книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Соотношение между перечисленными этапами может быть различ­ ным. Для задач, которые решаются на основе проверенных алгорит­ мов, все решение практически сводится к выполнению второго этапа. Чем менее обоснован метод решения, тем больше внимания должно от­ водиться третьему и четвертому этапам. Общая эффективность реше­ ния будет складываться из эффективности решения задач каждого эта­ па, поэтому рассмотрим каждый этап подробнее.

Предварительная обработка задачи. Основной целью данного этапа является анализ исходных условий задачи, выбор метода реше­ ния и приведение задачи к виду, удобному для решения выбранным методом. В некоторых случаях размерность задачи может быть умень­ шена проверкой на явное доминирование [см. (5.8) и (5.20)3. Подробно вопрос целесообразности такой проверки рассмотрен в приложении III.

Оптимизация. Метод НФ не имеет строгих формальных обоснова­ ний, поэтому можно привести только качественные доводы, которые способны показать его логическую целесообразность. При наличии одного ограничения метод НФ дает точное решение, так как вырож­ дается в метод ПП, имеющий строгие формальные основы. В своей эвристической основе и по структуре алгоритмов оба эти метода имеют много общего.

Метод ПП обеспечивает последовательное распределение ресурса

в соответствии с максимальным элементом вектора для каждого шага процесса. Это приводит к уравниванию частных производных (их аналогов), т. е. к выполнению формальных условий оптимальности. Метод НФ обеспечивает течение аналогичного процесса, но при нали­ чии многих ограничений (m > 1). На каждом шаге процесса решения задача со многими ограничениями сводится к задаче с одним ограни­ чением. Однако поскольку на каждом шаге процесса мы имеем дело только с одним (дефицитным) видом ресурса, то мы не имеем права утверждать, что условия оптимальности будут выполнены точно. Приведенная аналогия не является строго эквивалентной и поэтому не обладает доказательной силой. Она способна лишь несколько уве­ личить правдоподбность суждений, чего, вообще-то говоря, недоста­ точно.

Что касается объема вычислений, то он оценивается формулой mtid, в которой пока неясна величина d (число шагов процесса). Оцен­ ку снизу для числа шагов можно получить в предположении, что толь­

Более сложно получить оценку сверху (dmax), поскольку это фак­ тически эквивалентно оценке самого решения. Действительно, после гв-нормировки можно записать:

(5.40)

откуда и следует эквивалентность.

* Предполагается, что на каждом шаге дается единичное приращение только одной переменной.

190

Тем не менее, верхние оценки (довольно грубые) для некоторых предельных условий можно дать формулами:

где /„ — подмножество невырожденных переменных.

Первая из них соответствует случаю, когда большинство коэф­

фициентов 4 В) примерное 2 —5 раз отличаются один от другого и й/;в>> > 0 для всех і , / .

Другая формула отвечает тому предельному случаю, когда для

невырожденных переменных матрица ||а{[ в) fimnможет быть путем только перестановки столбцов и строк представлена в виде матрицы, близкой к диагональной (в каждой строке и столбце только один значащий элемент). Но поскольку подмножество / н до решения задачи неизвест­ но, то, полагая, что число невырожденных переменных н равно числу базисных переменных (h ä min {т, п}), можно (не менее грубо) оце­

нить и dmax, т а к ЧТО

Если среди коэффициентов ан будут попадаться и отрицательные, то при прочих равных условиях нельзя ожидать уменьшения продол­ жительности процесса, т. е. d может увеличиваться. ■?

Из (5.41), (5.39) видно, что при увеличении b в г раз количество шагов увеличится во столько же раз. Если при этом в г раз уменьшить Сі (і = 1 ,..., п), то эквивалентность задачи не будет нарушена, однако

шаг дискретности (оптимизации) уменьшится в г раз. Решение после­ довательности задач ЛП при различной дискретности шага позволит определить приемлемую его величину.

Следует отметить, что в связи со слабой (линейной) зависимостью объема счета от размеров задачи быстродействие не будет ограничи­ вающим фактором. Таким фактором, по-видимому, будет емкость ОЗУ, которая практически полностью будет занята для хранения исходной информации.

Резерв для повышения размерности — вывод части исходной информации во внешнюю память ЭВМ или разработка методов( ее компактного хранения и переработки.

