книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

ставляется возможным привести достаточно общую оценку точности алгоритма. Мы располагаем лишь качественными доводами и анало­ гиями, на которые обращали внимание читателя и которые говорят о логической целесообразности алгоритма. В дальнейшем, после зна­ комства с методом последовательных приращений, в § 4.1(5) нам пред­ ставится возможность получить метод точного решения данной зада­ чи для случая равноэффективных средств и сравнить его с алг. 3.1. Это позволит повысить уверенность в хорошей точности алг. 3.1. Однако, несмотря на большую по сравнению с предыдущими зада­ чами ограниченность в получении оценок погрешности, мы и сейчас имеем возможность рассмотреть один частный случай, который дает некоторое представление о точности алг. 3.1 или, по крайней мере, о порядке возможной погрешности. Этот случай соответствует ус­ ловиям (на каждый объект по одной цели):

Для расчетов при j = I формула (3.28) непригодна (и не нужна).

100

Если обозначим Лгсог = A'h то можно заметить, что задача § 3.1 вырождается в задачу § 2.1, эффективно решаемую алг. 2.1. Остается сравнить решение, полученное на его основе, с решением, получаемым согласно алг. 3.1. Оценки будем вести при том предположении, что все средства равноэффективны и, следовательно, точное решение за­ дачи в этом случае обеспечивается методом МЭ, когда:

Для оценки погрешности применим подход, использованный в § 2.1 (3). Оценим точность решения, обеспечиваемую каждой из формул (3.11) и (3.14). При условии (3.31) из (3.11) и (3.14) соответственно следует:

Подставляя (3.34) в формулу (3.17), видим, что оценка погреш­ ности в этом случае сводится к оценке среднестатистической погреш­ ности алг. 2.1 [см. § 2.1(3)] и, следовательно, она не превышает 3% от оптимального решения.

Для оценки погрешности при уточненном виде весовой функции

[см. (3.14)] подставим (3.35) в (3.17):

Условия сбоя по аналогии с (2.29) запишутся в виде системы не­ равенств:

[ Аг (у+) > А, (у+\,

іАг (у о )< А, (у0).

Сучетом формул (3.33) и (3.36) после элементарных преобразова­ ний условия (3.37) приводятся к виду, удобному для анализа:

Рг>РіА,

Р г <Р і А

где, как и прежде, через А обозначено А\ІА'Г.

Перемножая диагональные члены неравенства, видим, что сбои

Поскольку каждая из дробей а и b может быть больше или мень­ ше единицы (в зависимости от соотношения значений величин рхи pr), то необходимо оценить погрешность в случаях, когда рТ< і р 1 и рг І> > Рі. Полагая, что величины рхи ртслучайны и равномерно распреде-

101

лены на отрезке 0 1 , указанные случаи можно считать равновероят­

ными*. Суммарная погрешность тогда будет равна

где ß<’> и ß<2) — относительные погрешности в первом и втором слу­ чаях.

Из (3.41) видно, что максимальная область сбоя (3.39) будет иметь место при Л4 = 1 , когда

(М 2 )

При М = 1 условия сбоя (3.38) запишутся в виде:

_ Из (3.43) видно, что при pr <С pt сбои возможны только в случае Л < 1. На рис. 5 показана область совместного выполнения условий

* В §2.1(3) рассматривался только один случай, так как во втором слу­ чае (рг < рі) погрешности не могло быть.

102

(3.43). Вероятность сбоя, рассматриваемая как отношение площади треугольника ОБЕ к площади OLC, будет равна

на основании (3.44) и (3.45) записать выражение среднестатистической

* Отношение pi!pT заменено его средним значением в области сбоя, т. с. значением на линии OR треугольника ОБЕ (см. рис. 5).

103

Сравнивая (3.49), (3.50) с условиями (2.29), можно заметить, что они различаются только обозначениями. Это дает возможность не по­ вторять все выкладки, а ограничиться ссылкой на § 2 . 1 (3 ) и замеча­

нием о том, что полученную там погрешность следует удвоить учи­ тывая условие рт> рг. Тогда получим ß<2) « 0,06.

