с проводящей	средой.
С использованием (3.75) уравнения движения и неразрыв
ности запишутся		к а к
ди	да	д^и	ооВ2 .
и — + v — = v —			и2;
ох	ду	ду2	р			(3.77)
						(3.77)
дх	ду
Д л я	плоской	свободной затопленной струи уравнения				(3.77)
д о л ж н ы	быть решены при граничных			условиях
—— = и = 0 при		у = 0 ;
д у			-			(3.78)
и-+0	при	г / - > ± о о
и интегральном		условии	о0В?
и интегральном		условии	у N=
оо		оо

dx j u2dy=-N(x)

j u2dy,

полученном после	интегрирования (3.77) по	поперечному сече
нию струи, которое можно еще записать ка к
оо	х
7 = р f u*dy = J0exp	( - / N(jt)djc) .	(3.79)

В (3.79) J0 играет роль импульса, заданного в начальном се чении струи х = 0. Если теперь, ка к обычно, ввести, согласно уравнению неразрывности, функцию тока

гр =	v V (х) f ( — \| —		) = л>Ф (А') / ( п ) ,
		б(х)
то	(3.77) и	(3.79)	д л я N(x) = const = N перейдут	в
Г + ф Ж -		( ф ' в - ф б ' + Ы Ф б ) Г 2 = 0 ;		(3.80)
	e x p ( - N * ) ,			(3.81)

бр


а граничные условия				(3.78) — в f ( 0 ) = 0 ,	Г ( 0 ) = 0 , f ( ± o o ) = 0 .
Д л я	получения автомодельного решения в (3.80) следует по
л о ж и т ь	(а, В — const)
ф'6 = а;	ф ' б - ф б ' + И ф б - р .							(3.82)
Решение	д л я функций			ф и б легко получить из		(3.81)	и	первого
уравнения системы			(3.82):
- ( С - £ ' Г = - Т ( С - Т И " '								( 3 ' 8 3 >
где характеристика			/	определена в ы ш е	(см. (3.79)).			Подста
новка в ы р а ж е н и й			(3.83) во второе уравнение			(3.82)	приводит
к следующей связи между а и р: а = — (5.
Н е ограничивая			общности, м о ж н о положить а = ^				. Тогда з а
дача сводится к решению уравнения
совпадающего с		уравнением д л я струи с			однородной			проводи
мостью	(см. § 3)	и имеющему то ж е решение (3.47).

"5 2 3 4 J

Рис. 3.8. Характеристики свободной затопленной струи с проводимостью, заданной в виде ст=0о":

Рис. 3.9. Зависимость безразмерного расхода в струе (ст=сГо«) от комп лекса х при различных N0 .

Д л я окончательного		решения	з а д а ч и		остается	определить
постоянную интегрирования С в			(3.83).	Ее можно		определить
из очевидного	условия: «толщина струи» 6 =				0 при х->-0. Это		д а е т
Г —
С р а в н и в а я	полученное	решение	(3.83)	с	(3.46),	можно	заме

тить, что толщина зоны перемешивания струи с переменной про

водимостью экспоненциально растет	с увеличением	расстояния
х от источника (рис. 3.8), в то время	ка к в струе с	однородной

проводимостью толщина струи стремится к бесконечности на ко нечном расстоянии от источника.

оо

Секундный объемный расход Q = J udy через сечение струи

р а в е н

•л

= 2 (4,5) 'AvNo-'A(1 - e-N^) '/з=2 (4,5) 'AvQ,

где	. . .	_ x	,	l=-	pv2
где	N0 = Nl,	x=—,		l=-	Jo
		l			Jo

Отсюда следует, что с ростом х расход растет, асимптоти чески п р и б л и ж а я с ь к постоянному значению, тем меньшему, чем больше N 0 (рис. 3.9). Это означает, что магнитное поле является э ф ф е к т и в н ы м инструментом д л я управления расходом в струе.

