книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

20

Такая запись по сути дела является записью всего множества опти­ мальных решений для N 10 с указанием порядка распределения средств поиска.

ствующее вектору Х0 значение целевой функции равно сумме выбранных элемен­

Последовательно суммируя максимальные приращения Д/% на­ ходим, что заданное условие выполняется при N — 11 (F ( Х0) —

-60,14%).

численное™ ограничивает возможности по распределению ресурса, что наглядно следует из сравнения элементов двух последних строк табл. 1. Видно, в частности, что в районы 4, 5, 7 и 8 назначены сред­ ства поиска в избытке, а в некоторых других ощущается их недо­ статок.

21

Метод МЭ дает точное решение {*"}:

{*?} = {1,0,0, 1, 1,3,2, 1,0,2}, F (Х0) = 60,14, М =11, {х/}={2, 0, 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2}, F ( X ' ) = 57,98, N = U .

Решение {л:/}, полученное простым округлением нецелочисленного решения до ближайших целых чисел, дает некоторую погрешность, которая может быть и более значительной.

§ 1.2. Обобщение метода максимального элемента

для решения более сложной задачи

1. Постановка задачи. С помощью метода МЭ можно получить точное решение и более сложной задачи, математическая формулировка

Л г> 0

Одна из возможных физических интерпретаций задачи может состоять в оптимальном распределении N ударных, равноэффектив­ ных (однотипных) средств по т фиксированным точкам прицеливания.

тематическое ожидание ущерба объектам с весами At при варианте

жено последовательное распределение средств по одному на каждом шаге процесса в соответствии с максимальным приращением целевой функции. Получим выражение для вычисления приращения функции 47" на произвольном шаге процесса.

распределения (/ — 1) предыдущих средств по некоторым точкам при-

22

За счет пробного* назначения еще одного единичного средства по / = 1-й точке прицеливания на t-м шаге процесса функция ¥ (X)

мое в случае обстрела 1-й точки прицеливания на t-м шаге процесса:

Алгоритм оптимизации теперь может быть записан следующим образом.

Алгоритм 1.2.

1°. Вычислить компоненты вектора {Аг+>т для очередного шага процесса

* Пробные назначения для всех I необходимы, чтобы выявить максималь­ ный элемент вектора приращений.

23

Алг. 1.2 без существенных изменений пригоден для решения об­ ратной задачи, а также задач с некоторыми дополнительными усло­ виями и ограничениями, о которых было упомянуто в § 1.1 (4).

3. Оценка эффективности алгоритма. Поскольку целевая функ­ ция выпукла, а средства равноэффективны, то все соображения о точ­ ности, приведенные в § 1.1 (3), справедливы и здесь.

Удобство алгоритма для решения подобных задач становится на­ глядным, если обратиться к алг. 17 [3, стр. 193], в котором исполь­ зуется метод возможных направлений [38], или к алгоритму Ферстмана

(см. [3], алг. 14, стр. 181).

Более эффективным для решения данной задачи является алг. 16 в работе [3], который близко примыкает к предлагаемому и практи­ чески совпадает с ним, если вместо производных от целевой функции использовать конечные разности, являющиеся их аналогом для дис­ кретных функций, что более естественно при решении целочисленных

ности целей и вероятности их поражения при стрельбе по указанным точкам прицеливания даны в табл. 3.

Предварительный анализ матрицы || toуг ||ms показывает, что по прин­

В левой части табл. 4 приведено множество векторов {Д;+} ^ для всех восьми шагов процесса. Жирным шрифтом выделены максимальные элементы, в соот-

24

ветствии с которыми производится назначение на каждом шаге процесса. В пра­ вой части табл. 4 приведены текущие веса, которые имеют цели на данном шаге процесса, и текущие значения целевой функции, вычисляемые по рекуррентной формуле (1.50). Максимальное значение, которое принимает оптимизируемая функция, равно ф(Л'о) = 97,8. Левая часть табл. 4 аналогична табл. 1, но пред­ ставить ее в более сжатом виде, наподобие табл. 2, уже невозможно.

процесса, говорит о том, что алг. 16 может давать погрешность. Так, при распре­ делении N = 7 средств векторы распределения и соответствующие значения оптимизируемых функций будут следующими:

Следует заметить, что незначительность расхождений частных результатов, полученных с помощью разных алгоритмов, не является убедительной оценкой их сравнительной точности. Необходимо «на­ брать статистику», причем нужно стремиться найти такие условия,

* Под оптимальным порядком (последовательностью) назначений пони­ мается такой порядок, при котором все промежуточные решения оптимальны.

