книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

цель поражает не один, а в общем случае все объекты с соответствую­

новных соотношений мы используем квазиэквивалентность функций

[см. (2.149)1:

или, обозначая новую функцию через Я (у), окончательно будем иметь:

N / М

§ 3.2(1) сведена к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе. Используя формулу (3.14) и все логические доводы, примененные

при ее выводе, по аналогии с нею и с учетом (3.67) можно записать вы­ ражение для /-го весового коэффициента:

і = і ...... N> (3-68)

/=1 ‘ \ц =1 J

где, как и раньше [см. (3.15)1:

110

Если на і-м шаге процесса произведено пробное назначение k-ro средства по 1-й цели, то текущие значения параметров вычисляются по рекуррентным соотношениям [см. (3.19) и др.]:

или по (3.68).

Теперь можно сформулировать алгоритм решения задачи.

Алгоритм 3.2.

Г. Вычислить начальные значения текущих величин по формулам (3.74)

и(3.68).

да — перейти к п. 2°, нет — перейти к п. 6°.

111

Ввводя обозначения, аналогичные (3.29), можно на основании (3.78) получить условия, определяющие целесообразность переназна­

Однако невозможность улучшить решение таким способом не яв­ ляется достаточным условием оптимальности.

3. Оценка эффективности алгоритма. Основное отличие данной задачи от задачи § 3.1(1), по сути дела, заключается в различии исход­

112

жет быть заполнена более равномерно. Если разность между максималь­ ным и минимальным элементами матрицы || еап [| назовем диапазоном разброса, то в задаче § 3.2(1) он может быть сведен к нулю при усло­ вии

В задаче § 3.1(1) такой случай практически невозможен. Пола­ гая, что погрешность решения зависит от диапазона разброса, выяс­ ним, каков характер этой зависимости. Будем считать, что все М средств равноэффективны

быть проведена по алг. 1.4, реализующему метод МЭ. Выясним, что даст алг. 3.2. Из (3.73) при условии (3.80) следует, что после назна­ чения на t-м шаге процесса единицы средств по /-й цели будем иметь:

Подставляя (3.85) в формулу (3.75) и сравнивая полученное вы­ ражение с формулой (2.47), можно видеть, что, применяя алг. 3.2 при условии (3.80), мы, по существу, вместо (3.82) оптимизируем функцию

Такой вывод не будет неожиданным, так как квазиэквивалент­ ность функций (3.82) и (3.86) является исходной посылкой, принятой при обосновании алг. 2.1 и 3.2 [см. (3.63)].

Итак, из двух факторов, влияющих на точность решения — не­ строгая эквивалентность соотношений (3.63), весовые коэффициенты (3.14), — при условии (3.80) остается только первой. Это значит, что точность алг. 3.2, по крайней мере, не ниже, чем точность алг. 3.1.

113

Отказ от условия (3.81) не может повлиять на конечный вывод, так как подобные же рассуждения могут быть проведены и при prj ф

Ф Рі-

Объему счета при дополнительной проверке согласно (3.76), соответ­ ствуют слагаемые первой степени в формулах (3.87).

Вотношении возможных обобщений задачи можно обратиться к

§3.1(3).

§ 3.3. Оптимизация системы с усложненной

двухиндексной целевой функцией

аддитивно-мультипликативного вида при наличии связей между элементами системы

1. Постановка задачи. Предлагаемая задача в своей формально постановке заключается в определении матрицы |упі||лш> доставляю­ щей минимум функции вида:

Yrp. б {0 ; 1 },

Величины cj, uj уже знакомы из § 3.1(1). С коэффициентами свя­ зи ан мы также сталкивались ранее [см. § 2 .2 (1 )] и смысл их не изме­ нился. К задаче целиком применима описанная в § 3 .1 (1 ) физическая

интерпретация с тем лишь добавлением, что уничтожение /'-го объекта

114

ки в формуле (3.88), является полной вероятностью поражения /-го объекта с учетом противодействия'.

и станет ясен смысл формулы (3.88), так как с ее аналогом (2.69) мы имели дело в § 2 .3 (1 ).

Рассмотрим применение метода В К для решения данной задачи.