Оценка решения. Метод свертки ограничений (СО). Неудовлетво­ ренность отсутствием строгих формальных обоснований метода НФ или теоретической оценки его точности вынуждает искать приемы и методы, позволяющие контролировать получаемое решение. Такой контроль может осуществляться известными методами ЛП, но поскольку речь идет о задачах больших размерностей, то классические методьГмогут быть полезны лишь для набора статистики в пределах их возможнос­ тей. Кроме того, если было бы возможно и каждый раз необходимо про­ водить проверку классическими методами, то терялся бы смысл приме-*

* Суммируются н наибольших членов.

191

нения других методов, поэтому будем полагать, что известные точные методы для такой проверки не могут быть использованы*.

Идея получения оценки, лежащая в основе метода свертки огра­ ничений, состоит в замене исходной задачи ЛП задачей с той же целе­ вой функцией, но с одним ограничением, выбранным из их исходного множества J т, и усилении выбранного ограничения путем последо­ вательной линейной комбинации с остальными. Идею метода свертки

хг

и получения некоторых соотношений удобно рассмотреть на конкрет­ ном примере задачи ЛП.

Имеем задачу:

На рис. 17 показана геометрическая интерпретация задачи. Ни одно из трех ограничений совместно ,с осями в положительном квадран­ те не образует замкнутой области допустимых решений. Выбор любого ограничения дает неограниченное решение (L->-oо). Тем не менее, вы­ берем наиболее сильное ограничение. Под сильным будем понимать такое г-е ограничение (/ = г), которому соответствует наименьшее значение целевой функции Lp

* В такой оговорке отпадает необходимость, например для алг. 5.2, возможности которого в смысле размерности превышают возможности класси­ ческих методов.

192

Из (5.44) видно, что сильное ограничение следует искать в первую очередь среди тех ограничений, которые не содержат нулевых или,

тем более, отрицательных коэффициентов aft.

Если во всех ограничениях содержатся и отрицательные члены, то условие (5.44) проверяется только для этих членов. В нашем приме­ ре сильным ограничением является ограничение II, поскольку

Чтобы усилить ограничение II, необходимо сложить его с таким из оставшихся ограничений, которое позволит избавиться от нулевого коэффициента . Складывая ограничения I и II, получим новое:

На рис. 17 ему соответствует полуплоскость и граничная линия А'В". Новая область допустимых решений ОА'В" целиком включает в себя прежнюю, при этом оценка решения задачи существенно улучши­ лась (было L -*■ оо):

ний, соответствующих этим ограничениям) на угол Ѳ'. Однако если

оценка совпала бы с точным решением задачи.

Величина X выбирается так, чтобы максимально усилить огра­ ничение (5.48). Таким значением является = 2/3, дающее новое ограничение:

При этом ограничении получаем по крайней мере два равнознач­ ных решения:

Ху = 6, х2 = 0 и Ху = 0, х2 = 3,

для которых значение целевой функции одинаково и равно 12:

* Вместо нулей можно взять сколь угодно малую положительную величи­

Дальнейшего усиления полученного ограничения достигнуть не­ возможно, так как любая линейная комбинация его с ограничением III может привести только к ухудшению оценки (если XФ 1), а поэтому

задачи (5.43) к эквивалентной задаче с одним ограничением и прежней целевой функцией:

L (X) = 2х\ -f 4хо -*• шах,

включает всю область допустимых решений исходной (см. рис. 17), то, помимо того, что оптимальный вектор решения исходной задачи является оптимальным для обеих задач (точка С является граничной точкой областей решения обеих задач), эквивалентная задача имеет еще бесконечное множество других векторов (отрезок AB), с таким же значением целевой функции. Из всех этих решений нас будут интере­ совать вырожденные решения (точки А и В). Вырожденное решение легко получается методом ПП, как решение задачи ЛП с одним ограни­ чением. Естественно, напрашивается идея последовательного объеди­ нения исходной системы ограничений (идея свертки ограничений) и перехода к эквивалентной задаче*. Остается найти подходящий алго­ ритм, реализующий идею последовательного присоединения на каждом (t-м) шаге процесса одного из ограничений исходной задачи с таким множителем б = (1— X), чтобы оценка решения по целевой функции постепенно улучшалась или по крайней мере не ухудшалась.