П ри представлении проводимости в виде (3.76) в работе [30] получено решение для 6, неявно зависящее от i n N :

Сх =	18- f Г In	(72 — А,) % + У2 А.1'- (72 — 7.) V* +				X *
	.	.	І2(72-К)^		І
	+ 2 a r c t g		I > - (	7 2 - , ) * I '
	N5 2	/	8У2~" У'"-		N 3 V V !
г д е Я = — ,		С = ( - ^ \| - )			= № < С , .
	V	» о		'	Jo' 2
На рис. 3.10 представлен					характер изменения осевой ско
рости	« = « m C i / ' / ! v ~ ' / j = N0 '/ t A,""'/ 4 (72 — л-)1'» и «толщины струи»						б по
мере	развития	струи	при	различных значениях		No = N / 2 v _ 1 .	К а к

видно из рисунка, рост магнитного поля приводит к уменьшению


эффективной		зоны	перемешивания		и	осевой скорости	в	струе,
причем у ж е		на конечном		расстоянии	от	источника струя	прекра
щает	свое существование			( u m = 0 ) . Уменьшение зоны перемеши
вания	.объясняется		электромагнитным			торможением	у	краев
струи (максимум электромагнитной силы имеет место в точке									г\т,
где У (тіш) = 0 , 5 ) . З а м е т и м				т а к ж е , что	в точке Х = 36 изменяется				и

направление поперечной составляющей скорости и, т. е. за этой точ кой начинается процесс вытеснения жидкости из зоны перемеши вания, соответственно начинает падать и расход в струе (рис. 3.11).

Аналогичный подход был применен в работе [31] д л я анализа распространения струи с переменной проводимостью вдоль плос

кой поверхности и радиально - щелевой закрученной									струи.
Е р м о л а е в а и Соковишин					[32] представили			численное		решение
задачи	о	плоской	струе	у	твердой стенки,			полагая, что имеет
место	степенная		зависимость			проводимости		от температуры:
о			А=10-г-13.
а,

Так	ж е	ка к и в работе		[31] при задании			а	в виде	(3.76),		чис
ленное	решение полной системы (3.72), (3.74)							с указанным			выше
степенным		законом показывает				наличие	сечения		торможения,
в котором струя полностью смешивается с о к р у ж а ю щ е й										средой,
причем	смешение происходит тем быстрее, чем выше									темпера
тура стенки и чем больше				показатель k в степенном					законе.

IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ПЛОСКОГО СТРУЙНОГО МГД-ПОГРАНИЧНОГО

с л о я

М а т е р и а л предыдущих глав является иллюстрацией того по ложения, что в,магнитной гидродинамике возможности изучения явлений путем представления .их в автомодельной форме весьма ограничены. Объясняется это тем, что вместе с появлением но вого члена в уравнении д в и ж е н и я появляется и новый харак -

оВ2

терныи параметр

, величина которого определяет порядок

величины электромагнитной силы и, вообще говоря, является произвольной. Таким образом, чтобы перейти к автомодельному решению, мы вынуждены либо привести в соответствие порядок электромагнитной силы с вязкими и инерционными силами, что достигается обычно путем введения особым образом организо ванного магнитного поля (часто нереализуемого), либо ограни читься констатацией того факта, что в реальных полях подоб ного решения не существует.

Численное	ж	е	интегрирование дифференциальных		уравнений
движения очень			трудоемко	и требует значительных	з а т р а т вре
мени. П р а в д а ,		с	развитием	вычислительной техники	последняя

трудность постепенно снимается, но на настоящем этапе мы еще

далеки	от	возможности получения		на Э В М любого интересую
щего нас		решения.
В этой связи особый интерес приобретают приближенные ме
тоды	расчета, позволяющие сравнительно быстро, хотя и не
всегда	достаточно		точно, получать	те или иные закономерности
рассматриваемого			явления .

Гидродинамика непроводящей жидкости располагает сейчас мощным аппаратом приближенных методов расчета уравнений

пограничного	слоя, основой	которых послужили	работы
К а р м а н а и	Польгаузена [ 1 , 2].	Не останавливаясь	детально

на описании	этих методов, обзоры которых можно найти в
монографиях	Лойцянского [3, 4] и	Шлихтинга [5], у к а ж е м	лишь,
что в основном они относятся к		расчету пограничных	слоев,


в о з н и к а ю щ их	при обтекании		тел.	Л и ш ь сравнительно	недавно
в работах Клиентова		[6, 7]	интегральный метод был		применен
д л я расчета струйных		пограничных		слоев.
Несмотря	на общность идейных			посылок, применение интег

рального метода для анализа струй имеет свои особенности в

сравнении с з а д	а ч а м и обтекания.	Д л я	выявления	этих особен
ностей напомним	в общих чертах	суть	метода К а р м а н а — П о л ь -
гаузена в з а д а ч а х обтекания. Идея		метода состоит		в замене точ

ного распределения скорости в пограничном слое некоторым приближенным . Приближенной функцией может служить много член, где в качестве переменной взято отношение поперечной ко ординаты у к условной толщине пограничного слоя б, коэф

фициенты

которого

находятся

из

соответствия

приближенного

распределения

скорости граничным

условиям,

в том

числе

и вы

т е к а ю щ и м

из

уравнения

движения . Д а л е е

расчет

вводится

ф о р м п а р а м е т р

л =

куда

входит

и з в е с т н а я

из

потен-

циального обтекания величина - ^ —

(и

— скорость

на

внешней

границе пограничного с л о я ) , после

чего

К определяется

из

урав

нения импульсов.

