книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Согласно (5.18) мы получили с = 3 и нормировали задачу по вертикали

— см. вторую рубрику табл. 39). Дальнейшие расчеты практически соот­ ветствуют рассмотренному ранее примеру, за исключением того, что не вычис­ ляется вектор {о ^ }п.

Приращение компонент искомого вектора решения на каждом шаге про­ цесса производится в соответствии с минимальным (по строке) из всех наибольших

(по столбцам) элементов а согласно (5.19). Соответствующие элементы в табли­

це выделены жирным шрифтом, а минимальные из них обведены квадратами. г-нормировка на каждом Дм) шаге осуществляется путем умножения ко­

каждом шаге выбирается так, чтобы пересчитывать минимальное число строк.

Как и ранее, величина &(Д соответствующая приведенному ресурсу, выделена шрифтом в правом столбце.

После в-нормировки условия исходной задачи (рубрика 1) необходимы только затем, чтобы производить пересчет остатка ресурсов и уточнить условие (5.27), гарантирующее возможность приращения той или иной переменной без нарушения ограничений.

На первом шаге переменной х1 дается приращение 4 ед., поэтому пере­ счет ресурса проводится согласно формуле (5.33). Величина приращения Ахі на каждом шаге выбирается «неформально», скорее интуитивно. Приращение может быть тем больше, чем сильнее выделенный квадратом элемент отличается от остальных, выделенных шрифтом элементов, и чем меньшими порциями рас­ ходуется ресурс при единичном приращении данной переменной.

По мере убывания ресурса следует более осторожно его расходовать, по­ скольку алг. 5.1 не предусматривает перераспределений. Избыточное (по срав­ нению с оптимальным) увеличение той или иной компоненты хі ведет к погреш­ ности. Погрешность частично может быть погашена, так как процесс решения обладает марковским свойством и является саморегулирующимся.

В целом вопрос обоснования и формализации процесса выбора величины приращения ждет своего решения [см. (5.32)].

Некоторого сокращения объема счета в сравнении с предыдущим примером мы добились благодаря тому, что отрицательные элементы йл, как и нулевые, не пересчитывали.

По мере убывания ресурса ввиду условия (5.32) накладывается запрет на использование некоторых переменных. С такими случаями мы встречаемся, начиная с шага t = 7. Для ограничения / = 3 (оста­ ток Ь37~( 1>=- 2) видим, что третий вид продукции не может выпускаться, так как (а33 = 7) > 2 * (см. рубрику 1 табл. 39), а следовательно, и вы­ числять элементы третьего столбца нет необходимости. Вместо некоторых других элементов также ставится прочерк, так как они явно не входят в число «активных» (могущих влиять на решение) — это усваивается после приобретения небольшого навыка счета.

ПА

следние строки табл. 39). Невязки (неиспользованные остатки ре­ сурсов) составляют величины:

{б/12>! — {4; 2; 0; 94; 1; 142}.

Внецелочисленной задаче ЛП количество нулевых невязок всегда равно числу ненулевых (базисных) переменных, в ЦЛП это не­ обязательно.

Взаключение § 5.1 (5) приведем пример, иллюстрирующий неко­ торые детали решения с помощью МНФ задач ЦЛП повышенной раз­

мерности.

В табл. 40 с помощью датчика случайных чисел выбраны исходные ве­ личины задачи ЦЛП размера т X п = 5 X 50. Числа от 0 до 9 набраны равно­ вероятно.

Поскольку матрица ||а^|| имеет большое удлинение ( 5 0 : 5 = 10), мож­ но ожидать, что будет целесообразна проверка на доминирование. Исходя из (8) приложения III и двукратного уточнения по формуле (9), найдем ожидаемый размер усеченной матрицы ЦаугЦтог:

5 0 — 1

Следуя рекомендациям, данным в конце приложения III, разместим столб­ цы матрицы в порядке убывания величин с*. Внутри каждой подгруппы сі = = const проводится проверка на доминирование. Выпавшие столбцы отмечены внизу крестиками* . Далее путем в-нормировки (взято с = 9) все столбцы объе­ диняются в одну группу и каждый столбец справа сравнивается с остальными, начиная с левого. Пять крайних правых столбцов отсеиваются без особой про­ верки, так как они не содержат элементов, меньших девяти, в то время как край­ ние левые столбцы не содержат элементов, больших девяти.