Прежде чем перейти к поиску такого алгоритма, полезно обратить внимание еще на один факт, вытекающий из рассмотренного примера.

причем величина, стоящая справа, равна искомому максимальному зна­ чению оптимизируемой функции. Случайные ли это совпадения, нам еще предстоит выяснить, но сам факт достаточно интересен и зовет к дальнейшему анализу. Прежде всего введем некоторые понятия и обозначения.

Ограничение, получаемое на t-м (t= 1 ,..., d) шаге процесса в ходе линейного комбинирования с другими, будем называть текущей сверт­ кой (t-сверткой). Его коэффициенты обозначим буквой а\1)(і = 1,...,п) с одним нижним индексом (номер переменной). Как обычно, верхний

* См. приложение IV.

** ц = L/b назовем коэффициентом нормализации.

194

Приведение Дсвертки к виду целевой функции будем называть ее нормализацией, а полученную свертку — нормальной [L-сверткой,

см. (5.52)1.

Формальные записи всех сверток будем различать только по верх­

ним индексам при коэффициентах а\1), a\d), a\L) в формуле (5.53).

В качестве начальной свертки (0-свертка) будем брать свертку с

нулевыми коэффициентами (а(г0) = 0). Это окажется удобным в смысле общности Получаемых далее формул. Наиболее сильному ограничению исходной задачи присвоим индекс / = 1. Гиперплоскость, соответ­ ствующую уравнению целевой функции, будем обозначать ГЦФ (см. рис. 17, AB). Аналогично гиперплоскость ограничивающей функции (свертки) обозначим ГОФ (см. А' В" и формулу (5.53) со знаком = ).

В заключение отметим, что пример (5.43) рассматривался только при горизонтальной нормировке коэффициентов, однако далее иногда будем полагать, что задача имеет полную нормировку [см. (5.17)1. Это упростит некоторые операции алгоритма.

Анализ начнем с выяснения факта, случайными ли были совпаде­ ния, отмеченные при сравнении уравнений ГДФ и ГОФ [т. е. (5.43) и (5.52)1? Из рисунка видно, что процесс свертывания ограничений пред­ ставляется как последовательный поворот ГОФ вокруг точки С до сов­ мещения с ГЦФ. Но если две плоскости совмещены, то должны сов­ пасть и соответствующие им аналитические выражения по крайней мере в части невырожденных (ненулевых) переменных.

Следует выяснить, как обстоят дела в отношении остальных пе­ ременных.

Этот вопрос проще всего выяснить с помощью примера, в котором количество переменных больше числа ограничений ( п > т), а следо­ вательно, будут и вырожденные переменные. Для примера (5.34) по­ лучены свертки:

П

/= 1

П р и м е ч а н и е . Множитель %, определяющий угол поворота ГОФ, равен 0,504, а коэффициент нормализации г\ = L : Ь, связывающий величины

Сравнивая (5.55) и (5.34), видим, что совпадение функций произо­ шло только в отношении подмножества невырожденных, переменных ( г £ / н), а вообще мы получили:

Чтобы этот частный результат приобрел требуемую общность, необ­ ходимо быть уверенным в том, что при оптимальном решении все под­ множество невырожденных переменных соответствует условию (5.57); все остальные переменные не могут соответствовать иному, чем (5.58), условию.

Положительный ответ на первый вопрос вытекает из необходимос­ ти совмещения ГОФ с ГЦФ при оптимальном алгоритме получения L-свертки, а следовательно, и из почленного равенства их аналити­ ческих выражений для і £ / н:

что свертывание ограничений начинается с усиления 0-свертки, путем последовательного линейного комбинирования с каждым из ограниче­ ний, начиная с наиболее сильного (/ = 1). Весь d-шаговый процесс удобно при этом представить в виде циклов. Под циклом будем пони­ мать т шагов процесса, в результате которых все т ограничений, на­ чиная с первого, будут проверены на возможность усиления ^-свертки.

*Далее, полагая, что задача гв-нормировки (с* = с), индекс і при с* опускаем.

**j — k —индекс ограничения, присоединяемого к свертке на t-м шаге про­

цесса.

196

b{d) = b,

и, следовательно, пересчитывать правую часть ^-свертки в ходе про­ цесса не потребуется (задача гв—нормирована).

