книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

начнут играть все менее существенную роль* и смогут быть заменены единицами, т. е.

Отличие (2.152) от (2.151) состоит только в обозначениях, следо­ вательно, справедливость соотношения (2.149) подтверждается.

Пусть по физическому содержанию задача состоит в синтезе надежной системы, состоящей из трех последовательно соединенных элементов. Структу­ ра системы определена схемой функционирования, поэтому задача фактически сводится к оптимальному резервированию системы неоднородными элементами.

Величины (£>j, по сути дела, определяют собой начальное состояние систе­ мы, подлежащей оптимизации, а в данном примере они только фиксируют струк­ туру системы (надежность каждого исходного элемента равна нулю; е# = 1 —

— С0І = 0).

Задача решена по алг. 2.3 и алг. 2.1 [см. (2.149)].

Соответствующие решения и значения целевых функций даны ниже:

Каждый алгоритм обеспечил строго оптимальное решение для своей целе­ вой функции, однако решение, полученное алг. 2.1, не обеспечило лучшего реше­ ния исходной задачи (0,342 > 0,110).

Пример подобран так, чтобы численно иллюстрировать максимально воз­ можную погрешность**. Однако хотя относительная погрешность в данном слу­ чае и велика, с увеличением т > 3 она быстро уменьшается.

80

о повышении точности алг. 2.1 с ростом т > 3 при решении с его помощью задачи §2.3(1). Условия данного примера примем полностью соответствующими усло­ виям примера, рассматриваемого в § 2.1 (5), за исключением вектора {Лг} ~ {о>^},

ной системы, то можно говорить о структурной избыточности системы, которая формально может быть определена ограничивающими условиями:

то это означает, что структура системы жестко фиксирована. Синтез системы сводится только к наиболее целесообразному распределению надежности между ее элементами без изменения структуры. Если

то можно говорить о полной структурной избыточности системы.

§ 2.4. Обобщенная задача оптимизации нелинейной двухиндексной функции мультипликативного вида

1. Постановка задачи. В формальной постановке задача може быть записана следующим образом. Требуется определить матрицу

То— ІІУг/IUn. доставляющую максимум функции

84

при ограничениях на переменные

Формулу (2.159) можно записать в более наглядном виде:

ПП

как ее структура уже знакома на основе вывода формулы (2.69), муль­ типликативным аналогом который она, по сути дела, и является.

Сформулированная задача является дальнейшим развитием задач § 1.4(1) и § 2.3(1), однако к ней более применима первая из двух данных в § 1.4(1) физических интерпретаций. Новое по сравнению с физической интерпретацией, данной в § 2.3(1), состоит в том, что при поражении і-й цели с вероятностью <хц выходит из строя (перестает

ставлена как задача оптимизации функции

которая может рассматриваться как аддитивный аналог исходной за­ дачи. Ограничения и условия остаются те же: (2.160) и (2.161). Меж­ ду задачами § 2.4(1) и § 2.2(1) существует такое же соотношение, как между задачами § 2.3(1) и § 2.1(1). Это и понятно, ведь задачи § 2.3(1)

и § 2.1(1) являются соответственно частными случаями задач § 2.4(1)

и § 2.2(1).

На основании предыдущего опыта, а также с учетом §2.2(1) ясно, что наличие функциональных связей между целями не может увели­ чить и без того малую погрешность. Тем не менее, всегда представляет интерес более точное решение с гарантированной оценкой погрешно­ сти, особенно если это не влечет за собой существенного увеличения объема вычислений. Для получения алгоритма, обеспечивающего та­ кое решение, снова обратимся к методу ДФ.

82

Приведем функцию (2.162) к аддитивному виду, полагая, что к мо­ менту Сго шага для каждой цели уже гарантируется ее поражение

Выражения для смежных состояний* функции выигрыша на осно­ вании формулы (2.165) запишутся так:

Неотрицательное приращение функции выигрыша при пробном назначении k-vo средства для воздействия по 1-й цели на основании (2.166) может быть представлено в виде:

83

На основании формул (2.170) можно получить выражение для не­ положительного приращения функции потерь:

п (1 - со,-ГІ (1 - (1 - Q^>&И0 «о))

- А « = я г - = ln n f l - c o . - n o - O - Q r ' ^ r ' V ö ) ) '

(2.172)

Суммарное приращение на основании (2.169) и (2.172) запишется

так:

Aja = Aw — Aft; =

П (l- со, П (l- * *><»«„)) (1 - со, п О- О- Qj» b^) ay))

(2.173)

Учитывая, что знаменатель не зависит от индексов kn I, формула (2.173) примет эквивалентный вид:

Теперь может быть записан алгоритм решения задачи.

