книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

физических интерпретациях, полагая, что этот пробел может быть легко восполнен читателем, если он обратится к работам [46—49].

Для дальнейшего изложения материала ограничимся следующей трактовкой задачи.

Имеется п предприятий. Прибыль, получаемая к некоторому мо­ менту времени от г'-го предприятия при вложении в него части ресурса (бюджета) xt ед., задана функцией Ft (xt) и не зависит от вложений бюджета в другие предприятия. Оптимальное распределение бюд­ жета, ограниченного сверху величиной Ь, между предприятиями (опре­

деление оптимального вектора X = {х;}„) состоит в обеспечении

максимальной суммарной прибыли F (X).

2. Метод последовательных приращений и алгоритм решения з дачи. Метод ПП является одной из многих модификаций градиентных методов оптимизации нелинейных функций. От метода МЭ, изложен­ ного в § 1.2(1), он отличается выбором длины шага оптимизации. Для метода МЭ этот шаг фиксирован. Специальный выбор длины шага обес­ печивает ускоренное движение к глобальному максимуму и уберегает от «локальных опасностей» путем их «перешагивания». Метод ПП мож­ но рассматривать как некоторое обобщение метода скорейшего спуска (подъема) для более широкого класса целевых функций [48, 41].

В основе метода ПП, как и в основе метода ДФ, лежит эквивалент­ ная замена оптимизируемых функций:

(4.7)

Эквивалентность функций F (X) и v (X) достаточно очевидна, так как величина Ь, ограничивающая общий ресурс, фиксирована. Физи­ ческий смысл величины ѵ заключается в том, что она количественно характеризует собой степень эффективности расходования ограниченного ресурса b (прибыль на единицу затрат). Естествен­ но, что только оптимальный процесс распределения ресурса может

обеспечить максимум величины ѵ (Д), а следовательно, и максимум

функции F(X).

Поскольку функция F (X) аддитивна, то этим же свойством бу­ дет обладать и функция v (X):

130

Так как для оптимизации мы будем использовать процесс последовательного распределения ресурса некоторыми порциями

Ах\п на t-м шаге процесса, то общий ресурс xit выделенный на г-ю ком­ поненту, может быть записан как сумма этих приращений за все d шагов процесса:

По аналогии с (4.10) значение целевой функции F (X), которое она приобретает за d шагов процесса, может быть вычислено как сумма всех ее приращений за d шагов процесса:

1 .1 ) будет состоять в последовательном распределении общего ресурса

порциями AjCf^, величина которых и номер it компоненты вектора Х(і) определяются в соответствии с максимумом эффективности использо­ вания каждой единицы ресурса на каждом шаге процесса.

Оптимальная величина шага* Ах\т) определится из условия

Номер it компоненты текущего вектора Хд), при котором на ^-м шаге процесса достигается наибольшее значение величины ѵ\т), опре­ деляется в соответствии с условием

1 < і < п

* Здесь и далее верхний индекс т будет обозначать не номер шага про­ цесса, а номер сопряженной точки, о чем ниже пойдет речь.

С учетом (4.13) и (4.14) можно записать:

І

Для изложения способа и формулировки алгоритма решения задачи наиболее удобно воспользоваться достаточно общим приме­ ром (рис. 6 ).

Для дальнейшего изложения потребуется понятие выпуклой квер­ ху оболочки кривой Fi (хг). Наиболее полное и наглядное представление о ней можно получить, если кривую Fi (xt) «обтянуть» сверху нитью, закрепленной одним концом в начале координат [46]. Для приведен­ ных функций выпуклыми кверху оболочками являются:

ОAB — для Fu

OCCjD — для F2,

ОЕҢК' — для F3.

132

Общие точки и участки функции и ее оболочки будем называть

сопряженными точками и участками. Из рис. 6 видно, что

5°. Вычислить текущее значение неизрасходованного ресурса:

Данный алгоритм нагляден и прост, однако неудобен для исполь­ зования на ЦВМ. Этот недостаток может быть устранен видоизменени­

строк матриц может определяться по мере необходимости в ходе оптимизации.

133

Матрица (4.20) является обобщенным аналогом матрицы прира­ щений (см. табл. 2 ), однако в связи с изменением величины шага

А х недостаточно указывать только величину приращения. Необхо­ димо каждый раз указывать величину оптимального шага, обеспечи­ вающего это приращение, и среднюю скорость изменения функции

(п/Г') на этом участке, вычисляемую в соответствии с формулой (4.13). Табл. 16 представляет собой пример совмещенной матрицы (4.20), вычисленной для сопряженных точек и участков функций Ft (хг). Приведем пример вычисления элементов матрицы (4.20):

0 <lV;l = tgß‘11>= M j i = i | = l l , 9 4 (рис.6 ).

Верхний индекс (т = 1) означает порядковый номер сопряженной точки, а его наличие говорит об оптимальности величины шага Ах^цК

Поскольку значения сопряженных элементов убывают п о мере увеличения номера строки /, то можно сформулировать алгоритм оп­

тимизации функции F (X), который мало отличается от алг. 1.1, реа­ лизующего метод МЭ, и удобен для расчетов на ЭВМ и вручную.

Алгоритм 4.1 а.

