книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

вариантов обеспечил оптимальное распределение b = 552 ед. за­ данного ресурса, причем две единицы не могли быть реализованы во­ обще.

Взаключение следует напомнить, что появление погрешности и

еерост становятся наиболее вероятным тогда, когда величина опти­

мального шага Ах1т) становится соизмеримой с величиной распреде­ ляемого ресурса Ь. Однако это же условие является необходимым для успешного применения алгоритма плотной перестройки, предложен­ ного в работе [47], что обеспечивает возможность получения точного решения, если точность решения, гарантируемая рабочим алгоритмом, недостаточно высока. Алгоритм плотной перестройки в этом случае окажется полезным для набора определенной статистики, выявления особых случаев и внесения необходимых корректив в рабочий алго­ ритм при небольших значениях и.

Для этих же целей может быть использован метод ветвей и границ [50], разработанный Колесаром П. Дж. (метод основан на идее Литт­ ла И. Д. [51] и др.) для решения задачи коммивояжера. Оптимальное решение находится упорядоченным просмотром всего класса допусти мых решений путем его последовательного деления (ветвления) на взаимно непересекающиеся подклассы и сравнения их оценок по це­ левой функции.

в) В ы п у к л о - в о г н у т ы е ф у н к ц и и . Рассмотрим ре­ шение задачи § 4.2(1), если целевая функция задана в виде (3.1), но

150

Вычисления ведутся по алг. 2.3. Затем решается задача § 4.1(1) для функций

См. §3.1(1) и формулу (3.1).

151

Если учесть, что наряд средств обороны, выделяемый для обстре­ ла каждой цели, — величина целочисленная, то вместо (4.49) можно дать более корректную формулу:

выделено жирной линией и записано в последних строках таблицы. Поскольку функция вида (4.44) обобщается в § 3.5(1) до игровой постановки,то рассмотрим пример, иллюстрирующий противоположную

тору N = {пг}5 при фиксированном векторе X = {Х г}, т. е. задачу максимизации ущерба*. Полученное решение (см. табл. 26) соответ­ ствует следующим исходным данным:

зрения, что позволяет еще для одного комплекса условий оценить точ­

Иными методами эта задача решается в работе [3], стр. 111.

152

погрешности. Опасность усугубляется при со = р = 1,так как при этом условии задача (4.44), (4.44') вырождается в задачу о ранце и вероятность погрешности возрастает.

Итак, рассмотрим в общем виде решения указанной задачи, по­ лучаемые с помощью метода ПП и метода ВК. Выясним, какую после­ довательность распределения М оборонительных средств обеспечит алг. 4.1а при условии © = р = 1.

* В табл. 25 и 26 наибольшие элементы Vji выделены.

153

4.1а последовательное распределение М средств (заполнение ранца) будет осуществляться группами пг в соответствии с максимальными значениями отношений Лг/лг.

Выясним, какой порядок распределения средств будет обеспечен по методу ВК (алг. 3.1).

* Оптимальное приращение аргумента Х і равно

154

Следовательно, алг. 3.1 даст первое назначение, соответствующее тому же номеру объекта і, что и алг. 4.1а. Однако согласно алг. 4.1а будет обстреляна вся группа целей пі( а согласно первому шагу алг. 3.1 — только одна цель из группы щ. При дальнейшей работе алг. 3.1 будут пересчитаны изменившиеся веса группы целей nt так, что вес обстрелянной (/ = I) цели уменьшится, а веса остальных целей из группы Пі увеличатся. Это следует из (3.14), откуда для очередного шага будем иметь:

где пУ~х) — число необстрелянных целей в группе щ к моменту Сго шага процесса.

Последующие назначения согласно алг. 4.1а и 3.1 также совпа­

дут.

Различие в точности может возникнуть только в тех случаях, когда при методе ПП возникает необходимость просмотра дополнитель­ ных вариантов согласно алгоритму доработки 4.16, что не предусмот­ рено в алг. 3.1. Зато алг. 3.1 пригоден для работы при произвольных значениях вероятностей с prj.

