книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

1 Aft г I! JVS-

Кроме того,

нет

необходимости

после каждого шага пере­

считывать

значения Л</_1 \

В целом алгоритм будет состоять в следующем.

Алгоритм 2.2а.

aj.°* по

формулам:

1°.

Вычислить начальные значения величин ^°|0) и

М 0)= 0,

N

S .

(2.119)

а<.°>= П

еV ] ,

V=

I

2°.

Вычислить элементы матрицы [|д^[| по формуле (2.118).

3°.

Запомнить пару индексов kt, Ц, определяемую из условия:

At , =

тахДь/,

k f N ^ \

1 = 1 , . . . , S.

( 2 . 120)

kth

k,i

4°.

Пересчитать величины

a7-

по формулам:

galt) _

I

1)

для } Ф It,

[ 1 — Q ^ - l ) ektl для j = l t ,

aj‘>= a^ ~ 1)—

,

j = 1.......

S.

(2.121)

* V

1.

t: = t +

5°.

Проверить условие t <

N:

да — перейти

к п.

2°,

нет — перейти

к п.

6°.

6°.

Вычислить значение

функции

F (б0)

по формуле

(2.117).

7°.

Отпечатать результат (F (б0),

{kf,

k),

t =

1, •••, N,

или || б®;-

прекратить

вычисления.

фиктивный элемент. В качестве фиктивного (S + 1)-го элемента

обо­

значим общий показатель,

или выходной параметр, характеризующий

работу

всей

подсистемы

и подлежащий оптимизации

(надежность

и т. п.).

Примем

As+1 =

1,

=

0, а

для

матрицы

||cov/!U s

по­

ложим,

что

©vs + i==0,

ѵ = 1 ,..., N.

(2.122)

Условие (2.122) означает, что

непосредственное воздействие по

(S + 1)-му элементу

невозможно.

Влияние на величину ^4s+1

осу­

ществляется только через воздействие на другие S элементов системы.

* Индекс (() иногда опускается,

однако

нужно

помнить,

что речь идет

о текущем значении приращения

Аы.

Система 1

С и с т е м а 2

S + 1- й

S -1

S-й

F

—*■

S - 1

S-й

F

элементов

элементов

A i t S

A s - A - 1

А і ф $ + 1 = 0

A s + i = A - 1

As = 0, A s+ i = A = l , (övs+ i ==0, a js+ i = <Xjs-

(2.123)

Для доказательства достаточно показать, что критериальные

функции совпадут (F' = F), если соблюдены условия (2.123),

а осталь­

ные условия неизменны.

На основании (2.117) можно записать:

вектора

{А;} s

и матрицы связей между ее элементами | ссу-г ||ss»'

по сути

дела,

является самостоятельной проблемой.

Связи между элементами заданы матрицей \ \ a j i |44:

1,0

0,3

0,6

о

0 ,3 0

0,00

0,30

0,50

0,1

1,0 0,1

о

0,10

|0,30| ~о ,20 |0,80|

II а / ; 1=

0,2

0,3

1,0

0

II » V / 1= 0,20

0,10

(2.126)

0 ,4 0

0,60

0,7

0,6

0,3

1

0,10

0 ,4 0

0,20

0,60

Матрица ||cov;.||^ s

определяет

эффективности

каждой из четырех

процесса. Для взятого

примера шах Д^г ~

шах Д^*,

поэтому алг. 6

+ также

обеспечит точное решение:

k,

I

k,i

3 —^4; 2).

{ k t h )

= ( 2; 4->-1; 1 3 ;

Если назначение на каждом шаге производить исходя из условия миними­

зации приращения Д^

(алг. б~),

то в данном случае получается то же решение,

хотя порядок назначений изменится:

(&Д() = (1; 1-^2; 4-^4; 2 3;

3).

* Кроме шага t = 2,

где max Д+

=24,76.

kl

kl

Т аб л и ц а

12

i,

l

t

V

1

1

2

1

3

1

4

Ч

н

Ai=A'V

k

100,00

8 0, 0 0

5 0, 0 0

0 , 0 0

1

1

46,20(16,94)

0,00 (—36,50)

28,20 (—4,40)

66,5 (—30,88)

2

15.40 (—18,72)

28,50 (—3,33)

18.80 (—15,79)

106,40 (73,43)

3

30,80 (—7,80)

9,50 (—32,10)

37,6(0,36)

79.8 (37,88)

^ 2 4 —

1

4

15.40 (—19,08)

38,00 (7,93)

18.80 (—15,47)

79.8 (44,62)

Л<»

f

44,00

41,60

38,00

0,00

2

1

22,78 (—14,54)