Д а л ь н е й ш е е

развитие

однопараметрического

метода

(замена

неопределенной величины б более определенной б** — толщи ной потери импульса) позволило свести к минимуму влияние выбора того или иного конкретного профиля скорости на точ

ность расчета.

В з а д а ч а х

струйного

пограничного

слоя

в приближенный

профиль

скорости

т а к ж е

можно

ввести

производную

скорости

dUm

w ' m 6 2

н о

а э т о т

Р а з

ф о р м п а р а м е т р е Х=

——

и т

—

принци

пиально

н е и з в е с т н а я

функция,

имеющая,

например,

для

свободной

затопленной

струи

смысл

максимальной

скорости

на

оси струи.

Таким образом,

здесь

мы

имеем две

п о д л е ж а щ и е

оп

ределению

функции

8(х)

ит{х),

для нахождения

которых

не

обходимо

привлечь два уравнения. Одним из них м о ж е т

служить

уравнение

импульсов,

вторым

(в

принципе) —

соотношение

К =

•=

. Поясним это

на

примере

плоской

затопленной

непрово-

д я щ е й струи.

Пусть

профиль

скорости

струе

з а д а н

выражением

u — umf(r\),

где Ї І = щ - ,

а функция f(r\)

удовлетворяет

условиям

/ ( ± 1 ) = 0 ,

П ± 1 ) = 0 ,

П 0 ) = 0 ,

/(0)

= 1,

Г ( 0 ) = А ,

Эти

условия

, с

ди

следуют

из граничных

условии

ы = -щ^ = 0 при

(/= ± 6 ,

~щ=^

П Р И

у = 0

« = u m (;t )

при

у = 0

соответственно.

Последнее

условие

вытекает из рассмотрения уравнения д в и ж е н и я

(3.1)

на

оси

струи у = 0. К р о м е того, необходимо

привлечь

уравнение

импуль-

+б

u2dy = J, которое дает

сов р J

ра(К)

(4.1)

где

- і

Соотношение

(4.1)

вместе

6 2 ^ L =

( 4 . 2 )

ах

решает

поставленную

задачу,

если

известно

значение

К.

П р и

A = const

(а это

предположение

оправдывается

тем,

что точное

решение

Шлихтинга

дает постоянную кривизну профиля f"(0) =к

точке

у — О) система

(4.1),

(4.2)

легко

разрешима,

величину

можно

найти

затем

из

соответствия

полученного

в ы р а ж е н и я

(например, д л я иш)

точному

значению. Если

ж е

точное

решение

неизвестно, но все еще A.=const, то количественные

результаты

будут существенно зависеть от выбора приближенного

профиля

скорости,

точнее

—

от кривизны этого профиля в

точке

г/ = 0.

этом

случае, как

при

A ^ c o n s t , необходимо привлечь

еще

одно уравнение, связывающе е

б и

ит.

П р и б л и ж е н н ы е методы расчета МГД - пограничного слоя пока

еще

не

достигли

той

степени

совершенства,

которая

характерн а

д л я

гидродинамики,

тем

не

менее

предмет

обсуждения

имеет

у ж е достаточно обширную литературу

(см. работу [8]

и приве

денную в ней б и б л и о г р а ф и ю ) , в основном посвященную

исследо

ваниям

течений в МГД - пограничном

слое на

пластине

и на

входе

в трубу. М ы не будем останавливаться на этих вопросах, а пе рейдем к рассмотрению приближенных методов расчета струй ного М Г Д - с л о я .

К а к обычно, в приближенном расчете мы д о л ж н ы отказаться от локального соответствия приближенного решения уравнениям движения . Однако при этом интегральные характеристики тече

ния (например,	трение) д о л ж н ы , во-первых,	удовлетворительно
совпадать с	экспериментальными данными	(если т а к о в ы е

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