процесса.

84

4°. Пересчитать исходные значения величин по формулам:

оценки точности алг. 2.4 рассмотрим два предельных по степени взаи­ мозависимости элемента системы случая:

и (2.140) совпадут. Это значит, что все сказанное о точности в § 2.3(3) остается справедливым и для алг. 2.4.

Оценку погрешности во втором случае можно получить путем сравнения алг. 2.4 с оптимальным для этого случая, к определению

в случае полной зависимости между элементами системы мы получили такой же оптимальный алгоритм, см. (2.100). Совпадение оптимальных алгоритмов решения

Выясним теперь, какой порядок распределения средств будет по­ лучен согласно алг. 2.4 при том же условии (2.179).

* І (То) можно вычислить по формуле (2.162), взяв Зьі= & \'п\ і = 1, ..., п.

85

ритм уо обеспечивает оптимальное решение задачи, хотя порядок на­ значений может быть отличен от того, который соответствует (2.180).

Всилу формальной аналогии, существующей между задачами §2.2(1)

и§ 2.4(1) погрешность также будет меняться монотонно, точность

лировав задачу § 2.4(1) к виду задачи § 2.2(1) [см. (2.164)], использо­ вав при этом отношение квазиэквивалентности (2.185), частным слу­ чаем которого является (2.149):

кой постановке исходной задачи и соответствующие им изменения ал­ горитма. Эти изменения несущественно влияют на точность решения.

86

5. Пример расчета. Поскольку наряду с основным алгоритмом для реше­ ния задачи § 2.4(1) рекомендуется алг. 2.2, целесообразно получить решение одного и того же примера обоими путями. Для этого рассмотрим пример 2 на стр. 74 и получим для него решение по алг. 2.4.

В первых двух матрицах представлены исходные данные, а третья представляет собой полученное решение.

ления единиц ресурса, причем алг. 2.4 обеспечил оптимальную после­

Это наталкивает на мысль о том, что алг. 2.4 целесообразно применять для решения задачи § 2.2(1) по крайней мере в том частном случае, ког­ да Аі = 0 для всех і, кроме одного. Впрочем, это и понятно, если учесть, что при этих условиях целевая функция в задаче § 2.2(1) имеет муль­ типликативный вид и эквивалентна функции (2.159) (со,- = 0 для всех /, кроме / = п). Для ее оптимизации более приемлем алг. 2.4.

§ 2.5. Задача оптимизации нелинейной трехиндексной

функции

1. Постановка задачи. В заключение рассмотрим следующую за дачу.'

Требуется определить матрицу [|ö?/||jvl, доставляющую мак­ симум функции

Одна из возможных физических трактовок задачи состоит в таком распределении N активных средств по точкам прицеливания из мно­ жества L, чтобы обеспечивался максимум эффекта на группе s объек­ тов. Отличие от задачи § 1.2(1) состоит в том, что активные средства

* В §2.2(5) порядок назначений иной (1; 1 -► 2; 1 -> 3; 3) — см. стр. 74.

87

/

I = 1 .......L.

Поскольку отбрасывание единицы в круглых скобах (2.192) не нарушает эквивалентность преобразований, то можно сразу записать

выражение для суммарного приращения А*/ [см. (2.188) и (2.192)1:

88

Если в ходе вычислений необходимо получать текущее значение целевой функции, то выражение (2.193) удобнее записывать в виде раз­ ности двух сумм. Путем несложных эквивалентных преобразований* формула (2.193) приводится к окончательному виду, удобному для рас­ четов:

П р и м е ч а н и е . В ходе преобразований был изменен знак в (2.194), по­ этому на каждом шаге процесса выбор пары индексов следует производить из условия минимума приращения (2.194).

Сформулируем алгоритм решения задачи.

4°. Вычислить новые значения текущих величин по формулам

(2.198)

Величина a-k из дальнейших расчетов выбывает, поэтому

Ф(бо)= 2 (л і- лН = 2 ^ - Е ' 4^ ) -

і = 1 і I

7°. Отпечатать результаты (ф (6„), (А*; //), t = 1, ..., N), прекратить вы* числения.

3. Оценка эффективности алгоритма. На основе решения ряда предыдущих задач, мы уже располагаем некоторым опытом примене­ ния метода ДФ. Этот опыт совместно с проведенными оценками воз­ можных погрешностей позволяет надеяться, что алг. 2.5 будет обла­

*В скобках (2.193) добавлено— 1 и изменен знак.

89