книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

задачи и причин погрешности привел к идее обратной нормировки. Ее реализация в алг. 5.2 обеспечила точное решение рассматриваемого примера. Однако важна и сама процедура подхода к идее обратной г-нормировки, так как она сопровождается интересным фактом.

Действительно, влияние на коэффициенты а р и на компоненты

вектора {w*1^ } прямой (5.14) и обратной (5.136) нормировок строго противоположно, причем сути задачи соответствует обратная г-нор- мировка. Значит, противоположная ей прямая г-нормировка могла оказать только отрицательное влияние и, тем не менее, погрешность решения не превысила 5%. Следовательно, если между прямой и обрат­ ной нормировками выбрать что-то среднее, т. е. просто отказаться от промежуточных нормировок, то, по крайней мере, это не должно су­ щественно ухудшить точность алгоритма 5.2.

Отказ от текущей нормировки ведет к тому, что вектор At = = {А ^} не будет изменяться в ходе оптимизации до тех пор, пока не выполнится хотя бы одно из ограничений. В общем случае на ^-м шаге процесса может выполниться сразу некоторое подмножество ограничений АД". Все они должны быть исключены из дальнейшего

Представляется возможность выбирать длину шага (величину при­ ращения Ауц). Длина шага будет определяться условием неизмен­

ности подмножества R t . Нарушение этого условия влияет на век­

тор At и может привести к изменению номера наращиваемой пере­

менной Ун, Чтобы не упустить момент изменения вектора At, длину шага следует выбирать согласно условию

Алгоритм 5.2а.

1°. Вычислить начальные значения текущих величин в соответствии с

232

3°. Вычислить величину приращения Ifй переменной по формуле (5.144). 4°. Пересчитать значения текущих величин:

и алгоритмы были получены без использования каких-либо формаль­ ных посылок и к тому же нет оснований утверждать, что алгоритмы приводят к условиям, достаточным для оптимальности, то нельзя гово­ рить о формальной обоснованности метода и алгоритмов. Отсутствие формальных обоснований вынуждает с осторожностью подходить к получаемым результатам решения каждой конкретной задачи, особен­ но в тех случаях, когда отсутствуют достаточно надежные эксперимен­ тальные данные о работе алгоритмов в конкретных рассматриваемых условиях. Вопросу анализа результатов уже было уделено в §5.1(3) достаточное внимание, поэтому мы только укажем те средства, с по­ мощью которых может быть построена достаточно надежная система проверок, компенсирующая недостаток формальных обоснований.

Прежде всего, это формулировка задачи в терминах двойственной и решение с помощью методов, изложенных в § 5.1 (алг. 5.1, алг. 5.1а). Хорошее совпадение результатов является, как отмечалось, достаточ­ ным условием близости к оптимуму. Формулировка задачи в виде двойственной и решение последней с помощью метода СО позволяет получить не только оценку для L, но и искомый вектор Y0, поскольку, как известно, метод СО дает вектор решения двойственной задачи. В случае неудовлетворительности результата, полученного с помощью

233

алг. 5.2 и 5.2а, полезно попытаться применить их дальнейшие модифи­ кации или доработки, которые могут состоять, по крайней мере, в следующем:

а) По мере увеличения дискретности задачи (это всегда случает­

ся к концу процесса оптимизации, когда величины сР( ий)-* становятся все более соизмеримыми), возникает необходимость возможно более

Формула (5.151) уже в начале процесса может давать результат, несколько отличный от того, который был бы получен на основе (5.143) (если дискретность исходной задачи велика и ал, с<.г) соизмеримы).

шение уже удовлетворенных и исключенных из рассмотрения ограниче­

ний подмножества Rt+i- Однако поскольку все-таки такое нарушение не желательно и временно, то можно ввести «отрицательный стимул», уменьшающий вероятность нарушения ограничений. По аналогии с п. а) «отрицательный стимул» вводится путем уменьшения компонент век­

тора {Л(|+1)}:

и в результате этого нарушается і-е ограничение уже исключенного подмножества R®+i на величину с(1+1) = сР( — ал*, то на эту же ве­ личину [с учетом исходной (5.130) и обратной нормировки (5.136)]

234

Контрольный вариант решения может быть получен за счет сведения задачи § 5.2(1) к задаче § 5.1(1) путем соответствующего вы­ бора ненулевого исходного плана решения, что не влияет на оптималь­

ное решение.

Для сведения задачи §5.2(1) к задаче максимизации §5.1(1)

ал ^5 0 этот вопрос решается несколько проще, в других случаях он остается открытым (во всяком случае сильно зависит от изобретатель­ ности исследователя).

Если все ал ^ 0, то выполнение условия (5.154) гарантирует и не­ отрицательность величин cl. Компоненты г/"сх и решение в этом слу­

235

чае могут быть получены путем последовательных приближений.

Каждое последующее приближение должно иметь компоненты ;/“сх не меньшие, чем в предыдущем случае. Процесс прекращается, если Xj Ф 0 для всех /, и наблюдается хорошая устойчивость решения.

Алг. 5.2а может быть улучшен, если пойти на некоторые жертвы в отношении объема вычислений. Экономичность алг. 5.2а (это будет показано несколько ниже) допускает такую жертву, при этом основ­ ная идея состоит в следующем: величину приращения Ау1( следует

выбирать такой, чтобы lt-e ограничение удовлетворять не на все 100% (см. алг. 5.2а п. 3°), а только частично в надежде, что оно довыполнится автоматически в ходе процесса оптимизации.