%

§ 4.2. Минимизация аддитивной целевой функции произвольного вида при линейном ограничении на переменные

1.Постановка задачи. Рассмотрим задачу, которую по отношению

кзадаче § 4.1(1) можно рассматривать как противоположную.

155

Компоненты Ег(хг) целевой функции, как и в § 4.1(1), имеют про­ извольный вид, но ограничены снизу и удовлетворяют условию (4.4).

Данная задача может иметь различные интерпретации, мы огра­

ничимся одной из них.

Если положить, что функция Fi(xt) — это издержки производства г-го предприятия при реализации ассигнований на сумму xt ед., то за­ дачу можно трактовать как определение такого способа размещения бюджета, не меньшего b ед., между п предприятиями, при котором сум­ марные издержки будут минимальны.

2. Метод и алгоритм решения. В основу метода оптимизации положены те же идея и принципы, которые являются основополагаю­ щими для метода ПП. Однако ограничение величины ресурса снизу [см. (4.59)] вносит некоторые особенности в процесс решения.

1'у

вдальнейшем). Найдем вектор Х 0— {х“}, доставляющий минималь­

ное значение сумме функций, изображенных на рис. 1 2 , при условии

(4.59). Для решения задачи воспользуемся выпуклыми книзу оболоч­ ками OMNE, ОВГДЬ, ОАБС. Такую оболочку для любой функции Fi(Xi) можно получить, обтянув ее снизу нитью, закрепленной в на­ чале координат. Точки и участки А, БС, ВГ, ДЬ, MKN, как и ранее, будем называть сопряженными.

Согласно правилу скользящей точки (§ 4.1(2)) могут быть вычисле­ ны элементы совмещенной матрицы \\ѵл/Ахл |] (табл. 27) с тем лишь

156

15?

отличием, что скользящая точка должна двигаться теперь по нижней стороне кривой Ег(хг) и каждую функцию потребуется исследовать на большем участке, чем 0-уб. (Если при Хі > b функция Ft(Xi) не убывает, то этого достаточно, чтобы не исследовать ее на участке хг> 6 ).

В получаемой таким образом совмещенной матрице по мере увеличе­ ния номера строки / значения сопряженных элементов (элементы, со­ ответствующие сопряженным точкам и участкам кривых Fi(xi) — жир­ ный шрифт в табл. 27) будут увеличиваться, причем вначале они мо­ гут быть и отрицательными (например, при і = 6 ). Алгоритм оптими­

зации по аналогии с алг. 4.1а будет состоять в последовательной вы­ борке сопряженных элементов из матрицы \ѵд ||, начиная с наимень­ шего (і>5 ; в = —5,4). Однако характер ограничения (4.59) внесет не­

которые отличия в конечную часть алгоритма, если достаточные усло­ вия оптимальности не будут соблюдены.

Достаточными условиями оптимальности решения, полученного при последовательной выборке элементов ѵд, являются:

попадание компонент х% вектора решения {хД на сопряженные участки (точки) кривых Fi(Xi)\

жесткое выполнение (в виде равенства) условия (4.59).

В остальных случаях возможна погрешность, для оценки и устра­ нения которой проанализируем «опасную» ситуацию.

Пусть на конечном (і = d) шаге процесса оптимизации компонен­ та хв равна 12 ед. и для выполнения условия (4.59) в виде равенства

элементы помечены сверху волнистой чертой. Отмеченные таким образом эле­

Это видно из столбца і = 4 табл. 27 (иj j. 4 = 8,7) и особенно наглядно — на рис. 12 (участок А'Б).

По аналогии с тем, как это было сделано в § 4.1(3), используем кривую Рв(хв) и ее выпуклую книзу оболочку для оценки оптималь­

158

Величины АХ, Ft-\, v, F(X), необходимые для оценки погреш­ ности, будут вычисляться в ходе работы алгоритма. Относительная погрешность может быть получена по формуле

мых на основе той же матрицы |]о/;|| (см. табл. 27) и отличающихся исходными планами.

Для рассмотренного случая новым исходным планом должен быть

Условие (4.5) здесь не положено.

159