Наиболее экономную проверку отсеивания следует вести в следующем порядке.

В очередном справа (1 = 43) столбце находим наименьший элемент (нуль в строке / = 4) и сравнение ведем только с теми столбцами, которые содержат в этой же строке число, не больше нуля (т. е. со столбцами / = 2; 12; 40). Сравнение с указанными столбцами позволяет решить вопрос, оставить ли проверяемый столбец или вычеркнуть. В данном случае столбец і — 43 не выдерживает конку­ ренции со столбцом і = 2. Если в столбце (например, і = 42) имеется несколько достаточно малых по величине элементов (/= 1 и 3), то для каждого такого эле­ мента можно найти такое подмножество индексов і (следуя вдоль соответствую­ щей строки), элементы которых будут не больше соответствующих элементов в сравниваемом столбце. Далее сравнение следует вести со столбцами, образую­ щими пересечение найденных подмножеств. Для 1-го и 3-го элементов столбца і = 42 указанными подмножествами, с учетом ранее введенных обозначений, будут (стр. 186):

Так, как пересечением этих множеств является лишь сам столбец і = 42 ( А П / . = {42}), то его не с чем сравнивать, а потому он и не может быть отсеян.

* Стрелками указаны доминирующие столбцы (см. 5.20).

227

То, что было описано, практически осуществляется лишь одним скользя­ щим взглядом: проверяется, нет ли столбца, в котором на 1-ми 3-м местах на­ ходятся нули. Если нет, то столбец і = 42 следует считать «активным», не под­ лежащим отсеву.

В результате такой проверки были удалены столбцы, против которых стоят крупные точки. Итого осталось 22 переменных. Дальнейший ход решения уже подробно иллюстрировался на примерах, поэтому мы только обратим внимание

читателя на некоторые детали.

ременной і = 6.

Весь процесс счета состоял из 8 шагов, причем на первом шаге было дано

приращение Ахв = 10 ед. и мы были недалеки от ошибки, так как х% = 12. Решение, полученное при работе с усеченной матрицей, записано в пред­

последней строке табл. 40 (L = 189).

Далее, продолжив решение с отсеченной матрицей, найдем окончательный

ответ (L = 194), записанный в нижней строке. В самом крайнем правом столбце записаны соответствующие ему невязки.

Решение, полученное методом отсечений (Гомори), обеспечивает практиче­

ски тот же ответ (L — 195 и небольшое различие в компонентах х ?)•

Случайный характер рассмотренных трех примеров и оптималь­ ность всех полученных решений являются весомыми доводами в пользу МНФ, поскольку совмещение этих трех событий при плохом качестве алгоритма маловероятно. Тем не менее, по аналогии с § 2.1 (3) пра­ вомерна постановка вопроса о максимально-возможной погрешности.

Подбор специальных примеров, обеспечивающих плохую работу алг. 5.1, анализ условий, ведущих к этому, и улучшение алгоритма без существенного усложнения — это основное направление исследова­ ний данного вопроса.

Другое не менее важное направление — обобщение метода НФ для решения более широкого класса задач ЦЛП (bj ^ 0 и т. д.).

§ 5.2. Двойственная задача линейного

программирования и метод нормированных функций

1. Постановка задачи. Под двойственной (сопряженной) задачей ЛП в целочисленном ее варианте будем понимать обычную постановку сопряженной задачи ЛП с добавлением условия целочисленности переменных. Совпадение экстремумов прямой и сопряженной задач ЦЛП теперь следует уже рассматривать как явление случайное, хотя по мере уменьшения шага дискретности их результаты все более будут сходиться к решению задачи ЛП без условия целочислен­ ности.

Займемся поиском целочисленного вектора К0 = {у°}т, до­ ставляющего минимум функции вида:

тт

228

Возможные интерпретации задачи и область ее применения хоро­ шо известны, поэтому приведем только одну, достаточно общую ее физическую трактовку как необходимую основу для анализа задачи, разработки метода и алгоритмов решения.