0,00 (—47,36)

17,78 (—24,17)

13,30 (—32,96)

3

15,98 (—27,17)

4,99 (—42,17)

24,76 (—17,10)

16,08 (—31,23)

=

4

7,93 (—38,40) 19,92 (—19,19)

11,86 (—33,85)

15,96 (—31,22) 0 1 1

1

Л<2>

30,80

37,86

31,16

0,00

3

3

8,23 (—45,04)

4,41 (—53,80)

19,47 (—28,93)

12.60 (-44J.3)

4

5,55 (—50,06)

17,62 (—29,91)

9,74 (—44,25)

12.60 (—42741) 0

з з

=

1

л<3)

28,34

33,32

18,70

0,00

4

4

Д+ = 4,56

15,21

5,84

10,91

642 =

1

лИ>

27,20

20,00

17,95

о.со

С помощью табл. 12

в этом можно убедиться на примере 1-го и 3-го шагов,

д *7 =

ЛА/ —%м ■

(2-127)

Максимальное значение функции (2.63) равно

F (б0) = 169,59

(70,7% от 24).

(2.128)

Если бы элементы системы были независимы (а^ =

0 для / ф i (ocjj = 1)),

то оптимальное решение соответствовало бы цепочке

назначений:

(kt-,

lt) =

(1;

1

- 4;

2 -> 3;

3 2;

2) —алг. б0,

(kt;

It) =

(4;

2

- 1 ;

U 3 ;

3 — 2;

2)—алг. б+.

F (60)

= 96,40

(41,8% от

S ^ i) .

(2.129)

Из сравнения (2.128) и

(2.129)

видно, что в

данном случае прирост целевой

нулю. Связи между звеньями

системы характеризуются вектором-столбцом

[|a /s||s> а матРиЦа ||ü)v/[|ws

представляет

собой

эффективности

трех единиц

ресурса

0,8

0,30

0,60

0,10

0,2

■

І “ ѵ/|| =

0,50

0,20

0,35

1,0

0,20

0,80

0,20

Вычислительная схема

не

приводится — она подобна табл.

12.

Полученное решение оптимально, а порядок распределения средств ука­

зан индексами в левой матрице назначений:

1і

0

0

1

0

0

0

1

0

00 = ^ 2 0 0

0 0 1

1 0 0

0

0

1з

0

1

0

0

0

1

F (б0) = 0,616, F (б) = 0,596,

F (8) =

0,576.

Значение целевой функции

равно

F (б) =

1

— F (б), где F (б) соответст­

вует (2.117).

чений будет иным: (k t; lt) = (2;

1->3; 3).

Требуется определить

матрицу

Уо —||т®/||,

доставляющую

максимум функции

/(? ) — П /,(? ) = П

1 - с о . П

qtrA

(2.130)

1=1

І= 1 \

r= 1

)

2 VtJ= 1.

r = 1 ,..., т,

(2.131)

/ = і

и дополнительных

условиях:

Уг] € { 1.0),

1

1— Prj)> 0,1 r = 1, ..., т,

(2.132)

1

1— E j)> 0;

{pj}n,

а матрицей || рТ} ||ТПП*

Для

получения алгоритма реш

2.

Метод и алгоритм решения.

ния, реализующего метод двух функций применительно к данной

задаче, заменим целевую функцию функцией аддитивного вида:

# ( y) =

2

in И —

п

яіу

(2.133)

/ = 1

V

Г =

1

П

Поскольку теперь характер целевой функции и ограничений сов­

падают по виду с соответствующими функциями задачи § 2.1

(1), то

можно применить метод ДФ и для решения данной задачи.

Получим формулы для приращений функций R t и Rf.

Пусть к t-му шагу процесса в результате распределения (t — 1)

единиц средств по целям*, /-я

цель может

быть поражена с вероятно­

стью

= 1 — Qf~ 1].

Повторяя рассуждения и выкладки

ана­

логично (1.83) — (1.85) для

неотрицательного

приращения функции

R t получаем формулу (для всех k и /):

1 -с üiQ(~ 1) яы

1 - с оу-^яьі.

ДЙ =1п

■ 1 )

ln

(2.134)*

1 — СО ; Q V -

о«/-')

Смежные значения функции

потерь

по аналогии с § 2.1 (2) вы­

числяются по формулам,

получаемым

из

(2.130) при подстановке

в нее

элементов матриц:

I

I

1 1 1 1

1 1 1 1

1 =

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

=

(2.135)

k ,

b t

0 0 1 0

1 1 1 1

M

i l

*

При выводе формул используется первая из двух данных в § 1.4(1) физи"

ческих

интерпретаций задачи.