1°. Вычислить элементы совмещенной матрицы (4.20). 2°. Записать начальные значения текущих величин:

= о, і = 1, ..., п, F0 = 0.

3°. На ^-м шаге процесса определить номер ң согласно условию

<Ki<n

9°. Записать решение, вычислить оценку возможной погрешности по фор­

муле (4.26)**, прекратить вычисления (см. п. 10°, алг. 4.1).

Вычисления с помощью совмещенной матрицы особенно удобно вести, когда ограничение (4.2) не является строгим равенством, т. е. когда допускается некоторое отклонение распределенного ресурса X(d) от величины b в обе стороны. Во многих задачах распределения ресурса это допустимо. Часто даже и в технических устройствах по­ добные ограничения не являются жесткими [25].

* Если выбросить пустые клетки в табл. 16, то индекс / будет совпадать с индексом т. Предполагается, что пустые клетки отсутствуют и потому индекс

/опущен, величина т записана в скобках.

**О погрешности см. §4.1(3).

134

Однако как изменится алгоритм, если все-таки ограничение (4.2) жесткое (имеет вид равенства) и не допускает отклонений, или такие отклонения возможны лишь в жестко фиксированных пределах?

Жесткость условия (4.2) приводит к тому, что концы компонент

х°іоптимального вектора Х0 могут не попасть на участки осей ох;, соот­ ветствующие сопряженным точкам кривых Ft (хг). Таким образом, возникает проблема оптимального распределения остатка ресурса АХ, что является потенциальной причиной погрешности. Величина остатка записывается как разность между величиной полного ресурса

135

b и величиной ресурса Х~ при ближайшем к оптимальному сопряжен­ ном решении*, которое удовлетворяет неравенству (4.2).

Формула для остатка ресурса имеет вид:

где Х~ далее будем называть вектором сопряженно-минимального ре­ шения.

Из сказанного следует, что поскольку при жестком ограничении (4.2) оптимальное решение может быть и несопряженным, то алгоритм должен обеспечить заполнение промежуточных («несопряженных») элементов матрицы (4.20), представленной табл. 16. Табл. 17 содер­ жит такие элементы. Для вычисления произвольного элемента ѵд сопряженной матрицы \ѵ}іІ&хп \ можно рекомендовать травило скользящей точки».

Из начала координат по верхней стороне кривой Ft (х{) скользит точка R, пробегая последовательно все значения функции Ft (хг), соответствующие значениям аргумента xt £ {1, ..., b}. За точкой тя­ нется эластичная нить, закрепленная в начале координат. Произволь­ ный/7-й элемент матрицы I од fl определяется как средняя скорость увеличения функции Ft (xt) на участке между скользящей точкой R (xR = /') и ближайшей точкой касания т] нити с кривой Ft (xt) (см. рис. 6 ):

В дальнейшем порядок решения практически не отличается от алг. 4.1а и сводится к последовательной выборке максимальных эле­

личных значений величины b и при жестком ограничении (4.2). Все решения получены на основании табл. 17. Для варианта b = 23 ед. решение в табл. 17 выделено жирной ломаной линией. В табл. 19 показано изменение основных параметров в ходе процесса оптимиза­ ции.

На рис. 7 представлена зависимость изменения максимального значения целевой функции от величины ресурса X, построенная в соот­ ветствии с табл. 18 (кривая решений).

Интересно"отметить, что независимо от вида слагаемых функций Ft (Хі) кривая решений стремится к вогнутой (выпуклой кверху) кри­ вой, причем тем быстрей, чем больше число (п) слагаемых функций Fi (хі). Из рис. 7 видно, что по мере увеличения общего количества

* Под сопряженным решением понимается такой вектор X, концы компо­ нент которого соответствуют сопряженным точкам кривых Fi (хі). Забегая вперед, заметим, что сопряженность решения при алг. 4.1а достаточна для его оптимальности.

136

137

138

ресурса эффективность его использования даже при оптимальном рас­ пределении, как правило, убывает:

При ограничении (4.2) кривая F (X) всегда имеет неубывающий характер, однако если ограничение (4.2) жесткое (равенство), то, на­

чиная с некоторой величины ресурса b" = X, кривая F (X) может убывать (на рисунке сс' — пунктир). Это означает, что концы компо­ нент Хі «вытесняются» (в силу жесткости ограничения) на нисходящие участки кривых Ft (хг).

Рис. 7.

Убывающий характер кривой решений говорит об убывании эф­ фективности использования ресурса. В зарубежной литературе этот

метод ПП, после замены функций Ft (х{) выпуклыми кверху оболочка­ ми, практически не отличается от метода скорейшего спуска (подъе­ ма), оптимальность которого известна. По аналогии с подходом, при­ мененным в § 1.1 (3), можно показать, что алг. 4.1а приводит к удов­

мального вектора Х 0, полученного с помощью выпуклых оболочек, будут соответствовать сопряженным точкам кривых Fi(Xi), то реше­

ние будет оптимальным и для исходной задачи.

■У

Действительно, если предположить, что существует вектор X', который доставляет целевой функции значение большее, чем она имеет при использовании выпуклых оболочек, то придется признать, что это возможно только в случае, если хотя бы для одной компоненты

х'і вектора X' значение выпуклой оболочки будет меньше, чем для

139