На основании рассмотренных двух случаев по формуле (3.40) мож­

но вычислить оценку верхней границы суммарной среднестатистиче­ ской погрешности:

у+, так как Ahl ж Аti- Сбои в конце процесса меньше влияют на точ­

ность, так как в конце процесса распределяются оставшиеся менее эффективные средства.

Рассмотренный частный случай (цг = 1 ) интересен тем, что нет

пользовании формулы (3.14), поэтому ее применение будет вполне оправданным, тем более что это не влечет за собой существенного увеличения требуемого объема вычислений.

В заключение следует отметить, что проведенную оценку погреш­ ности нельзя считать достаточно общей, так как условие п- — 1 ,

удобное с точки зрения оценки влияния фактора (3.13), игнорирует влияние факта нестрогой эквивалентности функции (2.149).

Представление о требуемом объеме вычислений можно получить на основании ориентировочных оценок числа элементарных операций,

Использование формул (3.11) или (3.14) относительно мало влияет на объем вычислений, во всяком случае эта разница в объемах вычислении определяется с помощью коэффициентов пропорциональности при (3.52), но не показателями степеней при М и N. Некоторое увели­ чение объема вычислений (добавочные слагаемые в (3.52)) получается при попытке улучшить решение согласно условиям (3.30).

4. Некоторые обобщения. В ходе последовательного распределе ния средств можно производить проверку соблюдения различных до­ полнительных ограничений на переменные величины или целевую функцию и принимать соответствующие меры в ходе их выполнения, см. § z.l(4). Однако при этом следует иметь в виду, что накладывание этих ограничений теперь может ухудшить результат.

104

Чтобы уменьшить отрицательное влияние на точность решения накладываемых на переменные дополнительных ограничений, эти ограничения должны учитываться при вычислении и пересчете весо­ вых коэффициентов, в частности величин b^- Полученное решение должно быть проанализировано и по возможности улучшено извест­ ными методами [см. (3.30), § 2.1(4) п. г)].

5. Примеры расчета. В табл. 13 и 14 приведены исходные условия для двух примеров. Каждый из них решен двумя способами, с при­ менением весовых коэффициентов, рассчитанных по формулам (3.11)

и (3.14). Для первого примера оба способа дали одну и ту же последо­ вательность распределения средств:

и значение целевой функции F (у) = 140,0. В табл. 13 решение выделе­ но жирным шрифтом. Полученное решение согласно (3.30) улучшить не удалось.

105

шах

106

13?

Второй пример по исходным данным отличается от первого толь­ ко тем, что все элементы матрицы Цр^-Ц для второго столбца умень­ шены до 0,1. Этим было усилено влияние фактора, отмеченного усло­ вием (3.13).

Решения, полученные на основании формул для весовых коэффи­ циентов (3.11), (3.14), и соответствующие им значения целевой функ­

женное решение имеет погрешность 2,4% и укладывается в пределы полученной оценки погрешности. Решение с помощью формулы (3.11), дало, как и следовало ожидать, худший результат (ß2 == 4,55%).

Из табл. 15 для второго шага процесса, на котором происходит неоптимальное назначение средства k = 3 , видно, что отношение зна­

чений соответствующих элементов матрицы ||AftZ|| равно, примерно, двум, поэтому если предположить, что изменение погрешности про­ порционально изменению элементов Ahl, то в момент выполнения ра­ венства А 31 = Аз* погрешность не превысила бы 5%.

Рассмотренные примеры являются частным подтверждением спра­ ведливости полученных представлений о точности алг. 3 .1 .

§ 3.2. Оптимизация системы с усложненной двухиндексной целевой функцией

аддитивно-мультипликативного вида

при независимых элементах системы

1. Постановка задачи. Данная задача является обобщением пре­ дыдущей и может быть записана в следующем виде.

Требуется найти матрицу ||у°/||л<лг, доставляющую минимум функции вида:

* При Дзі <С Д34 решение становится точным.

108