Величину Xt будем определять из условия максимального уси­ ления ^-свертки [см. (5.44)] на каждом шаге процесса, т. е. из условия:

Когда будет получена свертка, которую уже практически не уда­ ется усилить (d-свертка), процесс заканчивается**, а соответствующее

ей значение m.ax Lt определит верхнюю оценку решения и будет одина­

ковым для всех невырожденных переменных (г £ /„). Теперь можно от­ ветить и на второй вопрос — всегда ли будет при оптимальном реше­ нии верно условие (5.58)? — Всегда.

Действительно, допустим, что для некоторой (г = г) вырожденной переменной (г(£ /„) вместо (5.58) имеем:

В первом случае это означало бы, что ГОФ и ГЦФ совпадают так­ же по координате хг и, следовательно, г — невырожденная перемен­ ная. Это противоречит условию г ф І ж, и потому первое предположение недопустимо. Второе условие тоже недопустимо, так как, согласно

но если предположить, что a[L) <. с, то из (5.57) следует, что

г

или с учетом (5.56)

(5-67)

*Считая 0-свертку слабее любого ограничения, будем всегда иметь Xj = 0.

**Далее увидим, что строгое оптимальное решение может быть получено

только при d ОО.

197

â следовательно:

Но (5.68) противоречит исходному неравенству (5.66) и потому недопустимо.

Теперь видно, что условия (5.57) и (5.58) обладают общностью. Они могут быть записаны в более компактном виде:

Мы довольно подробно остановились на геометрической интер­ претации метода, теперь попробуем подойти к методу СО с формаль­ ных позиций.

Обратимся к анализу величины a\d) (і = 1 ,...,п). Метод СО пред­ полагает, что коэффициенты d-свертки получаются в результате много­ кратного повторения процедуры (5.64), что можно записать в виде функ­ ционального уравнения:

d

где символ R говорит о d-кратном повторении рекуррентной процеду-

/ = 1 d

ры аналогично тому, как символ 2 указывает на необходимость ef-крат- /=і

ного суммирования. Поскольку линейные множители Xt заключены в

/ = 1

Если левую и правую части равенства (5.71) умножить на коэф­ фициент нормализации rj и ввести новую переменную yjy линейно свя­

занную с переменной 5?jD>, то условие (5.69) примет следующий вид:

198

Читатель, знакомый с постановкой двойственной задачи ЛП, воз­ можно, уже заметил, что неравенства (5.73) и принадлежат именно ей. В двойственной задаче минимизируется линейная форма путем выбора вектора Y = {yj}m, но и в методе СО минимизируется линейная целе­

вая функция (5.64) путем выбора вектора Я = {Я ^ , однозначно свя­ занного с вектором Y.

Найдем вектор решения {у}} двойственной задачи. Такое расшире­ ние возможностей метода СО придаст ему самостоятельное значение в решении задач ЛП, но в то же время он не сможет стать сколько-либо опасным конкурентом для метода НФ, поскольку линейное програм­

шей уверенностью можно было его распространить и на решение бо­ лее сложных задач.

Определим компоненты вектора Xt — { Х р } т = {Xjt}* как функ­

ции вектора Я = {h.t}d- Это можно сделать индуктивным методом в со­ ответствии с рекуррентной процедурой (5.70). В табл. 36 записаны

значения линейных множителей Х р и Х р , которые они принимают в процессе свертывания матрицы ограничений на первом и втором циклах

процесса оптимизации. Используемые в таблице записи Я< и ?4Г> линей­ ных множителей будем считать эквивалентными, учитывая связь (5.60) между индексами. Вторая запись в данном случае более удобна. Вели­

чиной б*Г). обозначается дополнение множителя ЯД7) до единицы:

в ходе которого 0-свертка комбинируется с первым (наиболее сильным ограничением в соответствии с (5.64). Так как 0-свертка не способна усилить какое-либо ограничение, то АД1’ = 0 (т. е. б)1’ = 1).

На втором шаге первое ограничение войдет в ^-свертку с суммар­ ным множителем б)1) АД1’, а второе—-с множителем б^1’. Поскольку пер­ вые два ограничения уже вошли в £-свертку, а сама £-свертка на 3-м шаге войдет в очередную свертку с множителем ЯД1*, то и коэффициенты при а)Ѵ указанных ограничений следует домножить на величину Яз1’. Третье ограничение включается в свертку впервые и потому умножа­

199