книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Однако что можно сказать о точности алг. 4.1а в случае, когда его

решение X не соответствует сопряженным точкам? Анализируя ра­ боту алг. 4.1а, можно отметить, что несопряженное решение возни­ кает потому, что на некотором шаге процесса оставшегося ресурса = ДА недостаточно для того, чтобы k-ю компоненту текущего вектора увеличить на величину A+xh, соответствующую оптимальной величине шага. Невозможность попасть в точку С (рис. 8 ), которой

соответствует сопряженное решение F (Х+) (в дальнейшем будем на­ зывать его сопряженно-максимальным) вынуждает позаботиться хотя бы о наилучшем распределении остатка ресурса ДХ. Алг. 4.1а по­ зволяет это сделать. Привлека­ ются несопряженные элементы совмещенной матрицы \ѵпІАх}і ||,

чтобы остаток ресурса был на­ значен для наращивания компо­ ненты x(k \ Полученное решение

F (А) может соответствовать не точке В, а некоторой точке Д. Однако наилучшее распределе­ ние остатка ресурса ДА не всег­ да уберегает от погрешности, порой грубой, если этот остаток относительно велик.

Чтобы получить оценку точности алг. 4.1а, когда полученное решение не является сопряженным, снова обратимся к выпуклой обо­ лочке. Из рис. 8 видно, что’искомое оптимальное решение будет лежать где-то между точками А и В илиАювпадет с одной из них. Оценка

сверху для максимального значения целевой функции может быть за­ писана так:

+

где j? — средняя скорость прироста функции Fk (xh) на участке от

xh (Х~) до xh (А+) (V берется непосредственно из таблицы типа 17,

а значение F (А- ) получается в ходе вычислений по алг. 4.1а, п. 7°).

Величина ожидаемой погрешности П (А) запишется в виде:

140

Для рассмотренного ранее примера с распределением b = 23 ед. ресурса имеем:

F(X) = 240,7, F(x ~)~ 229,2, ДХ = 3, о = і> ,і,3 = 6 ,8 .

Первые три величины взяты из табл. 19 (строки 3, 5), а элемент он; з — из табл. 17. Оценка погрешности сверху согласно (4.26) равна «4% (на самом деле решение оптимально). Если известен механизм образования погрешности и может быть оценена ее величина, то не составляет особой сложности и доработка алгоритма, гарантирующая величину погрешности не более допустимой —(Зд.

Один из возможных способов состоит в том, чтобы обеспечить ком­

поненте x'k приращение Axt (рис. 8 ) за счет соответствующего умень­

шения некоторых других компонент. Проще всего' эту идею можно реализовать, если применить тот же алг. 4.1а, но в качестве исходного плана взять не нулевой вектор Х<°\ а положить его /г-ю компоненту ,40) равной значению x t . Если снова получится остаток, то следует снова оценить погрешность, используя первую оценку (4.25) макси­ мального значения целевой функции. Если потребуется дальнейшее улучшение решения, то теперь в исходном плане могут появиться уже две компоненты, отличные от нуля, и так далее, пока не будет достиг­ нута требуемая точность решения или не закончится ресурс.

В целом уточняющий решение алгоритм (доработка алгоритма 4.1а) будет заключаться в следующем.

Величина A+Xu — приращение £г_і-й компоненты, обеспечивающее полу-

Г — 1

чение сопряженно-максимального решения (исходного плана для г-го варианта). 3°. Вычислить значение X(°r) = X <0r—і1 + А+д^_ ( и проверить условие

Х ' Ѵ > 6 :

да — лучшее из г — 1 решений считать оптимальным, прекратить вычисления;

нет — перейти к п. 4°.

4°. Согласно алг. 4.1а вычислить решение Хг для нового исходного плана

Х 10ГК Перейти к п. 1°.

При зацикливании (возвращении к одному из вариантов уже опробован­ ного решения) следует исключить исходный план, приводящий к этому.

* В случае сопряженного решения ß = 0, так как F (Х ~ ) = F (Х+) =

= F (X) и АХ = 0.

141

Вместо условия ß < ßR в алгоритме можно проверять относитель­ ную величину остатка е < еД) где

Формула (4.27) получена из (4.26).

Как правило, приведенная доработка гарантирует получение оптимального решения, однако, по-видимому, нельзя исключить воз­ можность подбора специальных исходных условий, когда решение не будет строго оптимальным, а возможно, и не удовлетворит требуемой

этому общий объем счета будет пропорционален величине nb. Основным ограничением размерности задачи, решаемой за одно об­

ращение к ЭВМ является объем памяти для хранения исходной инфор­ мации, особенно если исходные функции Ft (xt) задаются табличным способом. Практически неограниченное увеличение допустимой раз­ мерности решаемой задачи легко достигается путем расчленения ис­ ходной задачи на ряд аналогичных задач, но меньшей размерности. Так, если объем исходной информации b х N в г раз превышает объем ОЗУ, то размерность задачи (N) уменьшается в г раз путем разбивки на г равных интервалов. Решение г частных задач позволяет получить

шения задачи того же типа, но размера Ьхг. Если г все еще велико, то задача снова расчленяется, пока не сможет быть решена без расчленения. Полученное решение нерасчлененной задачи и промежу­ точные результаты расчетов позволяют выявить решение исходной задачи.

Доработка основного алгоритма не приводит к сколь-либо за­ метному увеличению объема вычислений, поскольку п. 1° алг. 4.1а (вычисление элементов совмещенной матрицы), занимающий большую часть времени счета (90—95%), выполняется только один раз для всех просматриваемых в каждой частной задаче вариантов решения.