Изменение в алг. 5.2а при этом будет состоять в том, что исход­ ные значения ресурсов с\0) следует соответственно уменьшить:

На первом цикле с помощью алг. 5.2а решается эта измененная задача, затем уточняются невязки и получается окончательное реше­ ние на основе того же алг. 5.2а. По-видимому, 1—2 дополнительных цикла исчерпают возможности такой доработки.

Не будем останавливаться на других приемах уточнения и про­ верки решения, однако следует обратить внимание на одну отличитель­ ную особенность алг. § 5.2(2), которую, по-видимому, можно рассма­ тривать как потенциальный источник погрешности. Дело в том, что если алг. 5.1 «игнорирует» ограничения, которые были бы отсеяны в ходе проверки на явное доминирование, то в алг. 5.2 и 5.2а этого не может случиться и, по крайней мере, на первом шаге процесса участвуют все п-ограничений. Указанное обстоятельство позволяет подобрать такие примеры, которые «не удобны» для алг. 5.2 и 5.2а. Улучшить решение можно путем предварительной проверки на явное доминирование. Ограничение с номером г безусловно опускается, если хотя бы для одного і Ф г выполняется условие

а\ У > а § \ І = 1...... т. (5.162)

По объему вычислений алг. 5.1 и 5.2 практически равноценны, так как мало различаются по своей структуре.

трице II а},?) II тп.

Объем счета может быть оценен количеством тп операций деле­ ния (гв-нормировка), не более чем такими же числами операций сло­ жения и числом 0,5я2 делений за цикл. Количество обращений за 1 цикл к внешней памяти может быть оценено сверху величиной 2п. Практически вся память ОЗУ может быть отдана для хранения векто­

ров {А ^}, {с/()}п, что по существу и определяет максимальные раз­ меры задачи. В отношении наибольшего размера решаемых задач

236

алг. 5.2а может успешно конкурировать с алг. 5.1а, реализующим метод СО.

Обладая вычислительным преимуществом (конечность), алг. 5.2а,

не удалось реализовать, но которые важны для практики применения алгоритмов. Эти возможности прежде всего связаны с расширением области изменения величин, составляющих исходные условия задачи §5.2 (1), и состоят в разработке не менее эффективных алгоритмов при условиях, что:

некоторые коэффициенты линейной формы отрицательны

некоторые ап отрицательны (имеется в виду алгоритм типа 5.2а); некоторые сг и bj отрицательны (для алгоритма типа 5.2а). Полезно иметь в виду, что так же, как идеи § 5.1(1) способствовали

разработке методов решения задачи §5.2(1), так теперь и алг. 5.2а может быть применен для оценки решения крупноразмерной задачи § 5.1 (1), когда ап ^ 0 для всех/, і. Задача§5.1 (1) при этом предвари­ тельно сводится к задаче §5.2 (1) путем выбора соответствующего нену­ левого исходного плана. Дело облегчается тем, что здесь мы довольно свободны в выборе исходного плана, если, однако, будем помнить об условии (5.154). Даже существенное отклонение исходного плана от оптимального решения не грозит значительным увеличением объема вычислений.

5. Примеры расчета. В табл. 41 в первой рубрике записаны все исходные условия задачи ЦЛП. Можно заметить, что задача является двойственной по от­ ношению к задаче, записанной в табл. 38. Единственное наше вмешательство заключается в том, что мы уменьшили шаг дискретности задачи в 10 раз, по­ множив все коэффициенты сі на 10 и на столько же поделив bj.

Величину приращения (Аух = 2) мы выбираем, руководствуясь личным опытом, в то время, как алг. 5.2 гарантирует стандартное приращение (в данном случае — единичное).

Далее уточняются остатки ресурсов и вычисляется текущее значение це­ левой функции по формулам (5.141), но с учетом длины шага (величины прираще­ ния). Так, новые ненормированные значения ресурсов с(г1) вычисляются путем

алгебраического вычитания удвоенного (так как Аух = 2) значения элементов щг первого столбца рубрики 1 (t = 0) из элементов крайнего правого столбца

П р и м е ч а н и е . Заметим, что величины c)1J вычисляются для второго

шага процесса (t = 2), хотя верхний индекс равен единице. Такое «отставание» на единицу связано с тем, что на 1-м шаге процесса брались начальные значения величин с'0’ с нулевым значением верхнего индекса.

Далее, если еще не все ограничения выполнены (контроль осуществляется по полученному правому столбцу: не все с(2) < 0), то производится обратная

237

Таблиц а 41

239

г-нормировка коэффициентов aj?’ по формуле (5.142). Например:

Дальше процесс повторяется, пока не выполнятся все ограничения. Помере выполнения ограничений они выбывают из рассмотрения.

Весь процесс завершен за 7 шагов (d = 7), в то время как при единичных

ния, поскольку и без нее оно было бы оптимальным. Более того, «запас точности»

Четвертое ограничение при этом удовлетворяется и выбывает из дальнейших

ментов последней строки рубрики t = 2 вычесть соответствующие элементы

записано в предпоследней строке таблицы.

более компактную форму записи вычислений. Вариант такой записи представлен табл. 43. Эту таблицу можно получить из табл. 42, если все вектор-столбцы

повернуть на 90° против часовой стрелки и табл. 42 сжать по вертикали. Табл. 43 одновременно демонстрирует схему такой записи и доработку алг. 5.2а,

240

Т а б л и ц а 42

241