25

при которых имеют место наибольшие погрешности. С этой точки зрения рассмотренный пример можно считать неудачным (велико N), так как даже при худшем варианте использования средств (все сред­ ства назначить на первую точку прицеливания) значение функции будет равно ¥ = 88,7. Различие между лучшим и худшим вариантами составляет всего 9%. При увеличении числа средств этот диапазон будет еще более сужаться, асимптотически стремясь к нулю, что лишает смысла всякую оптимизацию.

Применительно к рассмотренной практической задаче следует также отметить, что даже точное формальное решение еще не может считаться действительно лучшим, если нет гарантии, что рассматри­ ваемый набор точек прицеливания (исходные данные) выбран удачно. При сомнениях следует брать сетку точек, что, однако, ведет к увели­ чению объема вычислений.

§ 1.3. Раздельная оптимизация двухиндексной функции

спредварительным расчленением задачи

1.Постановка задачи. Формальная запись предлагаемой задач состоит в следующем.

тS

которых может быть укомплектовано одним из т имеющихся видов

ся комплектами снаряжения и распределить эти средства для воздей­

?6

2. Метод и алгоритм решения. Из анализа содержательной поста­ новки задачи можно заключить, что серьезным ограничением, накла­ дываемым на область оптимизации, является вектор {ІѴДт , т. е. запас комплектов снаряжения. Просуммировав неравенства (1.55) и вычтя равенство (1.56), получим

Если исходные данные таковы, что условие (1.58) не выполняется, то система (1.55), (1.56) несовместна и задача не имеет решения. Это значит, что комплектов снаряжения недостаточно для оснащения всех средств. Случай, когда условие (1.58) выполняется в виде ра­ венства и, кроме того, Nj = 1 (/ = 1, ..., N), является предельным и будет рассмотрен отдельно в § 2.1. В другом предельном случае, когда комплектов любого вида достаточно, чтобы оснастить ими все N средств (Nj^N, / = 1, ..., т), задача сводится к задаче § 1.1 (1) и решается с помощью алг. 1.1. Действительно, в матрице эффективности |со;г|| в і-м (і = 1, ..., S) столбце достаточно найти наиболее эффек­ тивный вариант снаряжения для действий по і-й цели:

предварительная оптимизация по способам снаряжения средств,

т. е. когда комплектов больше, чем средств, но все N средств одновре­ менно не могут быть укомплектованы любым видом снаряжения.

Для решения задачи также можно применять метод расчленения. Для действий по і-й цели номер / = /; лучшего варианта снаряжения определится из условия

Если в ходе распределения средств запас / г го вида снаряжения оказывается исчерпанным, то для дальнейшего воздействия по і-й цели будет использоваться лучший из оставшихся видов снаряжения, номер / = Л которого находится из условия

^1 < і < т

i* h

27

где jO) — текущее множество индексов неизрасходованных видов снаряжения. 2°. Вычислить компоненты текущего вектора приращений {Д;+ДО;

5°. Вычислить текущее значение функции ( f t :

28

3. Оценка эффективности алгоритма. Поскольку алг. 1.3 охва­ тывает комплекс условий (1.60), заключенный между двумя указан­ ными ранее предельными случаями, то и возможная погрешность

(возникающей при наиболее неблагоприятных значениях всех пара­

и, как увидим далее, не повлияет на решение вопроса об оценке мак­

Поскольку мы хотим найти максимальную погрешность, необ­ ходимо, чтобы любой другой вариант распределения средств имел как можно меньшее значение целевой функции. Это возможно при нулевых значениях элементов сох-г, не входящих в решение. Однако, если положить их все равными нулю, то алг. 1.3 не сможет привести к ошибочному решению. Чтобы этого не случилось, оставим сохх:^0. Итак, исходные данные задачи имеют вид:

Так как мы хотим добиться, чтобы алг. 1.3 дал сбой, то необходи­ мо, чтобы на первом шаге вариант снаряжения / = 1 был задейство­ ван по цели і = 1 (в остальных случаях сбой невозможен). Сбой про­ изойдет, если элемент сохх окажется наибольшим в своем столбце (п. 1° алг. 1.3) и приращение ущерба на первой цели будет больше, чем при воздействии по второй (п. 3° алг. 1.3), т. е. должны совместно соблюдаться условия:

29