**

Вводимые обозначения ясны из самой формулы (2.134).

Для Rt- 1 имеем:

rf~ 1 = 2

(2.136)

где

/ = 1

b f - "

П qT}, (£>-

u =

cojQ}* 1),

/ =

1, ... ,n\

r&n (0

m(/) — множество

нераспределенных

к моменту

t -то шага

процесса

единиц

ресурса.

В соответствии с правой матрицей

(2.135) можно записать:

Я Г = 2

ln f l - c o < ' - 1)- ^ - ^ - ) +

l n ( l - o ) (/ -

1)&i<- 1)).

(2.137)

І ¥= I

\

Як)

I

На основании формул (1.136)

и (1.137) получим:

1 — _!--------1_____

— ДйТ = RF — RF-1= 2

ln

•

(2-138)

Суммарное приращение с учетом (1.134) и (2.138) может быть пред­

ставлено в виде:

( 1 - С 0 < / - % ;) ( 1 _ * < / - » * < / - ! > ) X

— &ki = ln

CD

( l — cd'

X

)

1

X п

Ям

ЬѴ~1)

Як)

(2.139)

хП (1 -CD^-1) ^ - » )

Поскольку

распределение

средств

будет

идти в соответствии

с максимумом Д ^ ,

то вместо него удобнее использовать эквивалентное

выражение:

j , l =

1,

(2.140)

Сформулируем алгоритм решения задачи.

Алгоритм 2.3.

limn по формуле (2.140).

1°. Вычислить элементы матрицы ||

Начальные значения со(у0) и й)0) равны

т

(о</°) = соу, 6 <.0)= п Ят]<

/ = 1

........ П.

(2.141)

Ak

t

= т а х Д hl, k(^mSt'>, / = 1 , . .. , п.

(2.142)

t

i

kk,l. I

Р ,

если / Ф lt ,

1)qkf n

(2.143)

если І = h>

bW=

&(/-*>

/ = 1 ,...,

п.

V

'

*: =

/ + !

4°.

Проверить

условие

t < т:

да — перейти

к

п.

1°,

нет — перейти

к

п.

5°.

5°. Вычислить f (уо) по формуле (2.130).

6°.

Отпечатать

результаты (|| Ѵ®у (J

и f (Уо)),

прекратить вычисления.

1 —

^

1— щді

1 —

юг

I —

шг

(1 -0 )rgr)(l- 0 > r C )

т _ ,

(l-ffll9,) ( l -щ чТ)

П(1

„ J „ _ u

(2.146)

І 0 - . М У ' )

7

°

~

М,<,І >■

После сокращения и других элементарных преобразований нера

венств

условия

(2.146)

примут

вид:

1

Яг

^

1— а; 4;

1 — сог

1—0)/

(2.147)

1 —в*г Яг

1-0);?/

1 —(0Г

1-со/

( 1 - 0 , , ^ - 4 ( 1 С )

Поделив второе неравенство на первое, получим новое неравен

ство, которое

совместно

с первым составит

систему:

1 — 0)г (Jj*

>

1 —о»; Яі

1 — 0)г

1 —0)/

’

(2.148;

1 -6 \яТ

1-6>/?Г

<

1

°г Яг

! — 0);

Из

(2.148)

видно,

что

при

qr — q i — 1

система

несовместна

(сбои алг. уо

невозможны).

Если

q ^ 1,

qi-ф1

и т -> сю ,

то система

удалось.

Другой показатель эффективности алгоритма (требуемый

объ­

ем вычислений) можно характеризовать оценкой пт2 для всех

рас­

П

т

J i

яІѴ = f(y)'*F(V) =

/= 1\

вероятность сохранения объекта (/ (

0)), будету

соответствовать такому

варианту распределения средств у

при котором' , обеспечивается наи­

большее число уничтоженных

целей с учетом их «опасностей» со j

(max F (у)). Однако существует

и формальная основа, подтверждаю-

V

щая справедливость соотношения (2.149). Покажем, что применение

алг. 2.3 для максимизации функции

f (

приведету

)примерно к тому

же решению (

у

что и 0алг. 2.1, максимизирующийд а

функциюу

F (у), вследствие практически полного

совпадения порядка назначений

по обоим алгоритмам**.

В ходе оптимизации, особенно в первой половине процесса, вели­

чины Ъ{Р близки к нулю

[см. (2.141)], поэтому вместо (2.140) можно

приближенно

записать:

о '/-» ,ни

со0 -

1)

(2.150)

-со^-1?

Ай-

1-со(/ - ' )

П р и м е ч а н и е .

По

сути дела,

этим

устанавливается возможность