Задача § 4.1 (1) может решаться и с помощью других методов. При прочих равных исходных условиях объем счета по методу дина­ мического программирования примерно в b раз будет большим, чем при алг. 4.1а [17, 45].

Метод нитей [46] является некоторой модификацией метода ди­

142

Сметодом И. Н. Кузнецова читатель знаком по работам [48] и

[49].По существу там уже были использованы для решения задачи выпуклые кверху оболочки.

Весьма ограничены возможности решения задачи путем непосред­ ственного применения условий Лагранжа или Куна—Таккера [13, 3].

4. Некоторые обобщения. Алг. 4.1а не претерпевает существен­

143

непрерывного варианта задачи, состоящей в определений/ максимума

функционала (см. приложение VI).

1

где F (і, х) — функция произвольного вида.

Чтобы перейти к разработанной вычислительной схеме, необхо­ димо сделать разбиение поверхности F (t, х)-плоскостями:

ний. На рис. 9 показано, что интеграл (4.30) численно равен площади A'B'C’D' — проекции цилиндрической поверхности ABCD, проходящей

144

через искомую кривую x{t), на плоскость F (t, х), 0, t. Функция F (t, х) показана проходящей через начало координат, F (і, 0) = 0. Как отме­ чалось ранее [см. (4.4)1, это не сужает общности задачи.

Помимо отмеченных могут быть введены комбинации из указан­ ных ограничений.

5. Примеры расчета. Рассмотренный в § 4.1(2) общий вариант условий задачи достаточно подробно иллюстрирует вычислительную схему алгоритма, поэтому основное внимание в предлагаемых приме­ рах будет уделено некоторым частным случаям задачи, наиболее часто

Рис. 10.

встречающимся на практике и позволяющим выявить некоторые спе­ цифические особенности метода ПП.

Другая цель, которая преследуется этими примерами, заклю­ чается в том, чтобы с их помощью привить некоторый навык в приме­ нении метода ПП. Это представляется важным потому, что последую­ щий материал основывается на идеях метода ПП.

а) К у с о ч н о-л и н е й н ы е ф у н к ц и и . Исходные функ ции Fi(xi) заданы на рис. 10 и 11. Совмещенная матрица представлена табл. 20. Элементы матрицы, соответствующие сопряженным точкам и участкам, выделены жирным шрифтом. В табл. 21 помещены резуль­ таты расчетов вариантов задачи для разных значений ресурса Ь.

В строке j = 4 табл. 21 приведен случай, когда к алг. 4.1а не­ обходимо применить доработку (т. е. алг. 4.16). Согласно алг. 4.1а по­ лучается первый вариант решения (Ь = 8 , F = 17,5 — в табл. 20

он выделен жирной линией). Пусть допустимая точность решения рав­ на Рд — 5%. Оценка точности решения по формуле (4.26) дает:

145

г20,26

Имея оптимальное решение, теперь можно найти истинную по­ грешность, при первом варианте решения:

F i( Xi )

10

8

6

4

146

в оптимальное решение. Такие функции при прочих равных условиях имеют наименьшее множество сопряженных точек и наибольшую вероятность появления погрешности при алг. 4.1а.

В табл. 22 представлены исходные данные для рассматриваемо­ го примера. Специфика функций (4.38) приводит к тому, что в каждом столбце совмещенной матрицы (4.20) будет только по одному положи-

147

В работе [47, стр. 26, 35] приведено решение данного примера, полученное путем выделения из множества допустимых решений (ре­ шений, удовлетворяющих условиям исходной задачи) подмножества насыщенных планов решений и полного перебора его элементов. При таком подходе оптимальность решения не вызывает сомнений, однако возможность полного перебора множества насыщенных планов хотя и выше возможности перебора всех решений, тем не менее, также весь-

148

ма ограничена даже при использовании ЭВМ. Это следует из оценки максимального числа насыщенных планов, которое имеет место тогда, когда величины аг = 1 , (і = 1 , ..., п) и, значит, ограничения на фор­

мирование планов фактически отсутствуют. Количество насыщенных планов в этом случае будет равно S = С„ и будет максимальным при

Ь = [ п ~

П р и м е ч а н и е . " Можно дать более точную оценку S' для общего случая

оценку затрат требуемого времени счета на перспективных ЭВМ (быст­

100 элементарных операций. Время счета составит 400 лет — для пе­

25,6 тыс. лет, тем не менее рассчитывать на пользу от полученного результата было бы неразумно.

Именно поэтому для решений указанной задачи наиболее удобным будет являться «алгоритм дяди Абраши» (см. [47], стр. 26, а также [3]), тем более, что из класса эвристических методов с достаточным основа­ нием он может быть переведен в класс формальных, так как является частным случаем, к которому сводится решение задачи о ранце ме­ тодом ПП.

В рассмотренном примере проверка лишь одного дополнительного варианта обеспечила оптимальное решение. Применительно к задаче о ранце максимальное число дополнительных вариантов может быть

В табл. 23 приведены исходные данные варианта задачи о ранце b = 552 ед.), в котором пришлось помимо основного варианта про­ верить пять дополнительных. (Согласно оценке (4.43) число дополни­ тельных вариантов не превышает 10: k = 552 : 55 » 10). В табл. 24

приведены все исходные планы (левая часть этой таблицы), соот­

ветствующие им решения Х Т(средняя часть), значения целевой функ­ ции и оценки точности (правая часть). Просмотр пяти дополнительных

149