Будем считать, что существует несколько (теперь п) видов сырья. Для производства одной неделимой единицы продукции /-го вида требуется ац единиц сырья г'-го вида, при этом производственные за­ траты (издержки) составляют bj единиц. Предприятие выполнит план только в том случае, если израсходует в целом сырья і-го вида не менее заданной нормы сг. Необходимо для выпуска выбрать такой ассор­ тимент продукции из т ее видов и такое количество продукции каж­ дого вида, чтобы суммарные производственные издержки L были мини­ мальны, а план по каждому виду сырья был выполнен (перевыполне­ ние допустимо).

2. Метод и алгоритмы решения. Исходя из физической сути задачи и следуя примерно тем же рассуждениям, что и в § 5.1 (2), мы придем к выводу, что величину ct по каждому виду сырья целесообразно нор­ мировать, чтобы в дальнейшем иметь дело с приведенным ресурсом с. Нормировка производится по формуле:

Первым интуитивным побуждением, возникающим в поисках реше­ ния, является стремление на основе аналогии применить для оптими­

в момент нарушения хотя бы одного ограничения, а в момент выполне-

нения всех ограничений. Применение такого алгоритма в ряде случаев обеспечивает удовлетворительный результат, однако формальное применение аналогий без учета специфики задачи чаще приводит к отрицательным последствиям. Нужен содержательный анализ.

Основная особенность данной задачи по сравнению с § 5.1 (1) заключается в том, что если там на каждом шаге процесса для каждого вида продукции существовал свой, как правило, один вид дефицит­ ного [см. (5.11)] ресурса, который и являлся предметом наших забот, то теперь нас должен интересовать каждый вид ресурса, так как про­ цесс не может быть окончен, если не будет исчерпан необходимый ми­ нимум сг по каждому виду ресурса. Это означает, что на каждом шаге нас должен интересовать суммарный расход г-нормированного ре­ сурса всех видов, приходящийся на единицу издержек, тогда:

229

Величины а/г-І ) вычисляются по формуле (5.136).

По физическому смыслу величина w f \ несмотря на некоторое структурное'различие, аналогична величине ѵР [см. (5.10)]. На каж­ дом шаге процесса приращение Ауі{ нужно давать lt-й переменной согласно условию

Приращению Аylf переменной ylt соответствует такое прираще­ ние целевой функции, что:

Уточнение оставшегося ресурса по аналогии с (5.13) произво­ дится по формуле

Как и в алг. 5.1, следующим этапом является очередная перенор­

мировка коэффициентов ар, однако перенормировка производится по формулам, обратным формулам (5.14) (за исключением первой, исход­ ной г-нормировки):

для всех і, /.

Если в задаче § 5.1( 1) по мере убывания данного вида ресурса от­ носительная важность каждой его единицы возрастала, то в условиях данной задачи по мере убывания і-го вида ресурса относительная важ­ ность каждой его единицы должна убывать вплоть до нуля, если

норма сі по этому виду ресурса выполнена (ср ^ 0). Именно эти осо­ бенности каждой задачи учитываются соответствующими формулами

(5.14) и (5.136).

Преобразование коэффициентов ар по формулам (5.136) далее будем называть обратной г-нормировкой, в отличие от прямой г-нор­ мировки, осуществляемой согласно (5.14).

После каждого приращения вектора решения и перенормировки процесс повторяется, пока не выполнятся все ограничения.

Вертикальная нормировка исходной задачи, как и в случае §5.1 (2) [см. (5.19)], несколько сокращает объем счета, при этом:

230

Алгоритм 5.2.

1°. Определить начальные значения текущих величин в соответствии с (5.138) и (5.18):

2°. На ^-м шаге процесса определить индекс / = lt согласно условию

*1 < / < т

3°. Пересчитать значения текущих величин:

чий алг. 5.2 от алг. 5.1 состоит в переходе к обратной г-нормировке. Как возникла идея обратной г-нормировки?

Анализ задачи §5.2(1) был начат с рассмотрения конкретного при­ мера, записанного в табл. 41 (верхняя слева рубрика). Для его реше­ ния 6ъ\Алформально применен алг. 5.1 (см. начало § 5.2(2)). Полученное

а определяется согласно (5.141), что обобщает алгоритм.

231