2. Метод и алгоритм решения. Задача § 3.3(1) является обобщени­ ем задачи § 3.1(1), поэтому изменения в ее физической постановке при введении зависимости между объектами (матрица Hadiss) не носят принципиального характера. Все доводы и соображения, высказан­ ные в § 3.1(2) и учтенные при формировании аналитических выражений для весовых коэффициентов, будут в полной мере справедливы и те­ перь. Однако появление связей между объектами должно повлиять на вид выражения для весовых коэффициентов таким образом, чтобы:

относительный вес Вц%) 1-й цели, воздействующей по £-му объек­ ту, уменьшился по сравнению с (3.14) за счет того, что теперь £-й объект подвержен не только внешнему воздействию группы п£ целей, но и функциональному влиянию на него S — 1 других объектов, по которым действуют остальные цели;

вес этой же цели увеличился за счет функционального влияния £-го объекта на состояние остальных объектов.

Дополнительному учету именно этих двух новых требований и отвечает формула (3.93) для вычисления значений весовых коэффи­

Формула (3.93) является обобщенным аналогом формулы (3.14). Она также не может быть получена формальным путем и представляет собой способ количественного учета тех наиболее существенных фак­ торов, которые выявлены в ходе логического анализа прежде всего физической стороны задачи. В частности, отмеченные два фактора учте­ ны членами, заключенными в большие квадратные скобки (первый фактор), и суммой по i (S — 1)-го дополнительных по сравнению с (3.14) слагаемых (второй фактор).

115

Читателю предоставляется возможность самостоятельно убедить­ ся в том, что При отсутствии зависимости между элементами системы, т. е. при

функция (3.93) с точностью до обозначений принимает вид формулы

(3.14).

На основании (3.93) и предыдущего материала запишем рекуррент­ ные соотнбшения, необходимые для формулировки алгоритма реше­ ния задачи.

По аналогии с (3.18) и на основе (3.93) выражение для весовых коэффициентов запишется:

Если на t-м шаге процесса производится назначение kt-vo средст­ ва по /(-й цели из состава группы то пересчет соответствующих ве­ личин производится согласно операторам:

Смысл этих формул ясен из предыдущего материала.

Применяя для оптимизации метод ДФ, можно записать теперь алгоритм решения задачи § 3.3(1).

116

Путем проверки М (N — 1) дополнительных вариантов решений, различающихся переназначением только одного из средств, может быть, как и ранее, предпринята попытка улучшить решение. Подход к выводу необходимой формулы остается таким же, как и при выводе формулы (3.28).

3. Оценка эффективности алгоритма. Алг. 3.3 не менее точен, чем алг. 3.2. Различие в точностях может возникнуть только за счет вве­ дения нового фактора — взаимозависимости элементов системы. Оце­ ним влияние этого фактора на точность решения задачи. Так как ха­ рактер изменения погрешности в зависимости от степени связей меж­ ду элементами монотонный (см. § 2.2(3)), то верхняя граница средне­ статистической погрешности будет равна ее большему значению на

117

Из (3.105) видно, что при условиях (3.104) задача вырождается в задачу § 2.3(1) и ее решение может быть найдено с помощью алг. 2.3. Такого результата и следовало ожидать, так как наличие жесткой за­ висимости между объектами равносильно тому, что существует как бы один объект, атакованный N целями.

Выясним, какое же решение будет обеспечено с помощью алг. 3.3. Из (3.95) при условии (3.104) следует:

2W

п= 1

Это означает [см. (3.101) и § 2.1(1)], что алг. 3.3 фактически сводит­ ся к алг. 2 . 1 , обеспечивающему оптимизацию функции

что и определяет точность решения.

Квазиэквивалентность функций (3.107) и (3.105) является исход­ ной посылкой для всех алгоритмов данной главы. Возможная погреш­

4. Некоторые обобщения. Полученный результат можно распро­

118

Если на t-м шаге процесса производится назначение &,-го средст­ ва по Ifй цели, то пересчет текущих значений величин производится в соответствии с операторами:

Начальные значения величин вычисляются по формулам:

Теперь есть все необходимые соотношения для записи алгоритма оптимизации.

При совместном выполнении условий (3.117) и (3.94) будем иметь дело с за­ дачей §3.1(1).

119